Convexité et inégalités - Exercices corrigés - Terminale spé maths

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\mathrm{e}^x\).

1. Montrer que la fonction \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).
2. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(0\).
3. En déduire que, pour tout réel \(x\), \[ \mathrm{e}^x\geqslant1+x. \]

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0~;~+\infty[\) par \(f(x)=\ln(x)\).

1. Montrer que la fonction \(f\) est concave sur \(]0~;~+\infty[\).
2. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(1\).
3. En déduire que, pour tout \(x>0\), \[ \ln(x)\leqslant x-1. \]

On considère la fonction \(g\) définie sur \([0~;~+\infty[\) par \[ g(x)=\sqrt{x}. \]

1. Rappeler la convexité de la fonction \(g\).
2. 1. Déterminer \(g'(x)\) pour tout \(x\in]0~;~+\infty[\), puis calculer \(g'(1)\).
   2. En déduire une équation de la tangente à la courbe de \(g\) au point d'abscisse \(1\).
3. En déduire que, pour tout \(x\in[0~;~+\infty[\), \[ \sqrt{x}\leqslant \frac{x}{2}+\frac{1}{2}. \]