Dénombrement : tableaux, arbres, diagrammes de Venn et principe multiplicatif

Dans cette page, tu vas apprendre à dénombrer, c'est-à-dire à compter le nombre d'éléments d'un ensemble, par exemple le nombre de façons d'obtenir une somme égale à 8 avec deux dés.

👉 Le dénombrement est très important en mathématiques, surtout en probabilités 🎲
Avant de calculer des probabilités, il faut souvent commencer par compter les cas possibles et les cas favorables.

📘 Cours : apprendre à dénombrer – tableaux, arbres et diagramme de Venn (patate)

Dénombrer, c'est apprendre à compter tous les cas possibles sans en oublier !
C'est aussi éviter de compter plusieurs fois la même possibilité !
Il y a 3 types de schémas très utiles pour dénombrer :
- Les tableaux
- Les arbres (principe multiplicatif)
- Les diagrammes en « patates » (diagrammes de Venn)

📌 Le principe multiplicatif (les arbres)

Lorsqu'on enchaîne plusieurs choix, le nombre de possibilités se multiplie.

Lorsque l'on a $4$ choix puis $7$ choix, au final, on a $4\times 7$, soit $28$ choix possibles

Exemple : Dans un restaurant, un menu est composé d'une entrée, d'un plat et d'un dessert. Ce restaurant propose 5 entrées, 2 plats et 3 desserts. Combien y a-t-il de menus différents ?

On enchaîne plusieurs choix, donc on peut représenter cette situation avec un arbre.

🌳 Comment construire un arbre (de dénombrement) ?

On commence par tracer 5 branches car il y a 5 entrées.
À partir de chaque entrée, on trace 2 branches car il y a 2 plats.
Puis, à partir de chaque plat, on trace 3 branches car il y a 3 desserts.

Il y a donc $5\times 2\times 3=30$ menus différents.

👉 L'arbre permet donc de compter facilement tous les menus possibles sans en oublier.

📌 Diagramme de Venn (patate)

Dans une classe, on interroge 30 élèves :

20 élèves aiment les mathématiques
12 élèves aiment l'anglais
5 élèves aiment les mathématiques et l'anglais

😱 Remarque : certains élèves pensent que cette situation est impossible car 20 + 12 = 32, ce qui dépasse les 30 élèves de la classe. Il faut comprendre que les 5 élèves qui aiment à la fois les mathématiques et l'anglais ont été comptés deux fois, une fois dans les 20 et une fois dans les 12 !

On peut représenter cette situation avec un diagramme de Venn (« diagramme en patates »).

🧠 Comment remplir un diagramme de Venn ?

On commence par placer l'intersection des deux ensembles.
Ici, 5 élèves aiment à la fois les mathématiques et l'anglais : on écrit donc 5 au milieu.
Ensuite, on complète chaque ensemble.
- Ceux qui aiment les Mathématiques : il y a 20 élèves au total.
  Comme 5 sont déjà dans l'intersection, il reste : 20 - 5 = 15
- Ceux qui aiment l'anglais : il y a 12 élèves au total.
  Comme 5 sont déjà dans l'intersection, il reste : 12 - 5 = 7
Enfin, on calcule les élèves qui ne sont dans aucun ensemble :
15 + 5 + 7 = 27 élèves sont dans le diagramme.
Il reste donc : 30 - 27 = 3 élèves qui n'aiment ni les mathématiques ni l'anglais.

📌 Les tableaux à double entrée

🎲 On lance deux dés à 6 faces.

Combien y a-t-il de façons d'obtenir une somme égale à 8 ?

👉 Pour ne pas oublier de cas, on peut organiser les résultats dans un tableau à double entrée.

🧠 Comment remplir un tableau à double entrée ?

Les lignes correspondent aux résultats du premier dé.
Les colonnes correspondent aux résultats du deuxième dé.
Dans chaque case, on écrit la somme des deux dés.
On repère ensuite les cases où la somme est égale à 8.

🎲	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

👉 On trouve 5 cases où la somme est égale à 8.

👉 Il y a donc 5 façons d'obtenir une somme égale à 8 avec deux dés.

💡 Un tableau à double entrée peut toujours être remplacé par un arbre à 2 niveaux. Mais le tableau est souvent plus rapide à construire et plus facile à lire qu'un arbre.

📌 Les différents types de tirages

👉 Lorsqu'on effectue un tirage, il existe plusieurs façons de procéder.

Tirage successif avec remise : on tire les objets un par un. Et après chaque tirage, on remet l'objet dans l'urne ou dans le paquet.
Tirage successif sans remise : on tire les objets un par un. Mais après chaque tirage, on ne remet pas l'objet tiré.
Tirage simultané : on prend plusieurs objets en même temps.

💡 Lors d'un tirage successif, comme on tire les objets un par un, l'ordre compte.

👉 Par exemple, tirer d'abord A puis B est différent de tirer B puis A.

👉 En revanche, lors d'un tirage simultané, l'ordre ne compte pas.

🎯 Objectif : savoir organiser sa recherche pour compter rapidement et sans se tromper.

📺 Tu trouveras ici le cours en vidéo et des exercices corrigés pour t'entraîner 💪

✏️ Exercices : dénombrer avec un arbre, un tableau ou un diagramme de Venn (« patate »)

Exercice 1: Arbre de dénombrement

Une cantine propose en self-service un choix de trois entrées, de deux plats chauds et de quatre desserts. Deux plateaux repas sont dits identiques lorsqu'ils sont composés de la même entrée, du même plat chaud et du même dessert.

Combien de plateaux repas différents peut-on constituer dans cette cantine ?
À la demande des élèves, il est décidé qu'un plat supplémentaire sera préparé. Ce plat doit-il être une entrée, un plat chaud ou un dessert pour que les élèves aient le maximum de choix pour leur plateau repas ?

Exercice 2: diagramme Venn (patate) pour dénombrer

Dans un lycée, il y a 250 élèves. 120 font du badminton, 90 font du football et 50 font les deux activités.
Traduire cette situation à l'aide d'un diagramme.

Exercice 3: Diagramme de Venn

Un sac contient 100 jetons. Il y a 70 jetons bleus et 40 jetons ronds et 15 jetons bleus et ronds.

Combien y a-t-il de jetons bleus mais pas ronds ?
Combien y a-t-il de jetons ronds mais pas bleus ?
Combien y a-t-il de jetons ni rond ni bleu ?

Exercice 4: Tableau à double entrée pour dénombrer

🎲 On lance deux dés à 6 faces.

Gaspard affirme qu'il y a plus de façons d'obtenir une somme égale à 7 qu'une somme égale à 6.

Gaspard a-t-il raison ?

Exercice 5: 3 types de tirage : successif avec / sans remise - simultané

On dispose de 5 cartes sur lesquelles sont écrites les lettres C, A, R, T, E. Les cartes sont retournées face cachée sur une table. Déterminer le nombre de tirages possibles lorsqu'on :

prend deux cartes successivement avec remise
prend deux cartes successivement sans remise
prend deux cartes simultanément

Exercice 6: Arbre pour dénombrer

Un examinateur doit interroger 4 élèves un par un : Anaël, Béatrice, Chloé et David. Il doit donc établir une liste ordonnée de 4 noms.

À l'aide d'un arbre, déterminer le nombre de listes possibles.
Déterminer le nombre de listes où Béatrice est interrogée en premier.
Déterminer le nombre de listes où Chloé est interrogée en dernier.
Déterminer le nombre de listes où David est interrogé avant Béatrice.

Exercice 7: Arbre pour dénombrer

Pour ouvrir la porte d'entrée d'un immeuble, il faut taper sur le digicode ci-dessous un code de quatre chiffres suivis de deux lettres.

Déterminer le nombre de codes possibles.
Déterminer le nombre de codes commençant par 11.
Déterminer le nombre de codes se terminant par deux lettres identiques.
Déterminer le nombre de codes composés uniquement de chiffres impairs.

Exercice 8: Arbre pour dénombrer

On se déplace sur le quadrillage ci-dessous en partant du point A, pour rejoindre le point B.
On ne peut se déplacer que vers la droite (D) ou vers le haut (H).
On a représenté en rouge le trajet HDDH.

Déterminer le nombre total de trajets possibles de A à B.
Déterminer le nombre de trajets passant par C.
Déterminer le nombre de trajets ne passant pas par D.
Déterminer le nombre de trajets ne passant ni par C ni par D.

Exercice 9: Diagramme de Venn

Un centre sportif compte 80 adhérents, 55 pratiquent la course à pied, 33 la natation et 16 ne pratiquent aucun de ces deux sports. À l'aide d'un diagramme de Venn, déterminer le nombre d'adhérents pratiquant la natation mais pas la course à pied.

Exercice 10: Diagramme de Venn

Dans une classe de 40 élèves, 20 étudient l'allemand, 31 l'anglais et 16 l'espagnol. 18 étudient l'anglais et l'allemand et parmi eux, 1 élève étudie aussi l'espagnol. Aucun élève n'étudie l'allemand et l'espagnol sans étudier l'anglais et seulement 6 élèves n'étudient que l'espagnol.
Représenter ces données à l'aide d'un diagramme.