Convexité - Fonction convexe concave dérivée seconde

Conseils

Fonction convexe concave

Cours

Comprendre la notion de convexité

Fonction convexe

Définition Dire qu'une fonction

$f$ est convexe sur un intervalle

$\rm I$ signifie que, pour tous points

$\rm A$ et

$\rm B$ distincts de la courbe représentative

$\mathscr{C}$ de

$f$ , le segment $\boldsymbol{\rm[AB]}$ est au-dessus de la courbe

$\mathscr{C}$ entre

$\rm A$ et

$\rm B$ .

Exemple d'une fonction convexe

Fonction concave

Définition Dire qu'une fonction

$f$ est concave sur un intervalle

$\rm I$ signifie que, pour tous points

$\rm A$ et

$\rm B$ distincts de la courbe représentative

$\mathscr{C}$ de

$f$ , le segment $\boldsymbol{\rm[AB]}$ est en-dessous de la courbe

$\mathscr{C}$ entre

$\rm A$ et

$\rm B$ .

Exemple d'une fonction concave

Étudier la convexité d'une fonction

Définition Étudier la convexité d'une fonction

$f$ , c'est préciser sur quels intervalles

$f$ est convexe et sur quels intervalles

$f$ est concave

Pour cela, on va voir que l'on utilisera très souvent la dérivée seconde

$\boldsymbol{f''}$ .

Propriétés

On se place dans le cas où

$f$ est dérivable sur un intervalle

$\rm I$ .

Dire que $f$ est convexe sur $\rm I$ signifie que, sur l'intervalle I, la courbe $\mathscr{C}$ est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes
Dire que $f$ est concave sur $\rm I$ signifie que, sur l'intervalle I, la courbe $\mathscr{C}$ est entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes

Convexité des fonctions de référence

• Fonction carré

Propriétés La fonction carré est convexe sur

$\mathbb{R}$

La courbe de la fonction carré (en jaune) est toujours au-dessus de ses tangentes (en rouge). Donc la fonction carré est convexe sur

$\mathbb{R}$ .

• Fonction racine carrée

Propriétés La fonction racine carrée est concave sur

$\mathbb{R}$

La courbe de la fonction racine carrée (en jaune) est toujours au-dessous de ses tangentes (en rouge). Donc la fonction racine carrée est concave sur

$]0;+\infty[$ .

• Fonction exponentielle

Propriétés La fonction exponentielle est convexe sur

$\mathbb{R}$

La courbe de la fonction exponentielle (en jaune) est toujours au-dessus de ses tangentes (en rouge). Donc la fonction exponentielle est convexe sur

$\mathbb{R}$ .

• Fonction logarithme népérien

Propriétés La fonction logarithme népérien est concave sur

$]0;+\infty[$

La courbe de la fonction logarithme népérien (en jaune) est toujours au-dessous de ses tangentes (en rouge). Donc la fonction logarithme népérien est concave sur

$]0;+\infty[$ .

Cours Comment

étudier la convexité d'une fonction, lien avec les dérivées, point d'inflexion

Cours	Exemple
Définition Dérivée seconde Dire qu'une fonction $f$ est deux fois dérivable sur un intervalle $\rm I$ signifie que $f$ est dérivable sur $\rm I$ et que sa dérivée $\boldsymbol{f'}$ est elle-même dérivable sur $\rm I$ Dans ce cas, la dérivée de $f'$ est notée $\boldsymbol{f''}$ et est appelée dérivée seconde de $f$ .	Déterminer la dérivée seconde de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + 6x^2 - 3x + 1$ . $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ Car $f$ est une fonction polynôme donc dérivable sur $\mathbb{R}$ . et pour tout réel $x$ , $f'(x)=3x^2+12x-3$ . $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ Car $f'$ est une fonction polynôme donc dérivable sur $\mathbb{R}$ . et pour tout réel $x$ , $f''(x) = 6x + 12$ .
Lien entre convexité et $\boldsymbol{f'}$ On se place dans le cas où $f$ est dérivable sur un intervalle $\rm I$ . • $f$ est convexe sur $\rm I$ si, et seulement si, $\boldsymbol{f'}$ est croissante sur $\rm I$ . • $f$ est concave sur $\rm I$ si, et seulement si, $\boldsymbol{f'}$ est décroissante sur $\rm I$ .	Démontrer que la fonction carré est convexe sur $\mathbb{R}$ Pour tout réel $x$ , on a $f(x) = x^2$ . $f$ est dérivable et pour tout réel $x$ , $f'(x) = 2x$ . $f'$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$ $f'$ est une fonction linéaire avec un coefficient directeur qui vaut 2 donc strictement positif et donc la fonction $f'$ est strictement croissante. Donc la fonction carré est convexe sur $\mathbb{R}$ .
Lien entre convexité et $\boldsymbol{f''}$ On se place dans le cas où $f$ est deux fois dérivable sur un intervalle $\rm I$ . • $f$ est convexe sur $\rm I$ $\Leftrightarrow$ pour tout $x$ de $\rm I$ , $\boldsymbol{f''(x)\geqslant 0}$ . • $f$ est concave sur $\rm I$ $\Leftrightarrow$ pour tout $x$ de $\rm I$ , $\boldsymbol{f''(x)\leqslant 0}$ . Démonstration du théorème en vidéo Méthode Pour étudier la convexité d'une fonction Pour étudier la convexité d'une fonction de $f$ deux fois dérivable, on calcule $f'(x)$ puis $f''(x)$ et ensuite on étudie le signe de $\boldsymbol{f''(x)}$ Penser à factoriser au maximum $\boldsymbol{f''(x)}$ , car c'est souvent très pratique pour étudier son signe. et on conclut à l'aide de la propriété précédente • $f$ est convexe sur $\rm I$ si, et seulement si, pour tout $x$ de $\rm I$ , $f''\geqslant 0$ . • $f$ est concave sur $\rm I$ si, et seulement si, pour tout $x$ de $\rm I$ , $f''\leqslant 0$ .	Étudier la convexité de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+6x^2-3x+1$ $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ Car $f$ est une fonction polynôme donc dérivable sur $\mathbb{R}$ . et pour tout réel $x$ , $f'(x)=3x^2+12x-3$ . $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ Car $f'$ est une fonction polynôme donc dérivable sur $\mathbb{R}$ . et pour tout réel $x$ , $f''(x) = 6x + 12$ . $\begin{equation} \notag \begin{array}{\|l\|ccccc\|} \hline x&-\infty&&-2&&+\infty\\ \hline f''(x)&&-&0&+&\\ \hline \end{array} \end{equation}$ Donc $f$ est concave sur l'intervalle $]-\infty;-2]$ et convexe sur l'intervalle $[-2;+\infty[$ Car $f$ est convexe là où $f''(x)\geqslant 0$ C'est à dire sur l'intervalle $[-2;+\infty[$ . et est concave là où $f''(x)\leqslant 0$ C'est à dire sur l'intervalle $]-\infty;-2]$ .
Définition Point d'inflexion Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente. Lorsque la courbe d'une fonction admet un point d'inflexion, la fonction change de convexité: elle passe en ce point de convexe à concave ou inversement de concave à convexe Exemple Sur ce graphique, on observe que la courbe de la fonction $f$ traverse sa tangente en en $\rm A$ . En $\rm A$ , la fonction passe de concave à convexe. Autrement dit en $\rm A$ , la fonction change de convexité. $\rm A$ est donc un point d'inflexion de la courbe. Propriété Lien entre point d'inflexion et dérivée seconde On se place dans le cas où $f$ est deux fois dérivable sur un intervalle $\rm I$ . La courbe d'une fonction $f$ admet un point d'inflexion en $a$ si et seulement si $\boldsymbol{f''}$ s'annule en $a$ en changeant de signe Méthode Comment trouver les points d'inflexion 1) On vérifie que $f$ et dérivable et on calcule $f'(x)$ . 2) On vérifie que $f'$ et dérivable et on calcule $f''(x)$ . 3) On étudie le signe de $\boldsymbol{f''(x)}$ Penser à factoriser $\boldsymbol{f''}$ au maximum, c'est très utile pour étudier son signe. 4) Puis on regarde dans le tableau de signe, là où $\boldsymbol{f''}$ s'annule en changeant de signe puis on conclut.	Déterminer les points d'inflexion de la courbe de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+6x^2-3x+1$ $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ Car $f$ est une fonction polynôme donc dérivable sur $\mathbb{R}$ . et pour tout réel $x$ , $f'(x)=3x^2+12x-3$ . $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ Car $f'$ est une fonction polynôme donc dérivable sur $\mathbb{R}$ . et pour tout réel $x$ , $f''(x) = 6x + 12$ . $\begin{equation} \notag \begin{array}{\|l\|ccccc\|} \hline x&-\infty&&-2&&+\infty\\ \hline f''(x)&&-&0&+&\\ \hline \end{array} \end{equation}$ Donc la courbe de $f$ admet un seul point d'inflexion au point d'abscisse $-2$ Car le seul endroit où $f''$ s'annule en changeant de signe est en $-2$ . On peut retrouver ce résultat graphiquement On a tracé en bleu ci-dessous la courbe de $f$ notée $\mathscr{C}_f$ : On retrouve graphiquement que la courbe de la fonction $f$ traverse sa tangente (en rouge) au point $\rm A$ d'abscisse $-2$ . Donc en $\rm A$ , la fonction passe de concave à convexe. Autrement dit en $\rm A$ , la fonction change de convexité. On retrouve donc graphiquement que $\rm A$ est un point d'inflexion de la courbe.
Méthode Utiliser la convexité pour obtenir des inégalités On se place dans le cas où $f$ est dérivable sur un intervalle $\rm I$ . Si $f$ est convexe sur $\rm I$ : On détermine une équation de tangente $y = mx + p$ en $a$ La difficulté est de bien choisir $a\in{\rm I}$ Comme $f$ est convexe sur $\rm I$ , $\mathscr{C}_f$ est au-dessus des ses tangentes. On en déduit que pour tout $x \in {\rm I}$ , $mx + p \boldsymbol{\leqslant} f(x)$ Si $f$ est concave sur $\rm I$ : On détermine une équation de tangente $y = mx + p$ en $a$ La difficulté est de bien choisir $a\in{\rm I}$ Comme $f$ est concave sur $\rm I$ , $\mathscr{C}_f$ est au-dessous des ses tangentes. On en déduit que pour tout $x \in {\rm I}$ , $f(x) \boldsymbol{\leqslant} mx + p$	À l'aide d'un argument de convexité, montrer que pour tout réel $x$ , $x + 1 \leqslant \mathrm{e}^x$ . Notons $f$ la fonction exponentielle et $\mathscr{C}_f$ sa courbe. Donc pour tout réel $x$ , $f(x)=e^x$ et donc $f'(x)=e^x$ et $f''(x)=e^x$ . Or pour tout réel $x$ , $e^x\gt 0$ donc $f''(x)\gt 0$ donc $f$ c'est à dire la fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$ . Donc la courbe de $f$ est au-dessus de toutes ses tangentes en particulier celle au point d'abscisse $0$ . Or la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ a pour équation: $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ $\Leftrightarrow y=e^0 x+e^0$ $\Leftrightarrow y=x+1$ . Et comme la courbe de $f$ est au dessus de cette tangente, on en déduit que pour tout réel $x$ : $x+1\leqslant e^x$

Cours Comprendre

$f$ convexe $\Leftrightarrow$ $f''$ positive $\Leftrightarrow$ $\mathscr{C}_f$ au dessus de ses tangentes

Application pour connaitre la convexité d'une fonction

Exercice 1:

Étudier la convexité d'une fonction - Nathan Hyperbole

$f$ est la fonction définie sur

$\mathbb{R}$ par

$f(x) = (x-1)\mathrm{e}^x$ .

Déterminer la dérivée seconde $f''$ de $f$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ selon les valeurs de $x$ .
En déduire les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est convexe ou concave. Préciser les points d'inflexion de la courbe représentative $\mathscr{C}$ de $f$ dans un repère.

Exercice 2:

Étudier la convexité d'une fonction - Nathan Hyperbole

Dans chaque cas,

$f$ est une fonction deux fois dérivable sur

$I$ . Étudier le signe de

$f''(x)$ sur

$I$ . En déduire la convexité de

$f$ et les abscisses des points d'inflexion.

$f''(x) = \dfrac{3x^2 - 3x - 6}{(x-1)^3}$ $\rm I = ]1~;~+\infty[$
$f''(x) = (-0,08x+0,4)\mathrm{e}^{0,2x-3}$ $\rm I = \mathbb{R}$
$f''(x) = (4x-10)\sqrt{5x+2}$ $\rm I = ]0~;~+\infty[$

Exercice 3:

Étudier la convexité d'une fonction - Nathan Hyperbole

$f$ est la fonction définie sur

$\mathbb{R}$ par :

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$ .

Déterminer, pour tout réel $x$ , $f'(x)$ et $f''(x)$ .
Dresser le tableau de signes de $f''(x)$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire la convexité de la fonction $f$ .

Exercice 4:

Convexité et lecture graphique dérivée

Soit

$f$ une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle

$[-6 ~;~ 5]$ . On donne dans le repère ci-dessous, la courbe

$\mathscr{C'}$ représentative de la fonction

$f'$ , dérivée de

$f$ .

Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[-6 ~;~ 5]$ .
Étudier la convexité de $f$ sur l'intervalle $[-6 ~;~ 5]$ et préciser les abscisses des points d'inflexion de la courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$ .

Exercice 5:

Inégalité et convexité - exponentielle

On note

$f$ la fonction exponentielle et

$\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

La fonction exponentielle est-elle convexe ou concave sur $\mathbb{R}$ ? Démontrez-le.
Donner l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $0$ .
En déduire que pour tout réel $x$ , $\mathrm{e}^x \geqslant 1 + x$ .

Exercice 6:

Inégalité et convexité - logarithme

On note

$f$ la fonction logarithme népérien et

$\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

La fonction logarithme népérien est-elle convexe ou concave sur $]0~;~+\infty[$ ? Démontrez-le.
Donner l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $1$ .
En déduire que pour tout réel $x>0$ , $\ln x \leqslant x-1$ .

Exercice 7:

Étudier la convexité d'une fonction - logarithme

Soit

$f$ la fonction définie pour tout réel

$x$ de l'intervalle

$]0~;~+\infty[$ par :

$f(x) = (\ln (x))^2$ .
Étudier la convexité de

$f$ et préciser les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe représentative de la fonction

$f$ .

Exercice 8:

Utiliser la convexité d'une fonction pour obtenir une inégalité - Nathan Hyperbole

$g$ est la fonction définie sur

$[0 ~;~ +\infty[$ par

$g(x) = \sqrt{x}$ et on note

$\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

Rappeler la convexité de la fonction $g$ .
1. Déterminer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0 ~;~ +\infty[$ , puis le nombre dérivé $g'(1)$ .
2. En déduire une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $1$ .
Utiliser les réponses aux questions précédentes pour démontrer que pour tout réel $x$ de $[0 ~;~ +\infty[$ , on a $\sqrt{x} \leqslant \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$ .

Corrigé Bac 2024 Amérique du nord - spé maths - convexité & logarithme - Exercice 3

Soit

$f$ la fonction définie sur

$]0;+\infty[$ par

$f(x) = x\ln \left(x^2\right) -\dfrac 1x$ .
Partie A : lectures graphiques

On a tracé la courbe

$\mathscr{C}_f$ de la fonction

$f$ et la tangente

$\rm (T)$ à

$\mathscr{C}_f$ au point

$\rm A(1;-1)$ qui passe aussi par

$\rm B(0;-4)$ :

Lire $f'(1)$ et donner l'équation réduite de $\rm (T)$ .
Donner les intervalles sur lesquels $f$ semble convexe ou concave. Que semble représenter le point $\rm A$ pour la courbe $\mathscr{C}_f$ ?

Partie B : étude analytique

Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et en $0$ .
On admet que f est deux fois dérivable sur ]0;+∞[:
1. Déterminer $f'(x)$ pour tout $x\in ]0;+\infty[$ .
2. Montrer que pour tout $x\in ]0;+\infty[$ , $f''(x) = \dfrac{2(x + 1)(x - 1)}{x^3}$ .
1. Étudier la convexité de $f$ sur $]0;+\infty[$ .
2. Étudier les variations de $f'$ puis le signe de $f'(x)$ sur $]0;+\infty[$ . En déduire le sens de variation de $f$ sur $]0;+\infty[$ .
1. Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$ .
2. Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$ et montrer que : $\alpha^2 = \text{exp} \left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right)$ .

Convexité - Fonction convexe Concave - Dérivée seconde - Terminale spé maths

Comprendre la notion de convexité

Fonction convexe

Fonction concave

étudier la convexité d'une fonction, lien avec les dérivées, point d'inflexion

ff convexe ⇔\Leftrightarrow f″f'' positive ⇔\Leftrightarrow Cf\mathscr{C}_f au dessus de ses tangentes

Étudier la convexité d'une fonction - Nathan Hyperbole

Étudier la convexité d'une fonction - Nathan Hyperbole

Étudier la convexité d'une fonction - Nathan Hyperbole

Convexité et lecture graphique dérivée

Inégalité et convexité - exponentielle

Inégalité et convexité - logarithme

Étudier la convexité d'une fonction - logarithme

Utiliser la convexité d'une fonction pour obtenir une inégalité - Nathan Hyperbole

$f$ convexe $\Leftrightarrow$ $f''$ positive $\Leftrightarrow$ $\mathscr{C}_f$ au dessus de ses tangentes