Vecteurs colinéaires en Seconde - Cours, déterminant et exemples

Conseils

Vecteurs colinéaires - Définition et déterminant

Dans cette page, tu vas découvrir la notion de vecteurs colinéaires que l'on utilise très souvent.

👉 Le mot colinéaire peut aider à comprendre la notion : « co » signifie « ensemble » et « linéaire » fait penser à une ligne. Deux vecteurs colinéaires sont deux vecteurs que l'on peut représenter sur une même ligne (droite).

👉 Plus mathématiquement, deux vecteurs sont colinéaires lorsque l'un est un multiple de l'autre.

$\boxed{\vec{v}=k\vec{u}\quad\text{ou}\quad\vec{u}=k\vec{v}}$

où $k$ est un nombre réel.

👉 Lorsque les coordonnées des vecteurs sont connues, on peut reconnaître très facilement s'ils sont colinéaires : leurs coordonnées sont proportionnelles. On peut aussi utiliser le déterminant.

🚀 À quoi servent les vecteurs colinéaires ?

La colinéarité permet de résoudre deux problèmes très classiques en géométrie :

📘 Montrer que deux droites sont parallèles →

📗 Montrer que trois points sont alignés →

📺 Tu trouveras ici le cours ainsi que de nombreux exercices pour t'entraîner 💪

🎯 Définition de vecteurs colinéaires

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si l'un peut s'écrire en fonction de l'autre :

$\boxed{\vec{v}=k\vec{u}\quad\text{ou}\quad\vec{u}=k\vec{v}}$

où $k$ est un nombre réel.

💡 Conséquence : le vecteur nul $\vec{0}$ est colinéaire à tout vecteur $\vec{u}$ car on peut toujours écrire :

$\boxed{\vec{0}=0\vec{u}}$

Graphiquement, deux vecteurs sont colinéaires lorsqu'ils sont portés par des droites parallèles ou par la même droite.
Si $k$ est positif, les deux vecteurs sont colinéaires de même sens.
Si $k$ est négatif, les deux vecteurs sont colinéaires de sens opposés.

Dans les deux cas, les vecteurs sont bien colinéaires.

Exemple :

Dans cet exemple :

$\vec v=2\vec u$ donc $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.
$\vec v=-2\vec w$ donc $\vec w$ et $\vec v$ sont colinéaires.
Le vecteur $\vec a$ ne peut pas s'exprimer en fonction de $\vec u$ (ils n'ont pas la même direction). Donc $\vec a$ et $\vec u$ ne sont pas colinéaires. De même, $\vec a$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires.

🎯 Vecteurs colinéaires et coordonnées

On considère deux vecteurs :

$\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad \vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

💡 Exemple

$\vec{u} \begin{pmatrix} \color{blue}{4}\\ \color{green}{3} \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad \vec{v} \begin{pmatrix} \color{blue}{8}\\ \color{green}{6} \end{pmatrix}$

Les coordonnées de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont proportionnelles car les coordonnées de $\vec{v}$ sont deux fois celles de $\vec{u}$ :

$\color{blue}{8}=2\times\color{blue}{4} \qquad\text{et}\qquad \color{green}{6}=2\times\color{green}{3}$

Donc :

$\boxed{\vec{v}=2\vec{u}}$

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont donc colinéaires.

🎯 Déterminant de deux vecteurs

Lorsque l'on connaît les coordonnées de deux vecteurs, leur déterminant permet de savoir rapidement si leurs coordonnées sont proportionnelles, autrement dit si les vecteurs sont colinéaires.

Si $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$, alors le déterminant de $\vec u$ et $\vec v$ se note entre deux barres verticales, comme ceci :

$\boxed{ \det(\vec{u},\vec{v}) = \begin{vmatrix} x & x'\\ y & y' \end{vmatrix}\\[15pt] \phantom{\det(\vec{u},\vec{v})}= xy'-yx' }$

Et la propriété importante :

$\boxed{ \begin{gathered} \vec{u}\text{ et }\vec{v}\text{ sont colinéaires}\\ \Updownarrow\\ \det(\vec{u},\vec{v})=0 \end{gathered} }$

💡 Exemple :

$\vec{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad \vec{v}\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}$

Leur déterminant vaut :

$\det(\vec{u},\vec{v})=$ $\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 7 \end{vmatrix} =2\times7-3\times5$ $=14-15=1 $

Comme le déterminant n'est pas égal à $0$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont donc pas colinéaires.

📌 À retenir

👉 Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre.

$\boxed{\vec{v}=k\vec{u}\quad\text{ou}\quad\vec{u}=k\vec{v}}$

👉 Avec les coordonnées, deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles.

👉 On peut aussi utiliser le déterminant :

$\vec{u}\text{ et }\vec{v}\text{ colinéaires} \iff \det(\vec{u},\vec{v})=0$

💡 Conseil important :

Quand on ne connaît pas les coordonnées, la situation est souvent plus difficile. Pour montrer que deux vecteurs sont colinéaires, on peut décomposer un vecteur à l'aide de la relation de Chasles pour faire "apparaître" le second, comme dans l'exercice 5 !

Exercice 1: Vecteurs colinéaires et coordonnées - déterminant - seconde

Dans chaque cas, dire si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.
Dans l'affirmative, déterminer $k$, tel que $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$

$\color{red}{\textbf{a. }} \vec {u}(2;-3) \text{ et } \vec v(-6;9)$ $\color{red}{\textbf{b. }} \vec {u}(-2;4) \text{ et } \vec v(1;2)$ $\color{red}{\textbf{c. }} \vec {u}\left(\dfrac 23;-2\right) \text{ et } \vec v(-1;3)$ $\color{red}{\textbf{d. }} \vec {u}\left(2\sqrt 2;-1\right) \text{ et } \vec v(-4;\sqrt 2)$

Exercice 2: Vecteurs colinéaires et coordonnées - déterminant - seconde

Dans chaque cas, déterminer $x$ pour que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ soient colinéaires:

$\color{red}{\textbf{a. }} \vec {u}(3;6) \text{ et } \vec v(x;3)$ $\color{red}{\textbf{b. }} \vec {u}(x;5) \text{ et } \vec v(5;x)$ $\color{red}{\textbf{c. }} \vec {u}(x;9) \text{ et } \vec v(x;x)$ $\color{red}{\textbf{d. }} \vec {u}(x;x+2) \text{ et } \vec v(x-3;2x-1)$

Exercice 3: Vecteurs colinéaires et coordonnées - déterminant - seconde

On considère la figure suivante:

Dans chaque cas, indiquer si les vecteurs sont colinéaires en justifiant:

$\color{red}{\textbf{a. }} \overrightarrow{\rm AB} \text{ et } \overrightarrow{\rm DC}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \overrightarrow{\rm BD} \text{ et } \overrightarrow{\rm AC}$ $\color{red}{\textbf{c. }} \overrightarrow{\rm AC}-\overrightarrow{\rm BD} \text{ et } \overrightarrow{\rm AB}$

Exercice 4: Vecteurs colinéaires sans coordonnées - seconde

ABC est un triangle. On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}=\dfrac 34\overrightarrow{\rm CA}-\overrightarrow{\rm BA}$ et $\overrightarrow{v}=8\overrightarrow{\rm AB}-6\overrightarrow{\rm AC}$.
Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

Exercice 5: Vecteurs colinéaires sans coordonnées - seconde

ABC est un triangle. On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{\rm AB}+3\overrightarrow{\rm CB}+\overrightarrow{\rm CA}$ et $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{\rm BC}-\overrightarrow{\rm AB}$.

Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ en fonction de $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AC}$.
En déduire que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.