j'ai compris mes maths
jaicompris.com
Cours et exercices corrigés en vidéo
Première spé

Polynôme du second degré - forme canonique variations sommet

Conseils
Polynôme du second degré
Cours

Fonction polynôme du second degré (5 min!)


fonction polynôme du second degré

Cours

Forme canonique (5 min!)


Exercice type

Trouver l'expression d'une fonction polynôme du second degré à partir de la parabole


Exercice type

Déterminer le tableau de variations d'une fonction polynôme du second degré


Forme canonique

A quoi sert la forme canonique

3 façons d'écrire un polynôme du second degré

Courbe d'un polynôme du second de degré $f(x)=ax^2+bx+c$

3 méthodes pour

mettre sous forme canonique

Avec la formule du cours de $\alpha$ en 4 min!
Avec le sommet de la parabole en 5 min!
En complétant le carré en 6 min! (Plus difficile)
Cours complet des 3 techniques

pour savoir mettre sous forme canonique (10 min)


Avec la formule de $\alpha$

Avec le sommet de la parabole

Compléter le carré - Complétion du carré (Difficile)

Démonstration

Forme canonique

Résumé de tout le cours

 sur le second degré (en 12 min!)
Ancienne version du cours

Fonction polynôme du second degré


Forme canonique et à quoi ça sert

Exercice 1: Polynôme du second degré - savoir trouver les coefficients - Première Spécialité maths S ES STI

Dans chaque cas, dire s'il s'agit d'une fonction polynôme du second degré. Dans l'affirmative, donner les coefficients $a$, $b$, $c$.
$\color{red}{\textbf{a. }} -2x^2+5$ $\color{red}{\textbf{b. }} (1-2x)^2$ $\color{red}{\textbf{c. }} \dfrac{x^2+6x-1}3$ $\color{red}{\textbf{d. }} (3x-2)^2-9x^2$

Exercice 2: Reconnaître la fonction qui correspond à une parabole - Première spé maths S ES STI

Dans chaque cas, on a tracé la parabole représentant une fonction polynôme $f$ du second degré. A l'aide du graphique, déterminer l'expression de $f(x)$:
a. courbe 2nd degré
b. courbe 2nd degré

Exercice 3: Reconnaitre la fonction qui correspond à une parabole - Première spé maths S ES STI

On a représenté les courbes de cinq fonctions: $f, g, h, k, m$.
$f(x)=x^2-6x+8$
$g(x)=-2x^2+2x+1$
$h(x)=2x-1$
$k(x)=(x-1)^2+3$
$m(x)=x^2+4x+4$
Associer à chaque courbe, la fonction qui lui correspond, en justifiant:
courbe 2nd degré

Exercice 4: Fonction polynôme du 2nd degré - tableau de variations à l'aide de la forme canonique - Première S ES STI spé maths

Déterminer le tableau de variations des fonctions polynômes du second degré suivantes:
$\color{red}{\textbf{a. }} f: x\mapsto 4(x-3)^2+5$ $\color{red}{\textbf{b. }} x\mapsto 2-(x+1)^2$ $\color{red}{\textbf{b. }} h: x\mapsto 1-4x^2$

Exercice 5: Tableau de variations et polynôme du 2nd degré - Première spé maths S ES STI

On donne le tableau de variation d'une fonction $f$:
variation second degré
Parmi les fonctions suivantes, une est $f$. Laquelle? Justifier.
$ x\mapsto (x-3)^2+5$ $ x\mapsto (x+3)^2+5$ $ x\mapsto -(x-3)^2+5$ $ x\mapsto -(x-5)^2+3$

Exercice 6: Polynôme du second degré - forme canonique - Première Spécialité maths S ES STI

Écrire la fonction polynôme du second degré $f$ définie par $f(x)=3x^2+12x+8$ sous forme canonique :
  1. En utilisant la formule du cours sur $\alpha$
  2. En utilisant votre calculatrice pour avoir les coordonnées du sommet
  3. En utilisant la méthode de complétion du carré

Exercice 7: Polynôme du second degré - forme canonique Première Spécialité maths S ES STI

Écrire la fonction polynôme du second degré $f$ sous forme canonique par $2$ méthodes : $f(x)=2x^2+16x+27$.

Exercice 8: Polynôme du second degré - forme canonique et tableau de variations - Première Spécialité maths S ES STI

Déterminer le tableau de variations du trinôme: $f(x)=-5x^2+10x+2$.

Exercice 9: Polynôme du second degré - forme canonique et tableau de variations - Première Spécialité maths S ES STI

  1. Déterminer la forme canonique du trinôme: $f(x)=-2x^2+12x-17$.
  2. En déduire le tableau de variations de $f$.

Exercice 10: Écrire un polynôme sous forme canonique - Première spé maths S ES STI

Dans chaque cas, déterminer la forme canonique des trinômes suivants:
$\color{red}{\textbf{a. }} x^2+6x+1$ $\color{red}{\textbf{b. }} -2x^2+5$ $\color{red}{\textbf{c. }} 2x^2+x$ $\color{red}{\textbf{d. }} (1-2x)^2$

Exercice 11: Parabole - coordonnées du sommet - polynôme du second degré - Première spé maths S ES STI

On note $\mathscr{P}$ la parabole représentant la fonction $f$. Dans chaque cas, déterminer les coordonnées du sommet de $\mathscr{P}$:
$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=-x^2+4x+1$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=2(x+3)^2-7$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(x)=(1-x)(x+3)$

Exercice 12: Abscisse du sommet d'une parabole - Première spé maths S ES STI

Soit $f$ un polynôme du $2^{\text{nd}}$ degré tel que $f(2)=3$ et $f(10)=3$. Déterminer l'abscisse du sommet.

Exercice 13: Variations, maximum et minimum d'un polynôme du second degré - Première spé maths S ES STI

Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}$:
$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=x^2-2x+3$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=-2(x+1)^2-3$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(x)=(4-2x)(x-3)$

Exercice 14: Déterminer la parabole connaissant un point et le sommet - Première spé maths S ES STI

Soit une parabole qui admet pour sommet le point (2;1) et qui passe par le point (1;3). Déterminer la fonction $f$ qui correspond à cette parabole.

Exercice 15: QCM - polynôme du second degré - forme canonique - sommet Première spé maths S ES STI

Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses:
  1. La courbe de la fonction $f(x)=2(1-x)^2-3$ est une parabole tournée vers le haut.
  2. La courbe de la fonction $f(x)=-2x^2+12x-17$ est une parabole et son sommet a pour abscisse 3.
  3. La courbe de la fonction $f(x)=3(x+2)^2+5$ est une parabole et le sommet a pour coordonnées (-2;5).

Exercice 16: QCM - variations et forme canonique - polynôme du 2nd degré Première spé maths S ES STI

Dans chaque cas, indiquer la ou les bonnes réponses:
  1. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3(x-1)^2-2$:
    1. $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$.
    2. Pour $x\leqslant 1$, $f(x)\leqslant 0$.
    3. $f$ admet un maximum en $1$.
  2. Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-(x+4)^2-3$:
    1. Le maximum de $f$ est $4$.
    2. $f$ admet un maximum en $-4$.
    3. Pour tout $x$, $f(x)\leqslant 0$.
  3. Soit $f:x\rightarrow -3(x-4)^2+7$:
    1. L'équation $f(x)=8$ admet des solutions.
    2. L'équation $f(x)=0$ admet 2 solutions.

Exercice 17: Polynôme du second degré et Bénéfice maximal - Première spé maths S ES STI

Un pompiste vend le litre d'essence au prix de $1,20$ € . Le prix d'achat est pour lui de $0,85$ €, le litre. Il sait qu'il peut compter sur une vente journalière de $1 000$ litres et qu'à chaque baisse de $1$ centime qu'il consent pour le prix du litre, il vendra $100$ litres de plus par jour. À quel prix le pompiste doit-il vendre le litre d'essence pour faire un bénéfice maximal et quelle est la valeur de ce bénéfice maximal ?

Exercice 18: Polynôme du second degré et aire maximale - Première spé maths S ES STI

$ABCD$ est un carré de côté $10$ cm et $M$ est un point de $[AB]$ (distinct de $A$ et de $B$) et $AMON$ est un carré de côté $x$.
aire et second degré
  1. Montrer que l'aire grise (en $\text{cm}^2$) s'écrit $-x^2 + 5x + 50$.
  2. Où placer le point $M$ pour obtenir la plus grande aire grise possible ? Que vaut alors l'aire grise ?

Exercice 19: Traduire un problème en équation du 2nd degré - Trouver le maximum - Algorithme - Première spé maths S ES STI

Une agence immobilière possède $200$ studios qui sont tous occupés quand le loyer est de $700$ euros par mois. L'agence estime qu'à chaque fois qu'elle augmente le loyer de $5$ euros, un appartement n'est plus loué. On note $x$ le nombre d'augmentations de $5$ euro sur le loyer mensuel.
  1. Montrer que le revenu mensuel de l'agence (en euros) s'écrit : $-5x^2 + 300x +140000$.
  2. En déduire le montant du loyer pour maximiser le revenu mensuel de l'agence.
  3. Ecrire un algorithme en langage naturel permettant de retrouver la réponse à ce problème.

Exercice 20: Polynôme du second degré et aire maximale - Enclos - Première spé maths S ES STI

On souhaite délimiter un enclos rectangulaire adossé à un mur à l'aide d'une clôture en grillage de $80$ mètres de long comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
enclos & 2nd degré
Quelles sont les dimensions de l'enclos pour obtenir la plus grande surface possible ?

Exercice 21: Polynôme du second degré - Démonstrations - Variations - Première spé maths S ES STI

En utilisant la définition d'une fonction strictement croissante sur un intervalle (puis celle d'une fonction strictement décroissante), démontrer que :
  1. la fonction $f : x \mapsto 2(x-3)^2 -1$ est strictement croissante sur $[3~;~+\infty[$.
  2. la fonction $f : x \mapsto -3(x+1)^2 + 5$ est strictement décroissante sur $[-1~;~+\infty[$.
  3. la fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{2}(x-2)^2 + 3$ est strictement décroissante sur $]-\infty~;~2]$.


Trustpilot
Trustpilot