Vecteurs - Relation de Chasles - Cours Seconde et exercices corrigés

Conseils

Vecteurs - Relation de Chasles

Dans la page précédente, nous avons vu comment construire la somme de deux vecteurs .

👉 L'idée de base reste toujours la même : un vecteur symbolise un déplacement.

La relation de Chasles dit simplement que lorsqu'on va de A vers B, puis de B vers C, alors on est finalement allé de A vers C.

$\boxed{ \overrightarrow{\rm AB} + \overrightarrow{\rm BC} = \overrightarrow{\rm AC} }$

👉 Tu vas apprendre à utiliser cette relation pour simplifier des sommes de vecteurs.

👉 Nous verrons aussi comment décomposer un vecteur afin de faire apparaître les vecteurs dont on a besoin dans un calcul ou une égalité vectorielle.

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🎯 Comprendre la relation de Chasles

Un vecteur représente un déplacement.

La relation de Chasles dit simplement que si l'on va de A vers B, puis de B vers C, alors on est allé de A vers C.

$\boxed{ \overrightarrow{\rm AB} + \overrightarrow{\rm BC} = \overrightarrow{\rm AC} }$

👉 Les déplacements $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm BC}$ s'enchaînent.

Le point $\rm B$ est le point d'arrivée du premier déplacement et le point de départ du second.

💡 À retenir :
A → B puis B → C, c'est A → C.

🎯 Attention aux coefficients

Pour appliquer la relation de Chasles, les deux vecteurs doivent avoir le même coefficient.

💡 Exemple 1 :

$ \overrightarrow{\rm AB} + 2\overrightarrow{\rm BC} $

👉 On ne peut pas appliquer directement la relation de Chasles, car les coefficients devant les deux vecteurs ne sont pas les mêmes.

💡 Exemple 2 :

$ 2\overrightarrow{\rm AB} + 2\overrightarrow{\rm BC} $

Ici, les deux vecteurs ont le même coefficient. On peut mettre $2$ en facteur :

$ 2\overrightarrow{\rm AB} + 2\overrightarrow{\rm BC} = 2 \left( \overrightarrow{\rm AB} + \overrightarrow{\rm BC} \right) $

Puis on applique la relation de Chasles :

$\boxed{ 2\overrightarrow{\rm AB} + 2\overrightarrow{\rm BC} = 2\overrightarrow{\rm AC} }$

💡 Réflexe : si les vecteurs ont le même coefficient, pense à mettre ce coefficient en facteur.

🎯 Se débarrasser d'un signe −

Un signe « $-$ » peut empêcher de voir immédiatement la relation de Chasles.

On utilise alors le vecteur opposé :

$\boxed{ -\overrightarrow{\rm AB} = \overrightarrow{\rm BA} }$

💡 Exemple :

$ \overrightarrow{\rm NA} - \overrightarrow{\rm MA} $

On remplace $-\overrightarrow{\rm MA}$ par le vecteur opposé $\overrightarrow{\rm AM}$ :

$ \overrightarrow{\rm NA} - \overrightarrow{\rm MA} = \overrightarrow{\rm NA} + \overrightarrow{\rm AM} $

On peut alors appliquer Chasles :

$\boxed{ \overrightarrow{\rm NA} - \overrightarrow{\rm MA} = \overrightarrow{\rm NM} }$

💡 Un « − » te gêne ?
Remplace le vecteur par son vecteur opposé.

🎯 Simplifier une somme de vecteurs

La première grande application de la relation de Chasles est de simplifier une somme de vecteurs.

💡 Méthode :

Chercher des vecteurs qui peuvent s'enchaîner.
S'il y a un signe « $-$ », utiliser le vecteur opposé.
S'il y a des coefficients, chercher un facteur commun.
Appliquer la relation de Chasles.

💡 Exemple : Simplifier $ \overrightarrow{\rm MN} + \overrightarrow{\rm PO} - \overrightarrow{\rm PN} - \overrightarrow{\rm MO} $

On commence par se débarrasser des signes « $-$ » :

$ \overrightarrow{\rm MN} + \overrightarrow{\rm PO} + \overrightarrow{\rm NP} + \overrightarrow{\rm OM} $

On réorganise les vecteurs pour mettre côte à côte les vecteurs qui s'enchaînent et pouvoir ensuite appliquer la relation de Chasles :

$ \left( \overrightarrow{\rm MN} + \overrightarrow{\rm NP} \right) + \left( \overrightarrow{\rm PO} + \overrightarrow{\rm OM} \right) $

On applique Chasles :

$ \overrightarrow{\rm MP} + \overrightarrow{\rm PM} = \overrightarrow{\rm MM} = \vec{0} $

Conclusion :

$\boxed{ \overrightarrow{\rm MN} + \overrightarrow{\rm PO} - \overrightarrow{\rm PN} - \overrightarrow{\rm MO} = \vec{0} }$

🎯 Décomposer un vecteur

La relation de Chasles peut aussi être utilisée dans l'autre sens.

$\boxed{ \overrightarrow{\rm AC} = \overrightarrow{\rm AB} + \overrightarrow{\rm BC} }$

👉 On peut donc décomposer un vecteur en introduisant un point intermédiaire.

Cette méthode est très utile pour exprimer un vecteur en fonction d'autres vecteurs ou pour démontrer une égalité vectorielle.

💡 Exemple :

On considère :

$ \vec u = \overrightarrow{\rm CB} + \overrightarrow{\rm CA} - 2\overrightarrow{\rm BA} $

On veut exprimer $\vec u$ en fonction de $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AC}$.

On commence par décomposer $\overrightarrow{\rm CB}$ en introduisant le point $\rm A$ afin de faire apparaître les vecteurs qui nous intéressent : $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AC}$.

$ \overrightarrow{\rm CB} = \overrightarrow{\rm CA} + \overrightarrow{\rm AB} $

On remplace :

$ \vec u = \overrightarrow{\rm CA} + \overrightarrow{\rm AB} + \overrightarrow{\rm CA} - 2\overrightarrow{\rm BA} $

Puis on utilise les vecteurs opposés :

$ \overrightarrow{\rm CA} = -\overrightarrow{\rm AC} \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{\rm BA} = -\overrightarrow{\rm AB} $

Donc :

$ \vec u = -\overrightarrow{\rm AC} + \overrightarrow{\rm AB} - \overrightarrow{\rm AC} + 2\overrightarrow{\rm AB} $

$\boxed{ \vec u = 3\overrightarrow{\rm AB} - 2\overrightarrow{\rm AC} }$

💡 Pour exprimer un vecteur en fonction d'autres vecteurs, il faut décomposer avec Chasles afin de faire apparaître les vecteurs demandés.

📌 À retenir

👉 Un vecteur représente un déplacement.

👉 La relation de Chasles traduit l'enchaînement de deux déplacements : $\boxed{ \overrightarrow{\rm AB} + \overrightarrow{\rm BC} = \overrightarrow{\rm AC} }$

👉 La relation de Chasles permet de simplifier une somme : on cherche des vecteurs qui s'enchaînent.

👉 Avec un signe « $-$ », utilise le vecteur opposé :

$ -\overrightarrow{\rm AB} = \overrightarrow{\rm BA} $

👉 Avec des coefficients, cherche un facteur commun.

👉 La relation de Chasles permet aussi de décomposer un vecteur pour faire apparaître les vecteurs dont on a besoin.

Exercice 1 : Savoir additionner et soustraire des vecteurs - Relation de Chasles - Seconde

Sur le quadrillage ci-dessous, on a placé 9 points :

Points sur un quadrillage pour utiliser la relation de Chasles

En utilisant les points rouges de la figure, compléter :

$\color{red}{\textbf{a. }} \overrightarrow{\rm BA}=....=....$ $\color{red}{\textbf{b. }} \overrightarrow{\rm DF} + \overrightarrow{\rm DI} =...$ $\color{red}{\textbf{c. }} \overrightarrow{\rm FI} + \overrightarrow{\rm HA} =....$ $\color{red}{\textbf{d. }} \overrightarrow{\rm AF} - \overrightarrow{\rm GE} =....$ $\color{red}{\textbf{e. }} \overrightarrow{\rm HG} + \overrightarrow{\rm CG} =....$

Exercice 2 : Simplifier une somme de vecteurs avec la relation de Chasles - Seconde

Simplifier :

$\color{red}{\textbf{a. }} \overrightarrow{\rm MN} + \overrightarrow{\rm NP}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \overrightarrow{\rm MN} + \overrightarrow{\rm AM}$ $\color{red}{\textbf{c. }} \overrightarrow{\rm AB} + \overrightarrow{\rm IJ} - \overrightarrow{\rm IB}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \overrightarrow{\rm MN} + \overrightarrow{\rm PO} - \overrightarrow{\rm PN} - \overrightarrow{\rm MO}$

Exercice 3 : Simplifier des différences de vecteurs - Relation de Chasles - Seconde

Simplifier :

$\color{red}{\textbf{a. }} \overrightarrow{\rm AC} - \overrightarrow{\rm AB}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \overrightarrow{\rm RT} - \overrightarrow{\rm RS} - \overrightarrow{\rm ST}$ $\color{red}{\textbf{c. }} \overrightarrow{\rm AB} + \overrightarrow{\rm MA} - \overrightarrow{\rm MB} + \overrightarrow{\rm BA}$ $\color{red}{\textbf{d. }} \overrightarrow{\rm MN} + \overrightarrow{\rm PM} - \overrightarrow{\rm PQ} - \overrightarrow{\rm QM}$

Exercice 4 : Décomposer des vecteurs avec la relation de Chasles - Seconde

Dans chaque cas, exprimer le vecteur $\vec u$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AC}$ :

$\color{red}{\textbf{a. }} \vec u = \overrightarrow{\rm BC}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \vec u = 3\overrightarrow{\rm CB} - 2\overrightarrow{\rm CA}$ $\color{red}{\textbf{c. }} \vec u = \overrightarrow{\rm CB} + \overrightarrow{\rm CA} - 2\overrightarrow{\rm BA}$