Problèmes de vitesse : moyenne sur un aller-retour, croisement et rattrapage

Dans cette page, on va apprendre à traiter des problèmes de vitesse très classiques qui posent souvent des difficultés aux élèves :

👉 Les problèmes de vitesse moyenne sur un aller-retour.
👉 Les problèmes de rattrapage.
👉 Les problèmes de croisement.

💡 Conseils pour les problèmes de vitesse

Faire un schéma pour visualiser la situation.
Penser à donner un nom aux grandeurs qui n’en ont pas : par exemple $d_1$ et $d_2$ pour les distances de l’aller et du retour, puis $t_1$ et $t_2$ pour les durées.
Savoir retrouver les variantes de la formule à l’aide du produit en croix :
$\displaystyle {\rm V}=\frac{d}{t}\qquad d={\rm V}\times t\qquad t=\frac{d}{{\rm V}}$

Pour revoir la formule de la vitesse et faire des exercices plus simples, consultez le cours sur le calcul de vitesse, de distance et de durée.

🎯 Vitesse moyenne sur un aller-retour

Une voiture effectue un aller-retour sur le même trajet, en roulant à la vitesse ${\rm V}_1$ à l’aller et à la vitesse ${\rm V}_2$ au retour, sans arrêt. Sa vitesse moyenne sur l’aller-retour est :

$\displaystyle {\rm V}_{\text{moyenne}}=\frac{2{\rm V}_1{\rm V}_2}{{\rm V}_1+{\rm V}_2}$ Afficher ou masquer la démonstration

✏️ Exemple

À l’aller : 30 km/h. Au retour : 70 km/h. Afficher ou masquer la solution

⚠️ Il ne faut surtout pas faire la moyenne des deux vitesses :

$\displaystyle {\rm V}_{\text{moyenne}}=\frac{{\rm V}_1+{\rm V}_2}{2}$

📺 Démonstration de la formule en vidéo

🎯 Problèmes de rattrapage

Deux voitures A et B avancent dans le même sens, à des vitesses constantes. A est derrière B, mais avance plus vite.

$\displaystyle \text{Temps de rattrapage}=\frac{\text{distance d’avance}}{\text{écart de vitesse}}$

✏️ Exemple

La voiture A roule à 90 km/h et la voiture B à 70 km/h. B a 10 km d’avance. Au bout de combien de temps A rattrapera-t-elle B ? Afficher ou masquer la solution

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🎯 Problèmes de croisement

Deux voitures A et B avancent l’une vers l’autre, à des vitesses constantes.

$\displaystyle \text{Temps nécessaire pour se croiser}=\frac{\text{distance initiale}}{\text{somme des vitesses}}$

✏️ Exemple

Deux voitures sont séparées de 150 km et partent au même instant l’une vers l’autre. A roule à 80 km/h et B à 70 km/h. Au bout de combien de temps se croiseront-elles ? Afficher ou masquer la solution

🎯 Départs différés et arrêts

Deux voitures A et B effectuent le même trajet à des vitesses constantes. A part après B, mais A roule plus vite.

Calculer la distance d’avance : c’est la distance parcourue par celui qui part en premier, avant le départ de l’autre.
$\displaystyle \text{Temps de rattrapage}=\frac{\text{distance d’avance}}{\text{écart de vitesse}}$

✏️ Exemple

B part à 8 h à 60 km/h. A part du même endroit à 8 h 30 à 75 km/h, dans le même sens. À quelle heure A rattrapera-t-elle B ? Afficher ou masquer la solution

Exercice 1 : Vitesse moyenne sur un aller-retour – Démontrer la formule

Une voiture effectue un aller-retour entre deux villes, sur le même trajet, à la vitesse constante ${\rm V}_1$ km/h à l’aller et ${\rm V}_2$ km/h au retour.

a. Démontrer que la vitesse moyenne sur l’aller-retour est : \[ {\rm V}=\frac{2{\rm V}_1{\rm V}_2}{{\rm V}_1+{\rm V}_2} \]
b. Calculer la vitesse moyenne lorsque la voiture roule à $30$ km/h à l’aller et à $70$ km/h au retour.

Exercice 2 : Problème de rattrapage – Démontrer la formule

Deux voitures A et B roulent dans le même sens, à des vitesses constantes $v_A$ et $v_B$, avec $v_A>v_B$. La voiture A est derrière la voiture B. Au départ, une distance $d$ les sépare.

La voiture A, plus rapide, suit la voiture B ; la distance qui les sépare est d.

a. Montrer que le temps $t$ nécessaire à la voiture A pour rattraper la voiture B est : \[t=\frac{d}{v_A-v_B}\]
b. Application numérique :
A roule à $100$ km/h et B à $60$ km/h. Au départ, $20$ km les séparent. Au bout de combien de temps la voiture A rattrape-t-elle la voiture B ?

Exercice 3: Vitesse moyenne sur un aller-retour - Problème de vitesse - collège - Lycée

Un cycliste effectue un aller-retour entre deux villes A et B. À l'aller sa vitesse constante est égale à 30km/h. Au retour sa vitesse est encore constante mais vaut 20 Km/h. Quelle est la vitesse moyenne du cycliste sur le trajet aller-retour ?

Exercice 4: Dépassement et problème de vitesse - Mettre le problème en équation collège - Lycée

Sur une route sinueuse, vous parvenez enfin à dépasser le poids lourd qui se traînait devant vous à 60km/h. Combien de temps devrez-vous parcourir à 90km/h pour pouvoir faire un arrêt-pipi de 5 min avant qu'il ne repasse devant vous ?

Exercice 5: Dépassement et problème de vitesse - Mettre le problème en équation collège - Lycée

Une mouche volant à 400 km/h part de Paris à 8 h du matin en longeant la ligne TGV. Le TGV part en même temps qu'elle de Paris à 200 km/h. À 9 h un autre TGV part de Marseille (la distance Paris-Marseille est de 700 km) à 300 km/h. La mouche vole le long de la ligne jusqu'à ce qu'elle rencontre le TGV de Marseille. À ce moment elle fait demi-tour, toujours en suivant la ligne, et rencontre le train venant de Paris, moment où elle fait demi-tour, etc... Lorsque les deux trains se croisent, la mouche meurt. Quelle est la distance parcourue par la mouche ?