Inégalité de Bienaymé-Tchebychev | Cours et exercices de probabilité

Une entreprise produit des jouets. On prélève au hasard $n$ jouets, où $n\geqslant 1$. Soit ${\rm S}_n$ la variable aléatoire qui compte le nombre de jouets ayant réussi le test de fabrication. On admet que ${\rm S}_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,95$.

1. Exprimer l'espérance et la variance de la variable aléatoire ${\rm S}_n$ en fonction de $n$.
2. Soit \( {\rm F}_n \) la variable aléatoire définie par : ${\rm F}_n = \dfrac{{\rm S}_n}{n}$.
   1. Déterminer l'espérance de ${\rm F}_n$.
   2. Montrer que la variance de ${\rm F}_n$ est $\dfrac{0{,}0475}{n}$.
   3. On s'intéresse à l'évènement \( \rm I \) suivant : « la proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de \( n \) jouets est strictement comprise entre \( 93\,\% \) et \( 97\,\% \) ». En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une valeur \( n \) telle que \( {\rm P(I)}\geqslant 0{,}96 \) .

Victor joue au basket. On note $\rm X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match. On admet que l'espérance $\rm E(X) = 22$ et la variance $\rm V(X) = 65$. Victor joue $n$ matchs, où $n$ est un nombre entier strictement positif. On note ${\rm X_1}, {\rm X}_2, \ldots, {\rm X}_n$ les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des 1er, 2e, $\ldots$, $n$-ième matchs. On admet que les variables aléatoires ${\rm X}_1, {\rm X}_2, \ldots, {\rm X}_n$ sont indépendantes et suivent la même loi que celle de ${\rm X}$. On pose \[ {\rm M}_n = \frac{{\rm X}_1 + {\rm X}_2 + \cdots + {\rm X}_n}{n}. \]

1. Dans cette question, on prend $n = 50$.
   1. Que représente la variable aléatoire $\rm M_{50}$ ?
   2. Déterminer l'espérance et la variance de $\rm M_{50}$.
   3. Démontrer que $\rm P (|M_{50} -22| \geqslant 3) \leqslant \dfrac {13}{90}$
   4. En déduire que la probabilité de l'évènement « $19 \lt \rm M_{50} \lt 25$ » est strictement supérieure à $0,85$.
2. Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse : « Il n'existe aucun entier naturel $n$ tel que ${\rm P}(|{\rm M}_n -22| \geqslant 3)\lt 0,01$