Dans cette page, tu vas apprendre à dénombrer, c'est-à-dire à compter
le nombre
d'éléments d'un ensemble, par exemple le nombre de façons d'obtenir une somme égale à 8 avec deux dés.
👉 Le dénombrement est très important en mathématiques, surtout en
probabilités 🎲
Avant
de calculer des probabilités, il faut souvent commencer par compter les cas
possibles et les cas
favorables.
📘 Cours : apprendre à dénombrer – tableaux, arbres et diagramme de Venn (patate)
- Dénombrer, c'est apprendre à compter tous les cas possibles sans en oublier !
- C'est aussi éviter de compter plusieurs fois la même possibilité !
- Il y a 3 types de schémas très utiles pour dénombrer :
- Les tableaux
- Les arbres (principe multiplicatif)
- Les diagrammes en « patates » (diagrammes de Venn)
📌 Le principe multiplicatif (les arbres)
Lorsqu'on enchaîne plusieurs choix, le nombre de possibilités se multiplie.
Lorsque l'on a
$4$
choix puis
$7$ choix, au final, on a $4\times 7$, soit $28$
choix possibles
Exemple : Dans un restaurant, un menu est
composé d'une entrée, d'un plat et d'un dessert. Ce restaurant propose 5
entrées, 2 plats et 3 desserts. Combien y a-t-il de menus
différents ?
On enchaîne plusieurs choix, donc on peut représenter cette situation avec un arbre.
🌳 Comment construire un arbre (de dénombrement) ?
-
On commence par tracer 5 branches car il y a 5 entrées.
-
À partir de chaque entrée, on trace 2 branches car il y a 2 plats.
-
Puis, à partir de chaque plat, on trace 3 branches car il y a 3 desserts.
Il y
a donc $5\times
2\times
3=30$ menus différents.
👉 L'arbre permet donc de compter facilement tous les menus possibles sans en
oublier.
📌 Diagramme de Venn (patate)
Dans une classe, on interroge 30 élèves :
- 20 élèves aiment les mathématiques
- 12 élèves aiment l'anglais
- 5 élèves aiment les mathématiques et l'anglais
😱 Remarque : certains élèves pensent que cette situation est impossible
car
20 + 12 = 32, ce qui dépasse les 30 élèves de la classe. Il faut comprendre
que les 5 élèves qui aiment à la fois les
mathématiques et l'anglais
ont été comptés deux fois, une fois dans les 20 et une fois dans les 12 !
On peut représenter cette situation avec un diagramme de Venn (« diagramme en patates »).
🧠 Comment remplir un diagramme de Venn ?
-
On commence par placer l'intersection des deux
ensembles.
Ici, 5 élèves aiment à la fois les mathématiques et l'anglais :
on écrit donc 5 au milieu.
-
Ensuite, on complète chaque ensemble.
-
Ceux qui aiment les Mathématiques : il y a 20 élèves au total.
Comme 5 sont déjà dans l'intersection, il reste :
20 - 5 = 15
-
Ceux qui aiment l'anglais : il y a 12 élèves au total.
Comme 5 sont déjà dans l'intersection, il reste :
12 - 5 = 7
-
Enfin, on calcule les élèves qui ne sont dans aucun ensemble :
15 + 5 + 7 = 27 élèves sont dans le diagramme.
Il reste donc :
30 - 27 = 3 élèves qui n'aiment ni les mathématiques ni l'anglais.
📌 Les tableaux à double entrée
🎲 On lance deux dés à 6 faces.
Combien y a-t-il de façons d'obtenir une somme égale à 8 ?
👉 Pour ne pas oublier de cas, on peut organiser les résultats dans un tableau à double
entrée.
🧠 Comment remplir un tableau à double entrée ?
-
Les lignes correspondent aux résultats du premier dé.
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Les colonnes correspondent aux résultats du deuxième dé.
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Dans chaque case, on écrit la somme des deux dés.
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On repère ensuite les cases où la somme est égale à 8.
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12 |
👉 On trouve 5 cases où la somme est égale à 8.
👉 Il y a donc 5 façons d'obtenir une somme égale à 8 avec deux dés.
💡 Un
tableau à double entrée peut toujours être
remplacé par un
arbre à 2 niveaux. Mais le
tableau est souvent plus rapide à construire et plus facile à lire qu'un arbre.
📌 Les différents types de tirages
👉 Lorsqu'on effectue un tirage, il existe plusieurs façons de procéder.
-
Tirage successif avec remise :
on tire les objets un par un. Et après chaque tirage, on remet l'objet dans l'urne ou dans le
paquet.
-
Tirage successif sans remise :
on tire les objets un par un. Mais après chaque tirage, on ne remet pas l'objet tiré.
-
Tirage simultané :
on prend plusieurs objets en même temps.
💡 Lors d'un tirage successif, comme on tire les objets un par un, l'ordre
compte.
👉 Par exemple, tirer d'abord A puis B est différent de tirer
B puis A.
👉 En revanche, lors d'un tirage simultané, l'ordre ne compte pas.
🎯 Objectif : savoir organiser sa recherche pour compter rapidement et sans se tromper.
📺 Tu trouveras ici le cours en vidéo et des exercices corrigés pour
t'entraîner 💪
