Convexité : exercices corrigés - Dérivée seconde

Conseils

Convexité - Exercices corrigés

Dans la page précédente, nous avons vu le cours sur la convexité : fonctions convexes et concaves, dérivée seconde et point d'inflexion.

👉 Maintenant, on va s'entraîner à étudier la convexité d'une fonction grâce à des exercices corrigés.

👉 Les exercices sont classés par difficulté afin de te permettre de progresser étape par étape.

📘 Revoir le cours sur la convexité →

🎯 Objectif : savoir déterminer les intervalles sur lesquels une fonction est convexe ou concave et déterminer ses éventuels points d'inflexion.

📺 Chaque exercice est accompagné d'une correction en vidéo pour t'aider à comprendre la méthode 💪

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Tu maîtrises ces exercices ?
Passe à l'étape suivante et découvre comment utiliser la convexité pour démontrer des inégalités.

🚀 Convexité et inégalités →

Exercice 1:

Étudier la convexité d'une fonction

Dans chaque cas, étudier la convexité de la fonction $f$ définie par :

a. sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$

b. sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3$

c. sur $]-\infty;0[\cup ]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$

d. sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$

e. sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x$

f. sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln(x)$

Exercice 2 : Étudier la convexité d'une fonction - Nathan Hyperbole

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-1)\mathrm{e}^x$.

Déterminer la dérivée seconde $f''$ de $f$.
Étudier le signe de $f''(x)$ selon les valeurs de $x$.
En déduire les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est convexe ou concave. Préciser les points d'inflexion de la courbe représentative $\mathscr{C}$ de $f$.

Exercice 3 : Étudier la convexité à partir de la dérivée seconde - Nathan Hyperbole

Dans chaque cas, $f$ est une fonction deux fois dérivable sur $I$. Étudier le signe de $f''(x)$ sur $I$. En déduire la convexité de $f$ et les abscisses des points d'inflexion.

$f''(x)= \dfrac{3x^2-3x-6}{(x-1)^3}$ $\rm I=]1~;~+\infty[$
$f''(x)= (-0,08x+0,4)\mathrm{e}^{0,2x-3}$ $\rm I=\mathbb{R}$
$f''(x)= (4x-10)\sqrt{5x+2}$ $\rm I=]0~;~+\infty[$

Exercice 4 : Étudier la convexité d'une fonction - Nathan Hyperbole

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=2x^3-3x^2-12x+4$.

Déterminer, pour tout réel $x$, $f'(x)$ et $f''(x)$.
Dresser le tableau de signes de $f''(x)$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire la convexité de la fonction $f$.

Exercice 5 : Convexité et lecture graphique de la dérivée

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle $[-6~;~5]$.

On donne dans le repère ci-dessous la courbe $\mathscr{C'}$ représentative de la fonction $f'$, dérivée de $f$.

Courbe représentative de la dérivée

Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[-6~;~5]$.
Étudier la convexité de $f$ sur l'intervalle $[-6~;~5]$ et préciser les abscisses des points d'inflexion de la courbe $\mathscr{C}$ représentative de $f$.

Exercice 6 : Étudier la convexité d'une fonction - logarithme

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : $f(x)=(\ln(x))^2$.

Étudier la convexité de $f$ et préciser les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$.

Exercice 7 : Bac 2024 Amérique du Nord - Convexité et logarithme

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x\ln\left(x^2\right)-\dfrac{1}{x}$.

Partie A : lectures graphiques

On a tracé la courbe $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ et la tangente $\rm (T)$ à $\mathscr{C}_f$ au point $\rm A(1;-1)$ qui passe aussi par $\rm B(0;-4)$.

Lire $f'(1)$ et donner l'équation réduite de $\rm (T)$.
Donner les intervalles sur lesquels $f$ semble convexe ou concave. Que semble représenter le point $\rm A$ pour la courbe $\mathscr{C}_f$ ?

Partie B : étude analytique

Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et en $0$.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $]0;+\infty[$.
1. Déterminer $f'(x)$ pour tout $x\in]0;+\infty[$.
2. Montrer que pour tout $x\in]0;+\infty[$, $f''(x)= \dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}$.
1. Étudier la convexité de $f$ sur $]0;+\infty[$.
2. Étudier les variations de $f'$ puis le signe de $f'(x)$ sur $]0;+\infty[$. En déduire le sens de variation de $f$ sur $]0;+\infty[$.
1. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$.
2. Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$ et montrer que : $\alpha^2= \mathrm{e}^{\frac{1}{\alpha^2}}$.