Polynôme du second degré : forme canonique, sommet, parabole, variations

Conseils

Polynôme du second degré

Dans cette page, tu vas apprendre à reconnaître un polynôme du second degré et à comprendre les différentes façons de l'écrire.

Nous verrons :

👉 ce qu'est un polynôme du second degré ;
👉 les trois écritures à connaître : forme développée, forme factorisée et forme canonique ;
👉 à quoi sert la forme canonique, notamment pour déterminer les variations du polynôme et retrouver facilement son sommet ;
👉 comment transformer un polynôme du second degré en forme canonique.

À la fin de cette leçon, tu sauras reconnaître ces différentes formes et passer d'une écriture à la forme canonique.

📺 Tout le cours est expliqué en vidéo et tu trouveras aussi des exercices corrigés en vidéo pour t'entraîner 💪

💡 Ce chapitre contient pas mal de notions. Ne t'inquiète pas : en regardant le cours en vidéo et en faisant les exercices, tu verras que tout deviendra clair.

👉 Clique quand il y a des ampoules pour afficher les explications du cours 👇

🎯 Cours : qu'est-ce qu'un polynôme du second degré

Définition Une fonction polynôme du second degré est une fonction qui peut s'écrire sous la forme $\boldsymbol{\underbrace{a}_{a\ne 0}x^2+bx+c}$

$\boldsymbol{a}$ toujours différent de $0$, sinon il n'y a pas de terme en $x^2$ et ce n'est plus du second degré

La courbe représentative d'un polynôme du second degré est une parabole.

👉 Si $a>0$

La parabole est tournée vers le haut.

👉 Si $a\lt0$

La parabole est tournée vers le bas.

📺 Cours (en 5 min !) 👇

Exemples
$-5x^2+4x$

$4-x^2$

$2x^2$

$(x-3)^2$

$2x-3$

Au lieu de dire polynôme du second degré, on peut dire trinôme du second degré.

Par abus, au lieu de dire fonction polynôme, on peut dire seulement polynôme.

Sommet et Axe de symétrie

La parabole a un sommet : c'est le point de la parabole situé le plus bas ou le plus haut, selon que la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas.

La parabole a un axe de symétrie vertical. Le sommet appartient à cet axe de symétrie.

💡 Si on trouve deux points de la parabole situés à la même hauteur, alors l'axe de symétrie passe exactement au milieu de ces deux points.
Pour trouver l'abscisse du sommet, il suffit donc de faire la moyenne des abscisses de ces deux points.

🎯 Cours : Forme canonique

Propriété Tout trinôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ peut s'écrire sous la forme $f(x)=\underbrace{a(x-\color{red}\alpha)^2+\color{green}\beta}_{\text{Forme canonique}}$

👉 Formules à connaître pour trouver la forme canonique :
$\color{red}\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\color{green}\beta=f(\alpha)$

Erreur à ne pas faire

📺 Forme canonique (en 5 min !) 👇

Exemple $f(x)=3x^2-12x+16$

Lien entre la forme canonique et le sommet de la parabole

👉 $(\color{red}\alpha~;~\color{green}\beta)$ de la forme canonique sont les coordonnées du sommet de la parabole
👉 Donc si on connaît la forme canonique, on en déduit $\color{red}\alpha$ et $\color{green}\beta$ et donc les coordonnées du sommet de la parabole.
👉 Et réciproquement, si on connaît les coordonnées du sommet de la parabole alors on connaît $\color{red}\alpha$ et $\color{green}\beta$ et donc on en déduit la forme canonique.
Penser à lire les coordonnées du sommet sur la courbe, on a alors $\color{red}\alpha$ et $\color{green}\beta$ puis la forme canonique.

📺 EXERCICE TYPE POUR COMPRENDRE LE LIEN ENTRE LA FORME CANONIQUE ET LE SOMMET DE LA PARABOLE 👇

Tableau de variations d'un trinôme du second degré
👉 La forme canonique est très pratique pour trouver les coordonnées du sommet de la parabole et donc déduire le tableau de variations du trinôme.

👉 Si $a>0$

Tableau de variations d'un polynôme du second degré lorsque a est positif

Le polynôme admet un minimum $\beta$, atteint pour $x=\alpha$.

👉 Si $a\lt 0$

Tableau de variations d'un polynôme du second degré lorsque a est négatif

Le polynôme admet un maximum $\beta$, atteint pour $x=\alpha$.

📺 EXERCICE TYPE POUR SAVOIR TROUVER LE TABLEAU DE VARIATIONS D'UN POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ 👇

🎯 3 méthodes pour mettre sous forme canonique

•

Avec la formule de $\alpha$

•

Avec le sommet de la parabole

•

Compléter le carré - Complétion du carré (Difficile) voir la vidéo

📺 Avec la formule du cours de $\alpha$ (en 4 min !) 👇

📺 Avec le sommet de la parabole (en 5 min !) 👇

📺 En complétant le carré (en 6 min !) Plus difficile 👇

Cours des 3 techniques

pour mettre sous forme canonique (10 min)

Démonstration

Forme canonique

🎯 3 façons d'écrire un polynôme du second degré

Il y a 3 façons d'écrire un polynôme du second degré

La forme développée $ax^2+bx+c$

La forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$

La forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$

Exemple $f(x)=4x^2-8x-12$ (Forme développée)

Résumé de tout le cours

sur le second degré (en 12 min!)

Ancienne version du cours

Fonction polynôme du second degré

Forme canonique et à quoi ça sert

Exercice 1: Polynôme du second degré - savoir trouver les coefficients - Première Spécialité maths S ES STI

Dans chaque cas, dire s'il s'agit d'une fonction polynôme du second degré. Dans l'affirmative, donner les coefficients $a$, $b$, $c$.

$\color{red}{\textbf{a. }} -2x^2+5$ $\color{red}{\textbf{b. }} (1-2x)^2$ $\color{red}{\textbf{c. }} \dfrac{x^2+6x-1}3$ $\color{red}{\textbf{d. }} (3x-2)^2-9x^2$

Exercice 2: Reconnaître la fonction qui correspond à une parabole - Première spé maths S ES STI

Dans chaque cas, on a tracé la parabole représentant une fonction polynôme $f$ du second degré. A l'aide du graphique, déterminer l'expression de $f(x)$: