Suite première spé maths: exercices corrigés - Calcul de termes, formule explicite et récurrence

Conseils

Suite - exercices corrigés

Dans la page précédente, nous avons vu le cours sur les suites : le vocabulaire à connaître (terme, indice), comment calculer les termes d'une suite définie par une formule explicite ou par une relation de récurrence.

👉 Maintenant, on va s'entraîner grâce à de nombreux exercices corrigés sur les suites.

👉 Les exercices sont classés par difficulté afin de te permettre de progresser étape par étape.

📘 Revoir le cours sur les suites →

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🎯 Objectif : savoir utiliser le vocabulaire des suites, calculer des termes et travailler avec une suite définie par une formule explicite ou par récurrence.

📺 Chaque exercice est accompagné d'une correction en vidéo pour t'aider à comprendre la méthode 💪

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Si tu les trouves trop faciles, essaie les exercices plus difficiles :

📗 Niveau 2 : Exercices sur les suites plus difficiles →

📙 Chapitre suivant : Suites arithmétiques →

Exercice 1: Calculer les premiers termes d'une suite - formule explicite et récurrente

Dans chaque cas, déterminer les trois premiers termes de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

$ \color{red}{\textbf{a. }} \ u_n={n^2-n+2}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \left \{ \begin{array}{r c l} u_0 & = & 1\\ u_{n+1} & = & 2u_n+3 \end{array} \right.$

Exercice 2: Calculer les premiers termes d'une suite - formule explicite et récurrente

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left \{ \begin{array}{r c l} u_1 & = & 7\\ u_{n+1} & = & 2u_n-3 \end{array} \right.$

Déterminer: $ \color{red}{\textbf{a. }} u_2$ $\color{red}{\textbf{b. }} u_0$

Exercice 3: Calculer les premiers termes d'une suite - formule explicite et récurrente

Dans chaque cas, déterminer les quatre premiers termes de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

$ \color{red}{\textbf{a. }} u_n=\dfrac{n-2}{n+1}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \left \{ \begin{array}{r c l} u_0 & = & 1\\ u_{n+1} & = & {u_n}^2+2 \end{array} \right.$ $\color{red}{\textbf{c. }} \left \{ \begin{array}{r c l} u_0 & = & 1\\ u_1 & = & 3\\ u_{n+2} & = & u_{n+1}-u_n \end{array} \right.$

Exercice 4: Mode de génération d'une suite

Pour chacune des suites définies ci-dessous, calculer à la main le terme demandé puis vérifier à la calculatrice.

Pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{(-2)^n}{n+1}$. Calculer $u_5$.
Pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=v_n (v_n - 1) -2$ et $v_0 = 2$. Calculer $v_3$.
Pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}= (n+1)w_n$ et $w_0 = 1$. Calculer $w_4$.

Exercice 5: Définir une suite par récurrence et par une formule explicite

Pour chacune des suites proposées ci-dessous, donner une formule explicite pour $u_n$ en fonction de $n$ et une expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.

$(u_n)$ est la suite des entiers pairs : $u_0 = 0, \, u_1 = 2, \, u_2 = 4, \, u_3 = 6, \, \ldots$
$(v_n)$ est la suite des entiers impairs : $v_0 = 1, \, v_1 = 3, \, v_2 = 5, \, v_3 = 7, \, \ldots$
$(w_n)$ est la suite des carrés parfaits : $w_0 = 0, \, w_1 = 1, \, w_2 = 4, \, w_3 = 9, \, w_4 = 16, \, \ldots$

Exercice 6: Suite et pourcentage - Traduire une situation

Traduire chacune des situations suivantes à l'aide d'une suite $(u_n)$. Pour cela, déterminer le terme initial et une relation de récurrence entre $u_{n+1}$ et $u_n$.

Tous les ans, un arbre pousse de 30 cm.
Un livre coûte cette année 12€. Son prix augmente de 7% par an tous les ans.
Un livre coûte cette année 12€. Son prix baisse de 7% par an tous les ans.
Chaque année, une ville de 100 000 habitants a sa population qui augmente de 4 % par accroissement naturel et perd 3000 habitants qui déménagent.
Myriam place à la banque 350€ à intérêts composés de 4% par an.

Exercice 7: Suite définie par une formule explicite et par récurrence

On considère la suite définie pour tout entier naturel $n$, par $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n-n+1$.

Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
Déterminer une relation pour $n\ge 1$ entre $u_n$ et $u_{n-1}$.
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=2^n+n$.
1. Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
2. Quelle conjecture peut-on faire? Démontrer cette conjecture.

Exercice 8: Suite de Syracuse - Algorithmique

On considère la suite $u$ définie par son premier terme $u_0$, entier strictement positif et
pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\left \{ \begin{array}{c l} \dfrac {u_n}2 & \textbf{si $u_n$ est pair} \\ 3u_n+1 & \textbf{si $u_n$ est impair} \\ \end{array} \right.$

Calculer les neuf premiers termes de la suite lorsque $u_0=10$. Qu'observe-t-on?
Qu'observe-t-on lorsque $u_0=13$?
Quelle conjecture peut-on faire?
Écrire un algorithme pour tester cette conjecture.

Exercice 9: Calculer les termes d'une suite à l'aide d'un tableur

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=2u_n+5$.
A l'aide d'un tableur, on obtient les valeurs des premiers termes de la suite $(u_n)$.

Quelle formule, étirée vers le bas, peut-on écrire dans la cellule $\rm A3$ pour obtenir les termes successifs de la suite $(u_n)$ ?
Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $v_{n+1}=2n v_n+5$.
A l'aide d'un tableur, déterminer les premiers termes de la suite $(v_n)$.

Suite première spé maths – Exercices corrigés : calculer les premiers termes, formule explicite et récurrence

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Exercice 1: Calculer les premiers termes d'une suite - formule explicite et récurrente

Exercice 2: Calculer les premiers termes d'une suite - formule explicite et récurrente

Exercice 3: Calculer les premiers termes d'une suite - formule explicite et récurrente

Exercice 4: Mode de génération d'une suite

Exercice 5: Définir une suite par récurrence et par une formule explicite

Exercice 6: Suite et pourcentage - Traduire une situation

Exercice 7: Suite définie par une formule explicite et par récurrence

Exercice 8: Suite de Syracuse - Algorithmique

Exercice 9: Calculer les termes d'une suite à l'aide d'un tableur

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