Coordonnées d'un vecteur en Seconde

Conseils

Vecteurs et coordonnées

Dans les pages précédentes, nous avons appris ce qu'est un vecteur et comment le représenter .

👉 Nous avons vu qu'un vecteur représente un déplacement. On peut décrire précisément ce déplacement dans un repère, avec seulement deux nombres : ce sont les coordonnées du vecteur.

💡 L'idée essentielle pour comprendre les coordonnées d'un vecteur

👉 La première coordonnée indique le déplacement par rapport à l'axe des abscisses.

👉 La deuxième coordonnée indique le déplacement par rapport à l'axe des ordonnées.

👉 Les coordonnées permettent donc de décrire exactement le déplacement représenté par le vecteur.

👉 Par exemple, le vecteur $ \vec u \begin{pmatrix} {\color{red}3}\\ {\color{green}2} \end{pmatrix} $ correspond à un déplacement de $\color{red}3$ sur les abscisses et de $\color{green}2$ sur les ordonnées.

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Dans cette page, tu vas apprendre à :

lire les coordonnées d'un vecteur sur un graphique ;
calculer les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{\rm AB}$ ;
effectuer des calculs avec les coordonnées de vecteurs ;
déterminer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielle.

📺 Tu trouveras ensuite de nombreux exercices corrigés pour t'entraîner 💪

🎯 Lire les coordonnées d'un vecteur

Les coordonnées d'un vecteur permettent de décrire son déplacement dans un repère.

👉 Plus précisément, si un vecteur $\vec u$ a pour coordonnées :

$\vec u \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

signifie :

$x$ correspond au déplacement par rapport à l'axe des abscisses ;
$y$ correspond au déplacement par rapport à l'axe des ordonnées.

👉 Les coordonnées d'un vecteur peuvent s'écrire horizontalement ou verticalement. Il en est de même pour les coordonnées d'un point.

$\vec u(3;2) \qquad\text{ou}\qquad \vec u \begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}$

💡 Conseil : pour effectuer des calculs avec des vecteurs, il est souvent plus pratique d'écrire les coordonnées verticalement.

⚠️ Attention à l'écriture : on n'écrit pas $\overrightarrow{\rm AB} = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$
👉 Ne pas mettre de symbole $=$
On écrit : $\overrightarrow{\rm AB} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

En effet, les coordonnées de $\overrightarrow{\rm AB}$ dépendent du repère choisi et peuvent donc changer, alors que le vecteur $\overrightarrow{\rm AB}$, lui, ne change pas.

🎯 Formule des coordonnées d'un vecteur

On considère deux points ${\rm A}(x_{\rm A};y_{\rm A})$ et ${\rm B}(x_{\rm B};y_{\rm B})$.

Le vecteur $\overrightarrow{\rm AB}$ représente le déplacement permettant d'aller du point A vers le point B.

$\boxed{ \overrightarrow{\rm AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A \end{pmatrix} }$

💡 À retenir : pour calculer les coordonnées d'un vecteur, on fait toujours arrivée − départ.

💡 Exemple : $\rm A(2;1)$ et $\rm B(5;3)$ alors

$\overrightarrow{\rm AB} \begin{pmatrix} 5-2\\ 3-1 \end{pmatrix}$ Donc $\boxed{ \overrightarrow{\rm AB} \begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix} }$

Ce qui correspond à ce que l'on observe quand on place les points $\rm A(2;1)$ et $\rm B(5;3)$ sur le graphique :

Coordonnées du vecteur AB avec A(2;1) et B(5;3)

🎯 Calculer avec les coordonnées de vecteurs

L'intérêt des coordonnées est qu'elles permettent de transformer les calculs sur les vecteurs en calculs sur des nombres.

Soit $\vec u \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$

👉 Pour additionner deux vecteurs, on additionne les coordonnées :

$\boxed{ \vec u+\vec v \begin{pmatrix} x+x'\\ y+y' \end{pmatrix} }$

👉 Pour soustraire deux vecteurs, on soustrait les coordonnées :

$\boxed{ \vec u-\vec v \begin{pmatrix} x-x'\\ y-y' \end{pmatrix} }$

👉 Pour multiplier un vecteur par un nombre $k$, on multiplie les deux coordonnées par $k$ :

$\boxed{ k\vec u \begin{pmatrix} kx\\ ky \end{pmatrix} }$

💡 Ces formules sont très intuitives !

Inutile de les apprendre par cœur : retiens surtout les phrases « on additionne les coordonnées », « on soustrait les coordonnées » et « on multiplie les coordonnées par $k$ ».

💡 Exemple : $\vec u \begin{pmatrix} 2\\ -1 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}$ alors :

$\vec u+\vec v \begin{pmatrix} 2+3\\ -1+4 \end{pmatrix} $ Donc $\vec u+\vec v \begin{pmatrix} 5\\ 3 \end{pmatrix} $

🎯 Déterminer les coordonnées d'un point

💡 Quand un point est défini par une égalité vectorielle, l'idée est de remplacer chaque vecteur par ses coordonnées.

Exemple : Soit $\rm A(1;2)$ et $\rm B(3;5)$

On cherche les coordonnées du point $\rm M$ vérifiant :

$\overrightarrow{\rm AM} = 2\overrightarrow{\rm AB}$

On remplace chaque vecteur par ses coordonnées :

$ \begin{pmatrix} x_{\rm M}-x_{\rm A}\\ y_{\rm M}-y_{\rm A} \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} x_{\rm B}-x_{\rm A}\\ y_{\rm B}-y_{\rm A} \end{pmatrix} $

Ce qui donne :

$ \begin{pmatrix} x_{\rm M}-1\\ y_{\rm M}-2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 3-1\\ 5-2 \end{pmatrix} $

Donc :

$ \begin{pmatrix} x_{\rm M}-1\\ y_{\rm M}-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ 6 \end{pmatrix} $

On obtient donc :

$\begin{cases} x_M-1=4\\ y_M-2=6 \end{cases}$

$\begin{cases} x_M=5\\ y_M=8 \end{cases}$

$\boxed{\rm M(5;8)}$

📌 À retenir

👉 Les coordonnées d'un vecteur décrivent son déplacement par rapport à l'axe des abscisses et à l'axe des ordonnées.

👉 Si ${\rm A}(x_{\rm A};y_{\rm A})$ et ${\rm B}(x_{\rm B};y_{\rm B})$ :

$\boxed{ \overrightarrow{\rm AB} \begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A \end{pmatrix} }$

💡 Pense toujours : arrivée − départ.

💡 Les règles de calcul sur les vecteurs sont très intuitives :

quand on additionne des vecteurs, leurs coordonnées s'additionnent ;
quand on soustrait des vecteurs, leurs coordonnées se soustraient ;
quand on multiplie un vecteur par un nombre, ses deux coordonnées sont multipliées par ce nombre.

Exercice 1: Lire les coordonnées d'un vecteur - seconde

Lire les coordonnées des vecteurs de la figure ci-dessous dans le repère $({\rm O};\vec i ;\vec j ~\!)$:

Lire les coordonnées de vecteurs dans un repère

Exercice 2: Vecteurs & coordonnées - seconde

Dans un repère, on donne les points $\rm A(-1;2)$, $\rm B(3;-1)$ et $\rm C(2;1)$. Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec u=2 \overrightarrow{\rm BA}-3 \overrightarrow{\rm BC}$

Exercice 3: Vecteurs & coordonnées - seconde

Dans un repère, on donne les points $\rm A(-1;2)$, $\rm B(-2;0)$ et $\rm C(0;1)$.

Déterminer les coordonnées du point $\rm M$ tel que $\overrightarrow{\rm AM}=2 \overrightarrow{\rm BC}-\overrightarrow{\rm AC}$
Vérifier votre résultat graphiquement.

Exercice 4: Vecteurs & coordonnées - seconde

Dans un repère, on donne les points $\rm A(-1;1)$, $\rm B(4;3)$ et $\rm C(3;-1)$. Déterminer les coordonnées du point $\rm M$ tel que $3\overrightarrow{\rm AM}+ \overrightarrow{\rm MC}=2\overrightarrow{\rm AB}$