Intersection, union et événement contraire

📌 Intersection de deux événements

👉 C'est le même principe que pour l'intersection de deux droites. L'intersection correspond à la zone où les deux ensembles se « croisent ».

👉 $\rm A\cap B$ correspond donc à la zone où on est dans les deux ensembles en même temps.

👉 $\rm A\cap B$ se lit « A inter B ».

👉 L'intersection correspond au mot « et ».

Exemple :

Dans une classe :

• $\rm A$ : élèves qui aiment les mathématiques
• $\rm B$ : élèves qui aiment l'anglais

Alors $\rm A\cap B$ représente les élèves qui aiment les mathématiques et l'anglais.

🧠 Comment représenter une intersection ?

• On cherche la partie commune aux deux ensembles, la zone où les deux ensembles se « croisent ».
• Pour faire un diagramme de Venn :
  • Tu fais une patate pour l'univers (ici la classe) et deux patates à l'intérieur de l'univers, une pour A et une pour B.
  • Tu colories en bleu l'ensemble A
  • Tu colories en rouge l'ensemble B
  • $\rm A\cap B$ correspond à la zone où il y a les deux couleurs

📌 La réunion de deux événements

La réunion comme son nom l'indique correspond au fait de réunir les deux ensembles. C'est donc ce qui est dans au moins un des deux ensembles.

👉 $\rm A\cup B$ se lit « A union B ».

👉 L'union correspond au mot « ou ».

En mathématiques, « A ou B » signifie :

• dans au moins l'un des deux, c'est à dire dans $\rm A$, dans $\rm B$ ou dans les deux ! ;

💡 Attention : l'intersection fait partie de la réunion.

Exemple :

Dans une classe :

• $\rm A$ : élèves qui aiment les mathématiques
• $\rm B$ : élèves qui aiment l'anglais

Alors $\rm A\cup B$ représente les élèves qui aiment les mathématiques ou l'anglais, c'est-à-dire les élèves qui aiment au moins une des deux matières.

🧠 Comment représenter une union ?

• Comme son nom l'indique, on réunit les deux ensembles
• Pour faire un diagramme de Venn :
  • Tu fais une patate pour l'univers (ici la classe) et deux patates à l'intérieur de l'univers, une pour A et une pour B.
  • Tu colories en bleu l'ensemble A
  • Tu colories en rouge l'ensemble B
  • $\rm A\cup B$ correspond à la zone où il y a au moins une des deux couleurs, au moins du rouge ou du bleu :

$\rm A\cup B$ correspond donc à la zone verte :

📌 L'événement contraire

👉 Le contraire correspond au mot « non ».

Exemple :

Si $\rm A$ représente les élèves qui aiment les mathématiques, alors $\rm \overline{A}$ représente les élèves qui n'aiment pas les mathématiques.

🧠 Comment représenter le contraire ?

• Tu fais une patate pour l'univers (ici la classe)
• Tu fais une patate pour $\rm A$ à l'intérieur de l'univers.
• Tu colories ce qui n'est pas dans $\rm A$, c'est à dire ce qui est à l'extérieur de $\rm A$.
• $\rm \overline{A}$ correspond à la zone bleue :

📌 Tableau récapitulatif

Notation	Se lit	Signification	Graphiquement
$\rm A\cap B$	$\rm A$ inter $\rm B$	éléments communs à $\rm A$ et $\rm B$
$\rm A\cup B$	$\rm A$ union $\rm B$	éléments dans $\rm A$, dans $\rm B$, ou dans les deux
$\rm \overline{A}$	non $\rm A$	éléments qui ne sont pas dans $\rm A$

⚠️ Erreurs fréquentes

• Confondre les symboles $\color{red}{\cup}$ et $\color{red}{\cap}$.
  Moyen mnémotechnique : $\color{red}{\cup}$ comme Union et donc l'autre symbole $\color{red}{\cap}$ correspond à l'intersection
• C'est une erreur de penser que « ou » veut dire l'un ou l'autre mais pas les deux.
  En maths, appartenir à A ou B veut dire appartenir à au moins l'un des deux.