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Convexité - Fonction convexe, concave, dérivée seconde et point d'inflexion
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Dans cette page, nous allons découvrir la convexité : qu'est-ce qu'une fonction convexe ou concave ?
👉 Nous allons d'abord expliquer cela graphiquement puis mathématiquement, à l'aide des tangentes et de la dérivée seconde.
👉 Enfin, nous verrons ce qu'est un point d'inflexion et comment le reconnaître.
Intuitivement, on peut reconnaître une fonction convexe ou concave en observant la forme de sa courbe.
La courbe ressemble à un « bol » tourné vers le haut.
La courbe ressemble à un « bol » tourné vers le bas.
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👉 Une fonction \(f\) est convexe sur un intervalle \(\rm I\) lorsque, pour deux points \(\rm A\) et \(\rm B\) de sa courbe, le segment \([AB]\) est au-dessus de la courbe entre \(\rm A\) et \(\rm B\).
👉 Une fonction \(f\) est concave sur un intervalle \(\rm I\) lorsque, pour deux points \(\rm A\) et \(\rm B\) de sa courbe, le segment \([\rm AB]\) est au-dessous de la courbe entre \(\rm A\) et \(\rm B\).
👉 Une fonction \(f\) est convexe sur un intervalle \(\rm I\) lorsque, sur $\rm I$ la courbe est au dessus de toutes ses tangentes.
👉 Une fonction \(f\) est concave sur un intervalle \(\rm I\) lorsque, sur $\rm I$ la courbe est au dessous de toutes ses tangentes.
Pour étudier la convexité, on utilise très souvent la dérivée seconde
\(f''\).
Car le signe de la dérivée seconde $f''$ permet de savoir si une fonction est concave ou
convexe :
Soit \(f(x)=x^3+6x^2-3x+1\).
On calcule sa dérivée :
\(f'(x)=3x^2+12x-3\)
Puis sa dérivée seconde :
\(\boxed{f''(x)=6x+12}\)
On en déduit le tableau de signes de \(f''(x)\) :
👉 Sur \(]-\infty;-2]\), \(f\) est concave.
👉 Sur \([-2;+\infty[\), \(f\) est convexe.
👉 Étudier la convexité d'une fonction, c'est préciser sur quels intervalles elle est convexe et sur quels intervalles elle est concave.
Un point d'inflexion est un point de la courbe où la fonction change de convexité : elle passe de concave à convexe ou inversement.
Graphiquement, au point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente.
Pour trouver les points d'inflexion, on dresse le tableau de signes de $f''(x)$. On cherche dans ce tableau de signes, là où \(f''\) s'annule en changeant de signe. Ces valeurs sont les abscisses des points d'inflexion.
⚠️ Il ne suffit donc pas que \(f''\) s'annule.
Il faut vérifier aussi le changement de signe.
Soit \(f(x)=x^3+6x^2-3x+1\).
👉 La dérivée seconde $f''(x)$ s'annule en $-2$ et change de signe en $-2$, donc on a un point d'inflexion d'abscisse $-2$.
🚀 Dans la page suivante, tu apprendras à utiliser la convexité pour obtenir des inégalités. C'est quelque chose qu'on te demandera très souvent de faire !
Dans chaque cas, étudier la convexité de la fonction $f$ définie par :
Tu maîtrises le cours sur la convexité ? Continue à t'entraîner avec des exercices corrigés, puis découvre comment utiliser la convexité pour démontrer des inégalités.
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