Équation du second degré ax²+bx+c=0 • discriminant Δ=b²-4ac • racines

Conseils

Résoudre $ax^2+bx+c=0$

Dans cette page, tu vas apprendre à résoudre une équation du second degré de la forme $ax^2+bx+c=0$.

👉 On verra une méthode qui fonctionne dans tous les cas : la méthode du discriminant, avec \[ \Delta=b^2-4ac. \] 👉 Mais il n'est pas toujours nécessaire de calculer $\Delta$ ! Dans de nombreux cas, on peut résoudre l'équation beaucoup plus rapidement juste en factorisant.

👉 On verra donc comment reconnaître ces situations et choisir la méthode la plus efficace pour résoudre une équation du second degré.

👉 Enfin, tu découvriras quelques astuces pour transformer certaines équations qui paraissent compliquées afin de les rendre plus simples à résoudre.

📘 Tu trouveras sur cette page le cours complet en texte et en vidéo, ainsi que de nombreux exercices corrigés en vidéo pour bien comprendre les différentes méthodes.

💻 Tu pourras également t'entraîner avec des exercices en ligne et vérifier immédiatement tes réponses.

🎯 Objectif : savoir résoudre une équation du second degré en choisissant la méthode la plus simple et la plus efficace.

👉 Clique quand il y a des ampoules pour afficher les explications du cours 👇

🚀 Choisis ton parcours

👉 Option 1 : Commence par un exercice guidé en vidéo. Tu découvriras les notions importantes au fur et à mesure de la résolution.

📺 Exercice guidé pour tout comprendre sur les équations du second degré 👇

👉 Option 2 : Regarde d'abord le cours complet, puis entraîne-toi avec les exercices.

📺 COURS complet : équation du second degré 👇

🎯 Cours : équation du second degré

Définition Une équation du second degré est une équation de la forme $\boldsymbol{\underbrace{a}_{a\ne 0}x^2+bx+c=0}$.

👉 $\boldsymbol{a}$ est toujours différent de $0$, sinon il n'y a pas de terme en $x^2$ et ce n'est plus du second degré !

👉

Les solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$ sont aussi appelées les racines du polynôme $ax^2+bx+c$.
Autrement dit, les racines d'un polynôme sont les valeurs de $x$ pour lesquelles le polynôme est égal à $0$.

Si les coefficients sont compliqués

👉 Penser à multiplier à gauche et à droite par un même nombre de façon à avoir des coefficients plus simples

Exemple Résoudre $-\dfrac 12x^2+\dfrac 14 x+1=0$

🎯 Résoudre une équation du second degré

Méthode 1 Pour résoudre une équation du second degré, commencer par essayer de factoriser !

On essaye de se ramener à une équation du type $~\boldsymbol{...\color{red}{\times} ....\color{red}{=0}}$

Voici les étapes à suivre pour résoudre $\boldsymbol{\rm ...=....}$

Se ramener à zéro: $\boldsymbol{....=0}$
Factoriser au maximum
Pour factoriser, deux techniques classiques:
• Le facteur commun
• L'identité remarquable $\boldsymbol{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$
Appliquer la règle du produit nul
$\rm A\times B=0 \Leftrightarrow A=0$ ou $\rm B=0$
Pour appliquer cette règle, il faut une multiplication. C'est pourquoi il faut avoir pensé à factoriser à l'étape 2.
Résoudre chaque équation séparément

Exemple Résoudre $4x^2=4x$

Méthode 2 Quand on ne peut pas factoriser, pour résoudre $ax^2+bx+c=0$, on calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.

Il y a 3 cas possibles :

Si $\Delta\gt 0$

● L'équation $ax^2+bx+c=0$ a deux solutions : $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~\text{et}~x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

● On peut factoriser $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

● La parabole coupe deux fois l'axe des abscisses, en $x_1$ et $x_2$.

Si $\Delta=0$

● L'équation $ax^2+bx+c=0$ a une seule solution $x_1=\dfrac{-b}{2a}$

● On peut factoriser $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_1)=a(x-x_1)^2$

On dit que $x_1$ est une racine double car elle apparaît deux fois dans la factorisation.

● La parabole coupe une seule fois l'axe des abscisses, en $x_1$.

Si $\Delta \lt 0$

● L'équation $ax^2+bx+c=0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$

● On ne peut pas factoriser $ax^2+bx+c$ dans $\mathbb{R}$.

● La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.

💡

À retenir : on ne calcule le discriminant qu'après avoir essayé de factoriser.
Si on peut factoriser, la résolution est souvent plus rapide, avec moins de calculs et donc moins de risques d'erreur !

📺 Conseil n°1 : Pas toujours besoin de $\Delta$ 👇