Vecteurs en Seconde - Cours pour comprendre la notion de vecteur

Conseils

Vecteurs - Comprendre la notion de vecteur

Dans cette page, tu vas découvrir les vecteurs qui sont très utilisés en mathématiques et en physique.

👉 En mathématiques, les vecteurs permettent notamment de transformer des problèmes de géométrie en problèmes de calcul.
👉 En physique, les vecteurs sont très utilisés, par exemple pour représenter des forces.

👉 Pour bien comprendre les vecteurs, on peut voir un vecteur comme un déplacement.

La notation $\overrightarrow{\rm AB}$ symbolise le déplacement de A vers B

👉 Tu vas apprendre à reconnaître deux vecteurs égaux, à comprendre ce qu'est un vecteur opposé et le vecteur nul.

👉 Tu verras aussi qu'un même vecteur peut être représenté à partir de différents points.

👉 Enfin, nous insisterons sur une différence très importante : $\overrightarrow{\rm AB}$ désigne un vecteur, alors que $\rm AB$ désigne une longueur.

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🎯 Un vecteur symbolise un déplacement

Le vecteur $\overrightarrow{\rm AB}$ représente le déplacement qui va de $\rm A$ vers $\rm B$.

👉 La flèche placée au-dessus de $\rm AB$ est donc très importante : elle indique que l'on parle d'un vecteur et donc d'un déplacement.

⚠️ La notation $\overleftarrow{\rm AB}$ avec une flèche vers la gauche n'existe pas.

Pour aller de $\rm B$ vers $\rm A$, on utilise le vecteur $\overrightarrow{\rm BA}$.

👉 Dans la notation d'un vecteur, la petite flèche au-dessus des lettres va toujours de la gauche vers la droite.

🎯 Vecteurs égaux

Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils correspondent au même déplacement.

Exemple :

Sur cet exemple, le déplacement de $\rm A$ vers $\rm B$ (3 carreaux vers la droite et 2 vers le haut) est exactement le même que le déplacement de $\rm C$ vers $\rm D$.
Les vecteurs $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm CD}$ sont donc égaux. On peut donc écrire : $\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm CD}$

Maintenant, on va exprimer la même chose de façon plus mathématique : c'est la règle du parallélogramme.

$ \overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm CD} \iff$ $\rm ABDC$ est un parallélogramme

Vecteurs égaux et règle du parallélogramme

⚠️ Attention à l'ordre des lettres.

🎯 Vecteur opposé

Le vecteur $\overrightarrow{\rm BA}$ correspond au déplacement opposé au vecteur $\overrightarrow{\rm AB}$.

De même que $-3$ est l'opposé du nombre $3$,
le vecteur $\overrightarrow{\rm BA}$ est l'opposé du vecteur $\overrightarrow{\rm AB}$ et se note donc $-\overrightarrow{\rm AB}$.

On peut donc écrire : $\overrightarrow{\rm BA}=-\overrightarrow{\rm AB}$

💡 Dans les calculs avec les vecteurs, pour se débarrasser des "$-$", on remplace très souvent $-\overrightarrow{\rm AB}$ par $\overrightarrow{\rm BA}$.

🎯 Le vecteur nul

Le vecteur $\overrightarrow{\rm AA}$ correspond à un déplacement nul puisque l'on part de $\rm A$ et on arrive au même point $\rm A$.

Le vecteur $\overrightarrow{\rm AA}$ ne correspond à aucun déplacement. On le note $\vec{0}$ et on le lit « vecteur nul ».

De même : $ \overrightarrow{\rm BB}=\overrightarrow{\rm CC}=...=\vec{0}$

🎯 Représenter un vecteur à partir de n'importe quel point

Un vecteur représente un déplacement. On peut donc représenter ce même déplacement à partir de n'importe quel point.

Représentation dun même vecteur à partir de différents points

Le vecteur $\overrightarrow{\rm AB}$ n'est donc pas forcément représenté par une flèche qui part du point $\rm A$. Il peut être représenté ailleurs dans le plan, à condition de conserver exactement le même déplacement.

Pour éviter de croire que le vecteur $\overrightarrow{\rm AB}$ doit forcément « partir de $\rm A$ et arriver en $\rm B$ », on peut noter ce vecteur avec une seule lettre, par exemple $\vec{u}$.

$\overrightarrow{\rm AB}=\vec{u}$

🎯 Ne pas oublier les flèches sur les vecteurs !

⚠️ $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\rm AB$ ne veulent pas du tout dire la même chose.

👉 $\overrightarrow{\rm AB}$ désigne un vecteur, donc un déplacement.

👉 $\rm AB$ désigne une longueur.

💡 Exemple :

👉 Les vecteurs $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm CD}$ ne sont pas égaux puisqu'ils ne correspondent pas au même déplacement (l'un correspond à un déplacement vers le haut, l'autre à un déplacement vers la droite). Donc $\boxed{\overrightarrow{\rm AB}\ne \overrightarrow{\rm CD}}$

👉 En revanche, en termes de longueur, $\rm AB$ et $\rm CD$ sont égaux.
On a donc $\boxed{\rm AB=\rm CD}$

💡 Dans cet exemple :

$\boxed{ \overrightarrow{\rm AB}\neq\overrightarrow{\rm CD} \qquad\text{mais}\qquad \rm AB=CD }$

Oublier la flèche change complètement le sens de l'écriture.