Polynôme du second degré - Exercices corrigés

Conseils

Polynôme du second degré

Dans la page précédente, nous avons vu le cours sur les polynômes du second degré : forme canonique, sommet de la parabole, axe de symétrie et variations.

👉 Maintenant, on va s'entraîner grâce à de nombreux exercices corrigés sur les polynômes du second degré.

👉 Les exercices sont classés par difficulté afin de te permettre de progresser étape par étape.

📘 Revoir le cours sur les polynômes du second degré →

🎯 Objectif : savoir déterminer et utiliser la forme canonique, trouver le sommet d'une parabole et étudier les variations d'un polynôme du second degré.

📺 Chaque exercice est accompagné d'une correction en vidéo pour t'aider à comprendre la méthode 💪

🚀 Tu veux aller plus loin ?

Tu maîtrises ces exercices ? Passe au niveau suivant !
Si tu les trouves trop faciles, essaie les exercices plus difficiles :

📗 Niveau 2 : Exercices plus difficiles sur le polynôme du second degré →

📙 Chapitre suivant : Équations du second degré →

Exercice 1: Polynôme du second degré - savoir trouver les coefficients - Première Spécialité maths S ES STI

Dans chaque cas, dire s'il s'agit d'une fonction polynôme du second degré. Dans l'affirmative, donner les coefficients $a$, $b$, $c$.

$\color{red}{\textbf{a. }} -2x^2+5$ $\color{red}{\textbf{b. }} (1-2x)^2$ $\color{red}{\textbf{c. }} \dfrac{x^2+6x-1}3$ $\color{red}{\textbf{d. }} (3x-2)^2-9x^2$

Exercice 2: reconnaître la fonction qui correspond à une parabole - Première spé maths S ES STI

Dans chaque cas, on a tracé la parabole représentant une fonction polynôme $f$ du second degré. À l'aide du graphique, déterminer l'expression de $f(x)$:

Exercice 3: reconnaître la fonction qui correspond à une parabole - Première spé maths S ES STI

On a représenté les courbes de cinq fonctions: $f, g, h, k, m$.
$f(x)=x^2-6x+8$
$g(x)=-2x^2+2x+1$
$h(x)=2x-1$
$k(x)=(x-1)^2+3$
$m(x)=x^2+4x+4$
Associer à chaque courbe, la fonction qui lui correspond, en justifiant:
courbe 2nd degré

Exercice 4: Fonction polynôme du 2nd degré - tableau de variations à l'aide de la forme canonique - Première S ES STI spé maths

Déterminer le tableau de variations des fonctions polynômes du second degré suivantes:

$\color{red}{\textbf{a. }} f: x\mapsto 4(x-3)^2+5$ $\color{red}{\textbf{b. }} x\mapsto 2-(x+1)^2$ $\color{red}{\textbf{c. }} h: x\mapsto 1-4x^2$

Exercice 5: Tableau de variations et polynôme du 2nd degré - Première spé maths S ES STI

On donne le tableau de variation d'une fonction $f$:
variation second degré

Parmi les fonctions suivantes, une est $f$. Laquelle? Justifier.

$ x\mapsto (x-3)^2+5$ $ x\mapsto (x+3)^2+5$ $ x\mapsto -(x-3)^2+5$ $ x\mapsto -(x-5)^2+3$

Exercice 6: Polynôme du second degré - forme canonique - Première Spécialité maths S ES STI

Écrire la fonction polynôme du second degré $f$ définie par $f(x)=3x^2+12x+8$ sous forme canonique :

En utilisant la formule du cours sur $\alpha$
En utilisant votre calculatrice pour avoir les coordonnées du sommet
En utilisant la méthode de complétion du carré

Exercice 7: Polynôme du second degré - forme canonique Première Spécialité maths S ES STI

Écrire la fonction polynôme du second degré $f$ sous forme canonique par $2$ méthodes : $f(x)=2x^2+16x+27$.

Exercice 8: Polynôme du second degré - forme canonique et tableau de variations - Première Spécialité maths S ES STI

Déterminer le tableau de variations du trinôme: $f(x)=-5x^2+10x+2$.

Exercice 9: Polynôme du second degré - forme canonique et tableau de variations - Première Spécialité maths S ES STI

Déterminer la forme canonique du trinôme: $f(x)=-2x^2+12x-17$.
En déduire le tableau de variations de $f$.

Exercice 10: Écrire un polynôme sous forme canonique - Première spé maths S ES STI

Dans chaque cas, déterminer la forme canonique des trinômes suivants:

$\color{red}{\textbf{a. }} x^2+6x+1$ $\color{red}{\textbf{b. }} -2x^2+5$ $\color{red}{\textbf{c. }} 2x^2+x$ $\color{red}{\textbf{d. }} (1-2x)^2$

Exercice 11: Parabole - coordonnées du sommet - polynôme du second degré - Première spé maths S ES STI

On note $\mathscr{P}$ la parabole représentant la fonction $f$. Dans chaque cas, déterminer les coordonnées du sommet de $\mathscr{P}$:

$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=-x^2+4x+1$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=2(x+3)^2-7$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(x)=(1-x)(x+3)$

Exercice 12: Abscisse du sommet d'une parabole - Première spé maths S ES STI

Soit $f$ un polynôme du $2^{\text{nd}}$ degré tel que $f(2)=3$ et $f(10)=3$. Déterminer l'abscisse du sommet.

Exercice 13: Variations, maximum et minimum d'un polynôme du second degré - Première spé maths S ES STI

Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}$:

$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=x^2-2x+3$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=-2(x+1)^2-3$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(x)=(4-2x)(x-3)$

Exercice 14: Déterminer la parabole connaissant un point et le sommet - Première spé maths S ES STI

Soit une parabole qui admet pour sommet le point (2;1) et qui passe par le point (1;3). Déterminer la fonction $f$ qui correspond à cette parabole.

Exercice 15: QCM - polynôme du second degré - forme canonique - sommet Première spé maths S ES STI

Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses:

La courbe de la fonction $f(x)=2(1-x)^2-3$ est une parabole tournée vers le haut.
La courbe de la fonction $f(x)=-2x^2+12x-17$ est une parabole et son sommet a pour abscisse 3.
La courbe de la fonction $f(x)=3(x+2)^2+5$ est une parabole et le sommet a pour coordonnées (-2;5).

Exercice 16: QCM - variations et forme canonique - polynôme du 2nd degré Première spé maths S ES STI

Dans chaque cas, indiquer la ou les bonnes réponses:

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3(x-1)^2-2$:
1. $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$.
2. Pour $x\leqslant 1$, $f(x)\leqslant 0$.
3. $f$ admet un maximum en $1$.
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-(x+4)^2-3$:
1. Le maximum de $f$ est $4$.
2. $f$ admet un maximum en $-4$.
3. Pour tout $x$, $f(x)\leqslant 0$.
Soit $f:x\rightarrow -3(x-4)^2+7$:
1. L'équation $f(x)=8$ admet des solutions.
2. L'équation $f(x)=0$ admet 2 solutions.

Polynôme du second degré : exercices corrigés - Première