Il est important de regarder la vidéo de cours avant de faire les exercices
Puis faire les exercices
Conseils pour travailler efficacement
Conseils pour le jour du Bac
Polynôme du second degré
Cours
Fonction polynôme du second degré (5 min!)
•
fonction polynôme du second degré
Définition Une fonction polynôme du
second
degré est une fonction qui peut s'écrire sous
la forme
$\boldsymbol{ax^2+bx+c}$
avec $a\neq 0$
Exemples $-5x^2+4x$
$-5x^2+4x=\underbrace{\color{red}{-5}}_{\displaystyle
a}x^2+\underbrace{\color{green}4}_{\displaystyle
b}x+\underbrace{\color{yellow}0}_{\displaystyle c}$ Donc
$\color{red}a=\color{red}{-5}$, $\color{green}b=\color{green}4$,
$\color{yellow}c=\color{yellow}0$
$4-x^2$
$4-x^2=\underbrace{\color{red}-}_{\displaystyle
a}x^2+\underbrace{\color{green}0}_{\displaystyle
b}\times x+\underbrace{\color{yellow}4}_{\displaystyle c}$ Donc
$\color{red}a=\color{red}{-1}$, $\color{green}b=\color{green}0$,
$\color{yellow}c=\color{yellow}4$
$2x^2$
$2x^2=\underbrace{\color{red}2}_{\displaystyle
a}x^2+\underbrace{\color{green}0}_{\displaystyle
b}\times x+\underbrace{\color{yellow}0}_{\displaystyle c}$ Donc
$\color{red}a=\color{red}{2}$, $\color{green}b=\color{green}0$,
$\color{yellow}c=\color{yellow}0$
$(x-3)^2$
$(x-3)^2=(x-3)(x-3)=\underbrace{\color{red} ~}_{\displaystyle
a}x^2+\underbrace{\color{green}{-6}}_{\displaystyle
b}\times x+\underbrace{\color{yellow}9}_{\displaystyle c}$ Donc
$\color{red}a=\color{red}{1}$, $\color{green}b=\color{green}{-6}$,
$\color{yellow}c=\color{yellow}9$
$2x-3$
$2x-3$
n'est pas du second degré!
Trinôme du second degré
Définition Au lieu de dire
polynôme du second degré, on peut dire
trinôme du second degré.
Par abus
Par abus, au lieu de dire
fonction polynôme du second degré, on peut dire seulement
polynôme du second degré.
Cours
Forme canonique (5 min!)
Exercice type
Trouver l'expression d'une fonction polynôme du second degré à partir de la parabole
Exercice type
Déterminer le tableau de variations d'une fonction polynôme du second degré
•
Forme canonique
Propriété Tout trinôme du second degré
$f(x)=ax^2+bx+c$ peut s'écrire sous la forme
$f(x)=a(x-\color{red}\alpha)^2+\color{green}\beta$
Cette forme s'appelle la forme canonique.
$\color{red}\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\color{green}\beta=f(\alpha)$
Exemple $f(x)=3x^2-12x+16$
$f(x)=\underbrace{3}_{\displaystyle a}x^2\underbrace{-12}_{\displaystyle
b}x+\underbrace{16}_{\displaystyle c}$ Donc
$a=3$, $b=-12$ et $c=16$.
Donc $\color{red}\alpha=-\dfrac{b}{2a}$$=-\dfrac{-12}{2\times 3}=2$
$\color{green}\beta=f(2)=3\times 2^2-12\times 2+16=4$
Donc la forme canonique est
$f(x)=a(x-\color{red}\alpha)^2+\color{green}\beta=3(x-2)^2+4$
•
A quoi sert la forme canonique
La forme canonique est très pratique pour
trouver les coordonnées du sommet de la parabole (voir
paragraphe plus loin)
•
3 façons d'écrire un polynôme du second degré
Il y a 3 façons d'écrire un polynôme du second degré
Chaque forme a ses avantages spécifiques.
La forme développée
$ax^2+bx+c$
On peut toujours la trouver.
La forme factorisée
$a(x-x_1)(x-x_2)$
La
forme factorisée n'existe pas toujours !
La forme canonique
$a(x-\alpha)^2+\beta$
On peut toujours la trouver.
Exemple $f(x)=4x^2-8x-12$ (Forme développée)
La forme factorisée
$f(x)=4(x-3)(x+1)$
Il suffit de développer la forme factorisée $4(x-3)(x+1)$
pour retomber sur
la forme développée $4x^2-8x-12$.
La forme canonique
$f(x)=4(x-1)^2-16$
Il suffit de développer la forme canonique $4(x-1)^2-16$
pour retomber sur
la forme développée $4x^2-8x-12$.
•
Courbe d'un polynôme du second de degré
$f(x)=ax^2+bx+c$
La courbe d'une fonction polynôme du second
degré $f(x)=ax^2+bx+c$ est une parabole
ayant un axe de symétrie d'équation $x=-\dfrac b{2a}$
dans un repère orthogonal
Si $a\gt 0$
La parabole est tournée vers le haut
On a donc
le tableau de variations suivant:
Il y a un minimum $\beta$ atteint en $\alpha$.
Si $a\lt 0$
La parabole est tournée vers le bas
On a donc
le tableau de variations suivant:
Il y a un maximum $\beta$ atteint en $\alpha$.
coordonnées du sommet
L'abscisse du sommet est $\alpha=-\dfrac b{2a}$.
L'ordonnée du sommet est $f(\alpha)$.
Lien avec la forme canonique
Si la forme canonique est $f(x)=a(x-\color{red}\alpha)^2+\color{green}\beta$
alors les coordonnées du sommet sont $(\color{red}\alpha;
\color{green}\beta)$
La réciproque est vraie aussi:
Si les coordonnées du sommet sont
$(\color{red}\alpha;\color{green}\beta)$ alors la forme
canonique est $f(x)=a(x-\color{red}\alpha)^2+\color{green}\beta$.
Erreur à ne pas faire
Si $f(x)=3(x+1)^2-5$ alors $\alpha$ ne vaut pas 1 ! Pour lire $\alpha$, il faut faire
apparaitre une soustraction !
On écrit: $f(x)=3(x\color{red}{\boldsymbol{-}}(-1))^2+(-5)$ donc
$\alpha=-1$ et
$\beta=-5$.
Lien avec la forme factorisée
Si on connait la forme factorisée, l'abscisse du sommet est la
moyenne de(s) racine(s)
Une racine est une valeur pour laquelle le polynôme
s'annule.
Exemple $f(x)=-5(x-3)(x+1)$
Si $f(x)=-5(x-3)(x+1)$ alors les racines sont 3 et -1
Car $f(3)=0$ et $f(-1)=0$
Pour trouver l'abscisse du sommet, on calcule la moyenne des
racines.
Donc l'abscisse du sommet est $\dfrac{3+(-1)}2=1$
3 méthodes pour
mettre sous forme canonique
Avec la formule du cours de $\alpha$ en 4 min!
Avec le sommet de la parabole en 5 min!
En complétant le carré en 6 min! (Plus difficile)
Cours complet des 3 techniques
pour savoir mettre sous forme canonique (10 min)
•
Avec la formule de $\alpha$
Calculer $\color{red}\alpha=-\dfrac b{2a}$ et $\color{green}\beta=f(\alpha)$
Puis $ax^2+bx+c=a(x-\color{red}\alpha)^2+\color{green}\beta$
•
Avec le sommet de la parabole
Si la parabole a pour sommet le point de coordonnées
$(\color{red}\alpha;\color{green}\beta)$ alors
$f(x)=a(x-\color{red}\alpha)^2+\color{green}\beta$
Penser à cette méthode si on peut lire sur un
graphique les coordonnées du sommet !
•
Compléter le carré - Complétion du carré
(Difficile)
comme expliqué dans la vidéo
Cette méthode s'appelle la complétion du carré, ce qui veut dire
compléter le
carré.
Démonstration
Forme canonique
Résumé de tout le cours
sur le second degré (en 12 min!)
Ancienne version du cours
Fonction polynôme du second degré
Forme canonique et à quoi ça sert
Exercice
1: Polynôme du second degré - savoir trouver les coefficients -
Première Spécialité maths S ES
STI
Dans chaque cas, dire s'il s'agit d'une fonction polynôme du second degré. Dans l'affirmative,
donner les coefficients $a$, $b$, $c$.
Exercice
2: Reconnaître la fonction qui correspond à une parabole -
Première spé maths S ES STI
Dans chaque cas, on a tracé la parabole représentant une fonction polynôme $f$ du second degré.
A l'aide du graphique, déterminer l'expression de $f(x)$:
a.
b.
Exercice
3: Reconnaitre la fonction qui correspond à une parabole -
Première spé maths S ES STI
On a représenté les courbes de cinq fonctions: $f, g, h, k, m$.
$f(x)=x^2-6x+8$
$g(x)=-2x^2+2x+1$
$h(x)=2x-1$
$k(x)=(x-1)^2+3$
$m(x)=x^2+4x+4$
Associer à chaque courbe, la fonction qui lui correspond, en justifiant:
Exercice
4: Fonction polynôme du 2nd degré - tableau de variations à l'aide
de la forme canonique - Première S ES STI spé
maths
Déterminer le tableau de variations des fonctions polynômes du second degré suivantes:
Exercice
14: Déterminer la parabole connaissant un point et le sommet -
Première spé maths S ES STI
Soit une parabole qui admet pour sommet le point (2;1) et qui passe par le point (1;3). Déterminer
la fonction $f$ qui correspond à cette parabole.
Exercice
15: QCM - polynôme du second degré - forme canonique - sommet
Première spé maths S ES STI
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses:
La courbe de la fonction $f(x)=2(1-x)^2-3$ est une parabole tournée vers le haut.
La courbe de la fonction $f(x)=-2x^2+12x-17$ est une parabole et son sommet a pour
abscisse 3.
La courbe de la fonction $f(x)=3(x+2)^2+5$ est une parabole et le sommet a pour
coordonnées (-2;5).
Exercice
16: QCM - variations et forme canonique - polynôme du 2nd degré
Première spé maths S ES STI
Dans chaque cas, indiquer la ou les bonnes réponses:
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3(x-1)^2-2$:
$f$ est croissante sur $[1;+\infty[$.
Pour $x\leqslant 1$, $f(x)\leqslant 0$.
$f$ admet un maximum en $1$.
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-(x+4)^2-3$:
Le maximum de $f$ est $4$.
$f$ admet un maximum en $-4$.
Pour tout $x$, $f(x)\leqslant 0$.
Soit $f:x\rightarrow -3(x-4)^2+7$:
L'équation $f(x)=8$ admet des solutions.
L'équation $f(x)=0$ admet 2 solutions.
Exercice
17: Polynôme du second degré et Bénéfice maximal -
Première spé maths S ES STI
Un pompiste vend le litre d'essence au prix de $1,20$ € . Le prix d'achat est pour lui de
$0,85$ €,
le litre. Il sait qu'il peut compter sur une vente journalière de $1 000$ litres et qu'à chaque
baisse de $1$ centime
qu'il consent pour le prix du litre, il vendra $100$ litres de plus par jour. À quel prix le
pompiste doit-il vendre le litre d'essence pour faire un bénéfice maximal et quelle est la valeur
de ce bénéfice maximal ?
Exercice
18: Polynôme du second degré et aire maximale -
Première spé maths S ES STI
$ABCD$ est un carré de côté $10$ cm et $M$ est un point de $[AB]$ (distinct de $A$ et de $B$) et
$AMON$ est un carré de côté $x$.
Montrer que l'aire grise (en $\text{cm}^2$) s'écrit $-x^2 + 5x + 50$.
Où placer le point $M$ pour obtenir la plus grande aire grise possible ? Que vaut alors
l'aire grise ?
Exercice
19: Traduire un problème en équation du 2nd degré - Trouver le
maximum -
Algorithme -
Première spé maths S ES STI
Une agence immobilière possède $200$ studios qui sont tous occupés quand le
loyer est de $700$ euros par mois. L'agence estime qu'à chaque fois qu'elle augmente le loyer de $5$
euros, un
appartement n'est plus loué.
On note $x$ le nombre d'augmentations de $5$ euro sur le loyer mensuel.
Montrer que le revenu mensuel de l'agence (en euros) s'écrit : $-5x^2 + 300x +140000$.
En déduire le montant du loyer pour maximiser le revenu mensuel de l'agence.
Ecrire un algorithme en langage naturel permettant de retrouver la réponse à ce
problème.
Exercice
20: Polynôme du second degré et aire maximale - Enclos -
Première spé maths S ES STI
On souhaite délimiter un enclos rectangulaire adossé à un mur à l'aide d'une clôture en grillage de
$80$ mètres
de long comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
Quelles sont les dimensions de l'enclos pour obtenir la plus grande surface possible ?
Exercice
21: Polynôme du second degré - Démonstrations - Variations -
Première spé maths S ES STI
En utilisant la définition d'une fonction strictement croissante sur un intervalle (puis celle d'une
fonction
strictement décroissante), démontrer que :
la fonction $f : x \mapsto 2(x-3)^2 -1$ est strictement croissante sur $[3~;~+\infty[$.
la fonction $f : x \mapsto -3(x+1)^2 + 5$ est strictement décroissante sur
$[-1~;~+\infty[$.
la fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{2}(x-2)^2 + 3$ est strictement décroissante sur
$]-\infty~;~2]$.
Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois/jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le
lendemain.
La
forme factorisée n'existe pas toujours !
