Polynôme du second degré : problèmes et exercices difficiles

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Polynôme du second degré

Dans la page cours sur les polynômes du second degré, nous avons appris à reconnaître un polynôme du second degré, à déterminer et à utiliser la forme canonique, à déterminer le sommet d'une parabole et à étudier ses variations.

👉 Ensuite, nous avons fait une première série d'exercices pour nous entraîner sur les méthodes essentielles du cours.

👉 Maintenant, dans cette nouvelle série, tu vas résoudre des problèmes plus difficiles sur les polynômes du second degré. Ils te permettront de mobiliser les différentes notions du cours dans des situations plus complexes.

👉 Ces problèmes sont classés par difficulté afin de te permettre de progresser étape par étape.

📘 Revoir le cours sur les polynômes du second degré →

🎯 Objectif : savoir résoudre des problèmes plus difficiles en utilisant les différentes propriétés des polynômes du second degré.

📺 Chaque exercice est accompagné d'une correction en vidéo pour t'aider à comprendre la méthode 💪

🚀 Tu veux aller plus loin ?

📙 Chapitre suivant : Équations du second degré →

Exercice 1: Polynôme du second degré et aire maximale - Première spé maths S ES STI

$ABCD$ est un carré de côté $10$ cm et $M$ est un point de $[AB]$ (distinct de $A$ et de $B$) et $AMON$ est un carré de côté $x$.

Montrer que l'aire grise (en $\text{cm}^2$) s'écrit $-x^2 + 5x + 50$.
Où placer le point $M$ pour obtenir la plus grande aire grise possible ? Que vaut alors l'aire grise ?

Exercice 2: Polynôme du second degré et Bénéfice maximal - Première spé maths S ES STI

Un pompiste vend le litre d'essence au prix de $1,20$ € . Le prix d'achat est pour lui de $0,85$ €, le litre. Il sait qu'il peut compter sur une vente journalière de $1 000$ litres et qu'à chaque baisse de $1$ centime qu'il consent pour le prix du litre, il vendra $100$ litres de plus par jour. À quel prix le pompiste doit-il vendre le litre d'essence pour faire un bénéfice maximal et quelle est la valeur de ce bénéfice maximal ?

Exercice 3: Traduire un problème en équation du 2nd degré - Trouver le maximum - Algorithme - Première spé maths S ES STI

Une agence immobilière possède $200$ studios qui sont tous occupés quand le loyer est de $700$ euros par mois. L'agence estime qu'à chaque fois qu'elle augmente le loyer de $5$ euros, un appartement n'est plus loué. On note $x$ le nombre d'augmentations de $5$ euro sur le loyer mensuel.

Montrer que le revenu mensuel de l'agence (en euros) s'écrit : $-5x^2 + 300x +140000$.
En déduire le montant du loyer pour maximiser le revenu mensuel de l'agence.
Ecrire un algorithme en langage naturel permettant de retrouver la réponse à ce problème.

Exercice 4: Polynôme du second degré et aire maximale - Enclos - Première spé maths S ES STI

On souhaite délimiter un enclos rectangulaire adossé à un mur à l'aide d'une clôture en grillage de $80$ mètres de long comme indiqué sur le schéma ci-dessous :

Quelles sont les dimensions de l'enclos pour obtenir la plus grande surface possible ?

Exercice 5: Polynôme du second degré - Démonstrations - Variations - Première spé maths S ES STI

En utilisant la définition d'une fonction strictement croissante sur un intervalle (puis celle d'une fonction strictement décroissante), démontrer que :

la fonction $f : x \mapsto 2(x-3)^2 -1$ est strictement croissante sur $[3~;~+\infty[$.
la fonction $f : x \mapsto -3(x+1)^2 + 5$ est strictement décroissante sur $[-1~;~+\infty[$.
la fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{2}(x-2)^2 + 3$ est strictement décroissante sur $]-\infty~;~2]$.

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Exercice 1: Polynôme du second degré et aire maximale - Première spé maths S ES STI

Exercice 2: Polynôme du second degré et Bénéfice maximal - Première spé maths S ES STI

Exercice 3: Traduire un problème en équation du 2nd degré - Trouver le maximum - Algorithme - Première spé maths S ES STI

Exercice 4: Polynôme du second degré et aire maximale - Enclos - Première spé maths S ES STI

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