Calcul de probabilité : définition, formule P(AUB)

Dans ce cours, tu vas découvrir comment calculer des probabilités 🎲

👉 Les règles que l'on va voir dans cette page fonctionnent tout le temps.
👉 Dans la page suivante, nous verrons un cas particulier très important :
l'équiprobabilité. Dans ce cas, les règles de cette page restent toujours valables, mais il y a une nouvelle formule qui rend les calculs plus rapides.
👉 En attendant, dans cette page, on va voir les règles qui s'appliquent tout le temps.

📘 Cours : calcul de probabilité - méthode générale

📌 Définir une probabilité

Définir une probabilité, c'est associer à chaque issue de l'univers un nombre compris entre 0 et 1.

👉 On définit ainsi ce qu'on appelle une loi de probabilité.

📌 Règle à respecter : La somme des probabilités de toutes les issues de l'univers doit être égale à 1.

Exemple : on lance un dé truqué à 6 faces :

Issue	1	2	3	4	5	6
Probabilité	0,1	0,2	0,1	0,3	0,1	0,2

👉 Ce tableau est une loi de probabilité : on a les probabilités de toutes les issues (les faces).
👉 Ce tableau indique par exemple que la probabilité d'obtenir 4 est 0,3.
👉 En exercice, il est fréquent qu'on vous donne un tableau qui correspond à la loi de probabilité.

📌 Probabilité d'un événement

La probabilité d'un événement $\rm A$ , notée $\rm P(A)$, est égale à la somme des probabilités des issues de $\rm A$.

Suite de l'exemple précédent avec le dé :

Soit $\rm A$ l'événement : « obtenir un nombre pair ».

Donc : $\rm A=\{2;4;6\}$

On en déduit :
$\rm P(A)=P(2)+P(4)+P(6)$
$\phantom{\rm P(A)}=0{,}2+0{,}3+0{,}2=0{,}7$

📌 Probabilité de l'événement contraire

Si $\rm A$ est un événement alors : $$\rm P(\overline{A})=1-P(A)$$

Exemple : si $\rm P(A)=0{,}7$ alors $\rm P(\overline{A})=1-0{,}7=0{,}3$

📌 Probabilité de l'union

Si $\rm A$ et $\rm B$ sont deux événements alors : $$\rm P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

Exemple : si $\rm P(A)=0{,}6$ et $\rm P(B)=0{,}5$ et $\rm P(A\cap B)=0{,}2$ alors :
$\rm P(A\cup B)=0{,}6+0{,}5-0{,}2=0{,}9$

👉 Pour retenir cette formule, il est important de comprendre pourquoi on soustrait $\rm P(A\cap B)$ :

• Si $\rm A=\{1;2;3;4\}$ et $\rm B=\{2;4;6\}$, alors : $\rm A\cup B=\{1;2;3;4;6\}$.

$\rm A$ contient 4 éléments et $\rm B$ contient 3 éléments.

Mais $\rm A\cup B$ ne contient pas $4+3=7$ éléments, car 2 et 4 ont été comptés deux fois : une fois dans $\rm A$ et une fois dans $\rm B$.

👉 Il faut donc enlever une fois les éléments qui ont été comptés deux fois, une fois dans $\rm A$ et une fois dans $\rm B$.

Ainsi : $$4+3-2=5$$ Donc $\rm A\cup B$ contient 5 éléments.

📌 À retenir

Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.
Pour calculer la probabilité d'un événement, on additionne les probabilités des issues qui le réalisent.
$\rm P(\overline{A})=1-P(A)$.
$\rm P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
$\rm P(\Omega)=1$.
$\rm P(\varnothing)=0$.

🎯 Objectif : savoir calculer une probabilité en additionnant les probabilités des issues d'un événement et savoir utiliser les formules de l'événement contraire et de l'union.

📺 Tu trouveras ici le cours en vidéo et des exercices corrigés pour t'entraîner 💪

✏️ Exercices : calculer des probabilités - P(AUB) - Probabilité du contraire

Exercice 1: Loi de probabilité - Calcul probabilité P(AUB)

On lance un dé truqué à 6 faces dont la loi de probabilité est donnée par le tableau ci-dessous :

Issue	1	2	3	4	5	6
Probabilité	0,3	0,1	0,2	0,1	0,1	0,2

Soit l'événement $\rm A$ : « Obtenir un nombre impair ». Déterminer la probabilité de $\rm A$.
Soit l'événement $\rm B$ : « Obtenir un nombre pair ». Déterminer la probabilité de $\rm B$ par deux méthodes différentes.
Soit l'événement $\rm C$ : « Obtenir un diviseur de 6 ». Déterminer la probabilité de $\rm C$.
Décrire par une phrase l'événement $\rm B \cup C$.
Déterminer la probabilité de $\rm B \cup C$ par deux méthodes différentes.
Les événements $\rm A$ et $\rm B$ sont-ils incompatibles ? Même question pour $\rm B$ et $\rm C$.

Exercice 2: Loi de probabilité - somme des probabilité - au plus

On lance un dé truqué à 6 faces dont la loi de probabilité est donnée par le tableau ci-dessous :

Issue	1	2	3	4	5	6
Probabilité	0,3	0,1	0,1	0,1	$p_5$	0,15

Déterminer la probabilité $p_5$.
Soit l'événement $\rm A$ : « Obtenir au plus 4 ». Déterminer la probabilité de $\rm A$.
Soit l'événement $\rm B$ : « obtenir au moins 5 ». Déterminer $\rm P(B)$.

Exercice 3: Calcul de probabilité.

On lance un dé truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6. La probabilité d'obtenir 1 est égale 0,2 et celle d'obtenir 6 est égale à 0,4. Les autres faces ont toutes la même probabilité. On considère les événements :
A : "le numéro de la face obtenue est pair"
B : "le numéro de la face obtenue est un nombre premier"

Déterminer la loi de probabilité de cette expérience.
Déterminer $\rm P(A)$, $\rm P(B)$, $\rm P(A\cap B)$ et $\rm P(A\cup B)$

Exercice 4: Calcul de probabilité.

Gaspard et Sam jouent au bowling. Sam a 3 fois plus de chances de gagner que Gaspard.
Quelle est la probabilité que Sam gagne la partie ?

Exercice 5: probabilité - Formule P(AUB)

$\rm A$ et $\rm B$ sont deux événements tels que :

$\rm P(A)=0,2$ et $\rm P(\overline {B})=0,6$ et $\rm P(A\cup B)=0,5$. Déterminer $\rm P(A\cap B)$.
$\rm P(A)=0,4$ et $\rm P({B})=0,8$ et $\rm P(A\cap B)=0,5$. Déterminer $\rm P(\overline{A\cup B})$.
$\rm P(\overline {A})=0,7$ et $\rm P(\overline{B})=0,8$ et $\rm P(A\cup B)=0,9$. Est-ce possible ?
$\rm P(A)=0,3$ et $\rm P( B)=0,5$ et $\rm A$ et $\rm B$ sont incompatibles. Déterminer $\rm P(A\cap B)$.

Exercice 6: probabilité - problème - situation concrète

Au cours d'une période de plusieurs mois, on a relevé le nombre d'appels reçus simultanément par un standard téléphonique durant la tranche horaire 10 h – 12 h. On a obtenu les résultats suivants :

Nombre d'appels simultanés	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Fréquence (en %)	2,3	8,3	15,7	19,5	21,5	16,6	11,6	3	1,5

Les fréquences ayant été obtenues sur un très grand nombre d'observations, on assimilera ces fréquences à des probabilités.

On se place dans la tranche horaire 10 h – 12 h.
Déterminer la probabilité des événements :
- • $\rm A$ : « obtenir deux appels simultanés » ;
- • $\rm B$ : « obtenir quatre appels simultanés » ;
- • $\rm C$ : « obtenir au plus deux appels simultanés ».
On suppose que le standard possède quatre lignes téléphoniques.
On considère que le standard est encombré lorsqu'il reçoit au moins 5 appels simultanés.
Quelle est la probabilité d'encombrement du standard ?
La direction du standard doit choisir le nombre de lignes téléphoniques à prévoir de façon à satisfaire au mieux les consommateurs, tout en essayant de faire des économies.
1. Quel est le nombre moyen $\rm N$ d'appels simultanés ? Arrondir à l'unité.
  Lorsque le standard possède $\rm N$ lignes téléphoniques, la probabilité d'encombrement du standard est-elle inférieure à 1 chance sur 4 ?
2. Pour affirmer son image de marque sur le marché, la direction du standard estime que la probabilité d'encombrement du standard ne doit pas dépasser $0,05$. Quel est le nombre minimal de lignes téléphoniques à prévoir ?