Révision Bac | Géométrie dans l'espace

$\rm ABCDEFGH$ est un cube d'arête de longueur $1$. Est-il vrai que $\overrightarrow{\rm JH}=2\overrightarrow{\rm BI}+\overrightarrow{\rm DM}-\overrightarrow{\rm CB}$ ?

$\rm ABCDEFGH$ est un cube d'arête de longueur $1$. Les points $\rm I$, $\rm L$ et $\rm M$ sont les milieux respectifs des arêtes $\rm [AB]$, $\rm [CD]$ et $\rm [DH]$. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\rm IB}\cdot\overrightarrow{\rm LM}$.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne ${x-2y-z+4=0}$.

1. Déterminer un vecteur normal $\vec n$ à $\mathscr{P}$.
2. Le vecteur $\overrightarrow{m}(-3;6;3)$ est-il normal à $\mathscr{P}$ ?
3. Les points $\rm A(1;0;3)$ et $\rm B(0;3;-2)$ appartiennent-ils à $\mathscr{P}$ ?
4. Déterminer les coordonnées d'un point $\rm C$ de ce plan, avec $\rm C$ différent de $\rm A$ et $\rm B$.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne ${x-3y-z+6 = 0}$ et le point $\rm A(-1;0;2)$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ passant par $\rm A$ et orthogonale à $\mathscr{P}$.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points $\rm A(1;0;3)$, $\rm B( -2;1;2)$ et $\rm C(0;3;2)$.

1. Montrer que $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$ ne sont pas alignés.
2. Vérifier que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\1\\4\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $\rm (ABC)$.
3. En déduire une équation cartésienne du plan $\rm (ABC)$.

$\rm ABCDEFGH$ est un cube. $\left(\overrightarrow{\rm AB}~;~\overrightarrow{\rm AH}~;~\overrightarrow{\rm AG}\right)$ est-elle une base de l'espace ?

L'espace est muni d'un repère orthonormé $({\rm O},~\vec i,~\vec j,~\vec k)$. La droite $(d)$ a pour représentation paramétrique : On considère les points suivants :

• $\rm A(3;-3;-2)$ et $\rm B(5;-4;-1)$
• $\rm C$ de la droite $(d)$ d'abscisse $2$

L'angle $\rm \widehat{BAC}$ mesure-t-il $\dfrac{\pi}{6}$ radian ?

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

• le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne: $2x-y+3z+6 = 0$
• les points $\rm A(2 ; 0 ; -1)$ et $\rm B(5 ; -3 ; 7)$

Le plan $\mathscr{P}$ et la droite $\rm (AB)$ sont-ils parallèles ?

L'espace est muni d'un repère orthonormé $({\rm O},~\vec i,~\vec j,~\vec k)$.
On considère les points ${\rm A}(-3 ; 1 ; 4)$ et ${\rm B}(1; 5; 2)$ et le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $-2x -y +z -3 = 0$. La droite $\rm (AB)$ est-elle :

1. incluse dans le plan $\mathscr{P}$ ?
2. strictement parallèle au plan $\mathscr{P}$ ?
3. orthogonale au plan $\mathscr{P}$ ?
4. sécante et non orthogonale au plan $\mathscr{P}$ ?
   Si oui, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $({\rm O},~\vec i,~\vec j,~\vec k)$.
On considère les points ${\rm A}(-7 ; -3 ; 6)$ et ${\rm B}(1; 5; 2)$ et la droite $(d)$ de représentation paramétrique : Les droites $\rm (AB)$ et $\rm (d)$ sont-elles :

1. parallèles ?
2. perpendiculaires ?
3. sécantes non perpendiculaires ?
4. non coplanaires ?

L'espace est muni d'un repère orthonormé $({\rm O},~\vec i,~\vec j,~\vec k)$. La droite $(d)$ a pour représentation paramétrique : La droite $(d)$ et l'axe des ordonnées sont-elles deux droites coplanaires ?

L'espace est muni d'un repère orthonormé $({\rm O},~\vec i,~\vec j,~\vec k)$. On considère les plans :
$\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $4x +4y -2z +3 = 0$
$\mathscr{P'}$ d'équation cartésienne $2x + y +6z +5 = 0$.
Les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P'}$ sont-ils :

1. confondus ?
2. strictement parallèles ?
3. sécants et non perpendiculaires ?
4. perpendiculaires ?

L'espace est muni d'un repère orthonormé $({\rm O},~\vec i,~\vec j,~\vec k)$. on considère :

• le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne : $2x+3y+6z-6 = 0$
• le plan $\mathscr{P'}$ d'équation cartésienne: $x-2y+3z-3 = 0$

Est-il vrai que les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P'}$ sont sécants et que leur intersection est la droite $(d)$ ayant pour représentation paramétrique $\left \{ \begin{array}{rcl} x&=&3-3t \\ y&=&0\\ z&=&t\\ \end{array} \right. \quad\text{, où } t\in\mathbb{R}$ ?

L'espace est muni d'un repère orthonormé $({\rm O},~\vec i,~\vec j,~\vec k)$. On considère les plans :

• $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $x +2y -z +1 = 0$
• $\mathscr{P'}$ d'équation cartésienne $2x - y +z -3 = 0$

Démontrer que les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P'}$ sont sécants selon une droite $\mathscr{D}$ dont on donnera une représentation paramétrique.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $({\rm O},~\vec i,~\vec j,~\vec k)$.
$\mathscr{P}$ est le plan d'équation cartésienne : $2x-3y+z-6 = 0$.
Le point ${\rm F}(-3 ; -3 ; 3)$ est-il le projeté orthogonal du point ${\rm E}(1 ; -9 ; 5)$ sur le plan $\mathscr{P}$ ?

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $x-2y+3z-17=0$ et le point $\rm A(2;5;-1)$.
Déterminer les coordonnées du point $\rm H$ projeté orthogonal de $\rm A$ sur $\mathscr{P}$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $({\rm O},~\vec i,~\vec j,~\vec k)$.
Le point $\rm H$ est le projeté orthogonal du point $\rm B(5;-4;-1)$ sur le plan $\mathscr{P}$ d'équation $x +3z -7 = 0$.
La distance $\rm BH$ est-elle égale à $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$?

L'espace est muni d'un repère orthonormé $({\rm O},~\vec i,~\vec j,~\vec k)$.
La droite $(d)$ a pour représentation paramétrique :
$\left \{ \begin{array}{rcl} x&=&1+t \\ y&=&2t\\ z&=&-t\\ \end{array} \right. \quad\text{, où } t\in\mathbb{R}$
Est-il vrai que la sphère $\boldsymbol{\mathscr{S}}$ de centre $\rm O$ et de rayon $1$ rencontre la droite $(d)$ en deux points distincts ?