étudier le sens de variation d'une suite

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Suite

👉 3 Méthodes pour étudier le sens de variation d'une suite

La classique $u_{n+1}-u_n$

Méthode incontournable

Avec les suites du type $u_n=f(n)$

Méthode incontournable

En calculant $u_{n+1}\div {u_n}$

Avant d'utiliser cette méthode, déjà bien maîtriser les 2 premières méthodes.
Méthode à utiliser avec des suites strictement positives.

Exercice type

pour savoir appliquer la méthode $u_{n+1}-u_n$

Exercice type

pour savoir appliquer la méthode $u_n=f(n)$

Exercice type

pour savoir appliquer la méthode $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$

Suite croissante

Suite décroissante

Ne pas confondre croissante et positive

Comment déterminer le sens de variation d'une suite

Étudier le sens de variation d'une suite, c'est chercher si cette suite est croissante ou décroissante.

Méthode générale
1. Calculer $u_{n+1}-u_n$.
2. Trouver le signe de $u_{n+1}-u_n$
  
  Si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n \geqslant 0$ alors la suite $(u_n)$ est croissante.
  
  Si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n \leqslant 0$ alors la suite $(u_n)$ est décroissante.
Si $(u_n)$ est strictement positive
1. Calculer $\displaystyle{\frac{u_{n+1}}{u_n}}$
2. Comparer $\displaystyle{ \frac{u_{n+1}}{u_n}}$ à 1
  
  Si pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle{\frac{u_{n+1}}{u_n}} \geqslant 1$ alors la suite $(u_n)$ est croissante.
  
  Si pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle{\frac{u_{n+1}}{u_n}} \leqslant 1$ alors la suite $(u_n)$ est décroissante.
  
  Avant d'appliquer cette méthode, bien vérifier que la suite est strictement positive !
Si $u_n=f(n)$
1. Étudier les variations de $f$
  
  On pourra utiliser la dérivation, sous réserve que $f$ soit dérivable.
2. Ne conclure que si $f$ est monotone sur $[p;+\infty[$
  
  monotone signifie soit toujours croissante, soit toujours décroissante.
  $p$ désigne un entier naturel.
  
  Si $f$ est croissante sur $[p;+\infty[$ alors $(u_n)$ est croissante à partir du rang $p$
  
  Exemple: La fonction est croissante sur $[2;+\infty[$
  Donc la suite est croissante à partir du rang 2.
  
  Si $f$ est décroissante sur $[p;+\infty[$ alors $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $p$
  
  Exemple: La fonction est décroissante sur $[2;+\infty[$
  Donc la suite est décroissante à partir du rang 2.
  
  Dans les autres cas, on ne peut rien conclure
  
  Sur cet exemple, les variations de la fonction changent. Et pourtant La suite représentée par les points rose est constante! La suite n'a pas les mêmes variations que la fonction.

Exercice 1: Sens de variation d'une suite - Un+1-Un

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac n{n+1}$.

Exercice 2: Sens de variation d'une suite - Un+1-Un

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n=n+\dfrac 1n$.

Exercice 3: Sens de variation d'une suite - Un+1-Un

Dans chaque cas, étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

$\color{red}{\textbf{a. }} u_n=\dfrac 3{2^n}$ $\color{red}{\textbf{b. }} u_n=\dfrac n{3^n}$

Exercice 4: Sens de variation d'une suite - Un+1-Un et un=f(n)

Soit suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=5-\dfrac n3$.
Étudier le sens de variation de cette suite $(u_n)$:

En calculant $u_{n+1}-u_n$.
En exploitant les variations d'une fonction.

Exercice 5: Sens de variation d'une suite - Un+1-Un & un=f(n)

Soit suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=2n^2-7n-2$.
Étudier le sens de variation de cette suite $(u_n)$:

En calculant $u_{n+1}-u_n$.
En exploitant les variations d'une fonction.

Exercice 6: Sens de variation d'une suite définie par récurrence

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left \{ \begin{array}{r c l} u_0 & = & 2\\ u_{n+1} & = & u_n(1-3u_n) \end{array} \right.$

Exercice 7: Sens de variation d'une suite à l'aide de Un+1/Un

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{n+1}{2^n}$

Exercice 8: Sens de variation d'une suite Un+1/Un

On admet que les suites ci-dessous ont tous leurs termes strictement positifs.
A l'aide de $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$, étudier le sens de variations des suites:

Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \dfrac{3^n}{5n}$.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, $\left \{ \begin{array}{r c l} u_1 & = & 1\\ u_{n+1} & = & \dfrac{8u_{n}}{n} \end{array} \right.$

Exercice 9: Variations d'une suite définie par récurrence

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left \{ \begin{array}{r c l} u_0 & = & 1\\ u_{n+1} & = & {u_n}^2 - 2u_n + 3 \end{array} \right.$

Calculer à la main $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
Conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
Montrer que pour tout réel $x$, $x^2 -3x + 3 >0$.
Démontrer votre conjecture.

Exercice 10: Sens de variation d'une suite - Un+1-Un & un=f(n)

Soit suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n= n^2 - 10n$.
Étudier le sens de variation de cette suite $(u_n)$ par 2 méthodes.

Exercice 11: Pour aller plus loin - En route vers la prépa - Variation d'une suite définie par récurrence et racine carrée

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left \{ \begin{array}{r c l} u_0 & = & 0\\ u_{n+1} & = & \sqrt{2+u_n} \end{array} \right.$

On a tracé ci-dessous la courbe de la fonction $f$ définie sur $[-2;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{2+x}$.

A l'aide du graphique, représenter $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de la suite $(u_n)$.
Dans la suite de l'exercice, on admet que pour tout entier naturel $n$, $0\le u_n\le 2$.
1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\frac{-{u_n}^2+u_n+2}{\sqrt{2+u_n}+u_n}}$.
2. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

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Exercice 4: Sens de variation d'une suite - Un+1-Un et un=f(n)

Exercice 5: Sens de variation d'une suite - Un+1-Un & un=f(n)

Exercice 6: Sens de variation d'une suite définie par récurrence

Exercice 7: Sens de variation d'une suite à l'aide de Un+1/Un

Exercice 8: Sens de variation d'une suite Un+1/Un

Exercice 9: Variations d'une suite définie par récurrence

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