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Convexité et inégalités - Terminale Spé maths |
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Dans les pages précédentes, nous avons vu le cours sur la convexité puis nous nous sommes entraînés avec des exercices sur la convexité.
👉 Maintenant, nous allons voir une application très classique de la convexité : démontrer des inégalités.
💡 C'est un type d'exercice qui tombe régulièrement dans les exercices de spécialité maths en Terminale.
La courbe d'une fonction convexe est située au-dessus de ses tangentes.
\[ f(x)\geqslant g(x) \]
🎯 Objectif : savoir utiliser la convexité d'une fonction pour démontrer une inégalité.
Pour démontrer des inégalités à l'aide de la convexité, tout repose sur la position de la courbe par rapport à ses tangentes ou à ses cordes.
👉 Si \(f\) est convexe sur un intervalle $\rm I$, sa courbe est au-dessus de ses tangentes.
\[ y=f'(a)(x-a)+f(a). \]
Si la fonction est convexe sur $\rm I$, sa courbe est au-dessus de cette tangente :
On obtient :
Pour tout $x$ de $\rm I$ : \[ \boxed{f(x)\geqslant f'(a)(x-a)+f(a)}. \]
👉 La courbe d'une fonction convexe est également au-dessous de ses cordes.
💡 Ce sont ces propriétés qui vont nous permettre d'obtenir des inégalités.
Nous allons commencer par la méthode la plus classique : utiliser une tangente.
💡 Les exercices utilisant la convexité pour démontrer une inégalité se présentent très souvent de la façon suivante :
👉 1. Justifier que la fonction \(f\) est convexe ou concave sur un intervalle.
👉 2. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe en un point indiqué dans l'énoncé, ou en un point qu'il faut déterminer.
👉 3. Utiliser la position de la courbe par rapport à cette tangente pour conclure et obtenir l'inégalité demandée.
🎯 Voyons cette méthode sur un exemple simple
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[ f(x)=x^4. \]
1. Montrer que la fonction \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).
2. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(1\).
3. En déduire que, pour tout réel \(x\),
\[ x^4\geqslant4x-3. \]
1. \(f'(x)=4x^3\) et \(f''(x)=12x^2\).
Ainsi, pour tout réel \(x\), \(f''(x)\geqslant0\).
👉 Donc \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).
2. L'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(1\) est :
\[ y=\underbrace{f'(1)}_{4}(x-1)+\underbrace{f(1)}_{1}. \]
L'équation de la tangente est donc :
\[ y=4(x-1)+1, \]
soit :
\[ \boxed{y=4x-3}. \]
3. Conclusion : la fonction \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). Sa courbe est donc au-dessus de chacune de ses tangentes.
En particulier, elle est au-dessus de la tangente au point d'abscisse \(1\), d'équation \(y=4x-3\).
Ainsi, pour tout réel \(x\),
\[ f(x)\geqslant4x-3. \]
Comme \(f(x)=x^4\), on obtient :
\[ \boxed{x^4\geqslant4x-3}. \]
Pour démontrer une inégalité à l'aide de la convexité :
👉 1. Montrer que la fonction est convexe.
On étudie généralement le signe de \(f''\).
👉 2. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse \(a\).
\[ y=f'(a)(x-a)+f(a). \]
👉 3. Utiliser le fait que la courbe d'une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes.
\[ f(x)\geqslant f'(a)(x-a)+f(a). \]
👉 4. En déduire l'inégalité recherchée.
Le principe est le même pour une fonction concave, mais la position de la courbe par rapport aux tangentes est inversée.
👉 Si \(f\) est convexe, sa courbe est au-dessus de ses tangentes.
\[ \boxed{ f(x)\geqslant f'(a)(x-a)+f(a) }. \]
👉 Si \(f\) est concave, sa courbe est au-dessous de ses tangentes.
\[ \boxed{ f(x)\leqslant f'(a)(x-a)+f(a) }. \]
💡 Il faut donc bien identifier la convexité ou la concavité avant d'écrire l'inégalité.
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\mathrm{e}^x\).
Tu as compris comment utiliser la convexité et les tangentes pour démontrer des inégalités ? Passe maintenant aux exercices corrigés pour t'entraîner. 💪
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