Convexité - Fonction convexe concave dérivée seconde

Conseils

Fonction convexe concave

Cours

Comprendre la notion de convexité

Fonction convexe

Fonction concave

Étudier la convexité d'une fonction

Propriétés

On se place dans le cas où $f$ est dérivable sur un intervalle $\rm I$.

Dire que $f$ est convexe sur $\rm I$ signifie que, sur l'intervalle I, la courbe $\mathscr{C}$ est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes
Dire que $f$ est concave sur $\rm I$ signifie que, sur l'intervalle I, la courbe $\mathscr{C}$ est entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes

Convexité des fonctions de référence

• Fonction carré

• Fonction racine carrée

• Fonction exponentielle

• Fonction logarithme népérien

Cours Comment

étudier la convexité d'une fonction, lien avec les dérivées, point d'inflexion

Cours	Exemple
Définition Dérivée seconde Dire qu'une fonction $f$ est deux fois dérivable sur un intervalle $\rm I$ signifie que $f$ est dérivable sur $\rm I$ et que sa dérivée $\boldsymbol{f'}$ est elle-même dérivable sur $\rm I$ Dans ce cas, la dérivée de $f'$ est notée $\boldsymbol{f''}$ et est appelée dérivée seconde de $f$.	Déterminer la dérivée seconde de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + 6x^2 - 3x + 1$. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ Car $f$ est une fonction polynôme donc dérivable sur $\mathbb{R}$. et pour tout réel $x$, $f'(x)=3x^2+12x-3$. $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ Car $f'$ est une fonction polynôme donc dérivable sur $\mathbb{R}$. et pour tout réel $x$, $f''(x) = 6x + 12$.
Propriétés Lien entre convexité et $\boldsymbol{f'}$ On se place dans le cas où $f$ est dérivable sur un intervalle $\rm I$. • $f$ est convexe sur $\rm I$ si, et seulement si, $\boldsymbol{f'}$ est croissante sur $\rm I$. • $f$ est concave sur $\rm I$ si, et seulement si, $\boldsymbol{f'}$ est décroissante sur $\rm I$.	Démontrer que la fonction carré est convexe sur $\mathbb{R}$ Pour tout réel $x$, on a $f(x) = x^2$. $f$ est dérivable et pour tout réel $x$, $f'(x) = 2x$. $f'$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$ $f'$ est une fonction linéaire avec un coefficient directeur qui vaut 2 donc strictement positif et donc la fonction $f'$ est strictement croissante. Donc la fonction carré est convexe sur $\mathbb{R}$.
Propriétés Lien entre convexité et $\boldsymbol{f''}$ On se place dans le cas où $f$ est deux fois dérivable sur un intervalle $\rm I$. • $f$ est convexe sur $\rm I$ $\Leftrightarrow$ pour tout $x$ de $\rm I$, $\boldsymbol{f''(x)\geqslant 0}$. • $f$ est concave sur $\rm I$ $\Leftrightarrow$ pour tout $x$ de $\rm I$, $\boldsymbol{f''(x)\leqslant 0}$. Démonstration du théorème en vidéo Méthode Pour étudier la convexité d'une fonction Pour étudier la convexité d'une fonction de $f$ deux fois dérivable, on calcule $f'(x)$ puis $f''(x)$ et ensuite on étudie le signe de $\boldsymbol{f''(x)}$ Penser à factoriser au maximum $\boldsymbol{f''(x)}$, car c'est souvent très pratique pour étudier son signe. et on conclut à l'aide de la propriété précédente • $f$ est convexe sur $\rm I$ si, et seulement si, pour tout $x$ de $\rm I$, $f''\geqslant 0$. • $f$ est concave sur $\rm I$ si, et seulement si, pour tout $x$ de $\rm I$, $f''\leqslant 0$.	Étudier la convexité de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+6x^2-3x+1$ $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ Car $f$ est une fonction polynôme donc dérivable sur $\mathbb{R}$. et pour tout réel $x$, $f'(x)=3x^2+12x-3$. $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ Car $f'$ est une fonction polynôme donc dérivable sur $\mathbb{R}$. et pour tout réel $x$, $f''(x) = 6x + 12$. $\begin{equation} \notag \begin{array}{\|l\|ccccc\|} \hline x&-\infty&&-2&&+\infty\\ \hline f''(x)&&-&0&+&\\ \hline \end{array} \end{equation}$ Donc $f$ est concave sur l'intervalle $]-\infty;-2]$ et convexe sur l'intervalle $[-2;+\infty[$ Car $f$ est convexe là où $f''(x)\geqslant 0$ C'est à dire sur l'intervalle $[-2;+\infty[$. et est concave là où $f''(x)\leqslant 0$ C'est à dire sur l'intervalle $]-\infty;-2]$.
Définition Point d'inflexion Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente. Lorsque la courbe d'une fonction admet un point d'inflexion, la fonction change de convexité: elle passe en ce point de convexe à concave ou inversement de concave à convexe Exemple Sur ce graphique, on observe que la courbe de la fonction $f$ traverse sa tangente en en $\rm A$. En $\rm A$, la fonction passe de concave à convexe. Autrement dit en $\rm A$, la fonction change de convexité. $\rm A$ est donc un point d'inflexion de la courbe. Propriété Lien entre point d'inflexion et dérivée seconde On se place dans le cas où $f$ est deux fois dérivable sur un intervalle $\rm I$. La courbe d'une fonction $f$ admet un point d'inflexion en $a$ si et seulement si $\boldsymbol{f''}$ s'annule en $a$ en changeant de signe Méthode Comment trouver les points d'inflexion 1) On vérifie que $f$ et dérivable et on calcule $f'(x)$. 2) On vérifie que $f'$ et dérivable et on calcule $f''(x)$. 3) On étudie le signe de $\boldsymbol{f''(x)}$ Penser à factoriser $\boldsymbol{f''}$ au maximum, c'est très utile pour étudier son signe. 4) Puis on regarde dans le tableau de signe, là où $\boldsymbol{f''}$ s'annule en changeant de signe puis on conclut.	Déterminer les points d'inflexion de la courbe de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+6x^2-3x+1$ $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ Car $f$ est une fonction polynôme donc dérivable sur $\mathbb{R}$. et pour tout réel $x$, $f'(x)=3x^2+12x-3$. $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ Car $f'$ est une fonction polynôme donc dérivable sur $\mathbb{R}$. et pour tout réel $x$, $f''(x) = 6x + 12$. $\begin{equation} \notag \begin{array}{\|l\|ccccc\|} \hline x&-\infty&&-2&&+\infty\\ \hline f''(x)&&-&0&+&\\ \hline \end{array} \end{equation}$ Donc la courbe de $f$ admet un seul point d'inflexion au point d'abscisse $-2$ Car le seul endroit où $f''$ s'annule en changeant de signe est en $-2$. On peut retrouver ce résultat graphiquement On a tracé en bleu ci-dessous la courbe de $f$ notée $\mathscr{C}_f$: On retrouve graphiquement que la courbe de la fonction $f$ traverse sa tangente (en rouge) au point $\rm A$ d'abscisse $-2$. Donc en $\rm A$, la fonction passe de concave à convexe. Autrement dit en $\rm A$, la fonction change de convexité. On retrouve donc graphiquement que $\rm A$ est un point d'inflexion de la courbe.
Méthode Utiliser la convexité pour obtenir des inégalités On se place dans le cas où $f$ est dérivable sur un intervalle $\rm I$. Si $f$ est convexe sur $\rm I$ : On détermine une équation de tangente $y = mx + p$ en $a$ La difficulté est de bien choisir $a\in{\rm I}$ Comme $f$ est convexe sur $\rm I$, $\mathscr{C}_f$ est au-dessus des ses tangentes. On en déduit que pour tout $x \in {\rm I}$, $mx + p \boldsymbol{\leqslant} f(x)$ Si $f$ est concave sur $\rm I$ : On détermine une équation de tangente $y = mx + p$ en $a$ La difficulté est de bien choisir $a\in{\rm I}$ Comme $f$ est concave sur $\rm I$, $\mathscr{C}_f$ est au-dessous des ses tangentes. On en déduit que pour tout $x \in {\rm I}$, $f(x) \boldsymbol{\leqslant} mx + p$	À l'aide d'un argument de convexité, montrer que pour tout réel $x$, $x + 1 \leqslant \mathrm{e}^x$. Notons $f$ la fonction exponentielle et $\mathscr{C}_f$ sa courbe. Donc pour tout réel $x$, $f(x)=e^x$ et donc $f'(x)=e^x$ et $f''(x)=e^x$. Or pour tout réel $x$, $e^x\gt 0$ donc $f''(x)\gt 0$ donc $f$ c'est à dire la fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$. Donc la courbe de $f$ est au-dessus de toutes ses tangentes en particulier celle au point d'abscisse $0$. Or la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ a pour équation: $y=f'(0)(x-0)+f(0)$$\Leftrightarrow y=e^0 x+e^0$ $\Leftrightarrow y=x+1$. Et comme la courbe de $f$ est au dessus de cette tangente, on en déduit que pour tout réel $x$: $x+1\leqslant e^x$

Cours Comprendre

$f$ convexe $\Leftrightarrow$ $f''$ positive $\Leftrightarrow$ $\mathscr{C}_f$ au dessus de ses tangentes

Application pour connaitre la convexité d'une fonction

Exercice 1:

Étudier la convexité d'une fonction - Nathan Hyperbole

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-1)\mathrm{e}^x$.

Déterminer la dérivée seconde $f''$ de $f$.
Étudier le signe de $f''(x)$ selon les valeurs de $x$.
En déduire les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est convexe ou concave. Préciser les points d'inflexion de la courbe représentative $\mathscr{C}$ de $f$ dans un repère.

Exercice 2:

Étudier la convexité d'une fonction - Nathan Hyperbole

Dans chaque cas, $f$ est une fonction deux fois dérivable sur $I$. Étudier le signe de $f''(x)$ sur $I$. En déduire la convexité de $f$ et les abscisses des points d'inflexion.

$f''(x) = \dfrac{3x^2 - 3x - 6}{(x-1)^3}$ $\rm I = ]1~;~+\infty[$
$f''(x) = (-0,08x+0,4)\mathrm{e}^{0,2x-3}$ $\rm I = \mathbb{R}$
$f''(x) = (4x-10)\sqrt{5x+2}$ $\rm I = ]0~;~+\infty[$

Exercice 3:

Étudier la convexité d'une fonction - Nathan Hyperbole

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$.

Déterminer, pour tout réel $x$, $f'(x)$ et $f''(x)$.
Dresser le tableau de signes de $f''(x)$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire la convexité de la fonction $f$.

Exercice 4:

Convexité et lecture graphique dérivée

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle $[-6 ~;~ 5]$. On donne dans le repère ci-dessous, la courbe $\mathscr{C'}$ représentative de la fonction $f'$, dérivée de $f$.
triangle égaux

Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[-6 ~;~ 5]$.
Étudier la convexité de $f$ sur l'intervalle $[-6 ~;~ 5]$ et préciser les abscisses des points d'inflexion de la courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$.

Exercice 5:

Inégalité et convexité - exponentielle

On note $f$ la fonction exponentielle et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

La fonction exponentielle est-elle convexe ou concave sur $\mathbb{R}$ ? Démontrez-le.
Donner l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
En déduire que pour tout réel $x$, $ \mathrm{e}^x \geqslant 1 + x$.

Exercice 6:

Inégalité et convexité - logarithme

On note $f$ la fonction logarithme népérien et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

La fonction logarithme népérien est-elle convexe ou concave sur $]0~;~+\infty[$ ? Démontrez-le.
Donner l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $1$.
En déduire que pour tout réel $x>0$, $ \ln x \leqslant x-1$.

Exercice 7:

Étudier la convexité d'une fonction - logarithme

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : $f(x) = (\ln (x))^2$.
Étudier la convexité de $f$ et préciser les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$.

Exercice 8:

Utiliser la convexité d'une fonction pour obtenir une inégalité - Nathan Hyperbole

$g$ est la fonction définie sur $[0 ~;~ +\infty[$ par $g(x) = \sqrt{x}$ et on note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

Rappeler la convexité de la fonction $g$.
1. Déterminer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0 ~;~ +\infty[$, puis le nombre dérivé $g'(1)$.
2. En déduire une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $1$.
Utiliser les réponses aux questions précédentes pour démontrer que pour tout réel $x$ de $[0 ~;~ +\infty[$, on a $\sqrt{x} \leqslant \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$.

Corrigé Bac 2024 Amérique du nord - spé maths - convexité & logarithme - Exercice 3

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = x\ln \left(x^2\right) -\dfrac 1x$.
Partie A : lectures graphiques

On a tracé la courbe $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ et la tangente $\rm (T)$ à $\mathscr{C}_f$ au point $\rm A(1;-1)$ qui passe aussi par $\rm B(0;-4)$:

Lire $f'(1)$ et donner l'équation réduite de $\rm (T)$.
Donner les intervalles sur lesquels $f$ semble convexe ou concave. Que semble représenter le point $\rm A$ pour la courbe $\mathscr{C}_f$ ?

Partie B : étude analytique

Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et en $0$.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $]0;+\infty[$:
1. Déterminer $f'(x)$ pour tout $x\in ]0;+\infty[$.
2. Montrer que pour tout $x\in ]0;+\infty[$, $f''(x) = \dfrac{2(x + 1)(x - 1)}{x^3}$.
1. Étudier la convexité de $f$ sur $]0;+\infty[$.
2. Étudier les variations de $f'$ puis le signe de $f'(x)$ sur $]0;+\infty[$. En déduire le sens de variation de $f$ sur $]0;+\infty[$.
1. Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$.
2. Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$ et montrer que : $\alpha^2 = \text{exp} \left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right)$.