Tableau de signe et inéquation se ramenant à du second degré

Conseils

Tableau de signe & Inéquation

Cours

Signe d'une expression quelconque - Tableau de signe

, expliqué en vidéo

• Méthode

Méthode

S'il y a des fractions
commencer par mettre au même dénominateur !
Factoriser au maximum
Pour factoriser, 2 techniques:
- Le facteur commun
- L'identité remarquable: $\boldsymbol{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$

L'objectif est de factoriser en blocs qui soient des fonctions affines ou des polynômes du second degré.
Dresser le tableau de signe. Pour cela:
1. On étudie le signe de chaque bloc séparément
2. On trouve le signe final
  En appliquant la règle des signes dans chaque colonne.

Exemple Signe de $ {\dfrac 3{x^2-2x}-1}$

Cours

Résoudre une inéquation à l'aide d'un tableau de signe

, expliqué en vidéo

• Essayer d'isoler l'inconnue $x$

Méthode Pour isoler l'inconnue, on peut:

Additionner ou soustraire la même quantité des 2 côtés

Multiplier ou diviser par la même quantité des 2 côtés

Exemple Résoudre $-3x\leqslant 8-x$

	$-3x\leqslant 8-x$ On additionne $x$ des 2 côtés
$\Leftrightarrow$	$-3x+x\leqslant 8-x+x$
$\Leftrightarrow$	$-2x\leqslant 8$ On divise par $-2$ des 2 côtés Et comme on divise par un nombre négatif, il faut changer le sens de l'inégalité.
$\Leftrightarrow$	$\displaystyle \frac{-2x}{-2}\geqslant \frac 8{-2}$
$\Leftrightarrow$	$x\geqslant -4$ Les solutions sont donc les nombres supérieurs ou égaux à $-4$.

On en déduit que l'ensemble des solutions est $[-4;+\infty[$.

• Faire un tableau de signe

Méthode Si pour résoudre une inéquation, tu n'arrives pas isoler $x$, essaye d'utiliser un tableau de signe:

Ecrire l'inéquation sous la forme $\boldsymbol{...-....\leqslant 0}$
De façon à avoir 0 dans le membre de droite.
Mettre au même dénominateur
S'il y a des fractions
Factoriser au maximum
2 techniques très classiques pour factoriser:
- Le facteur commun
- L'identité remarquable $\boldsymbol{a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$
Dresser le tableau de signe
- On étudie le signe de chaque bloc séparément.
- Puis on applique la règle des signes par colonne.
Conclure
- Si on résout $\boldsymbol{...\leqslant 0}$ Regarder dans le tableau de signe sur la dernière ligne, là où il y a des $\boldsymbol{-}$.
- Si on résout $\boldsymbol{...\geqslant 0}$ Regarder dans le tableau de signe sur la dernière ligne, là où il y a des $\boldsymbol{+}$.

Exemple Résoudre $ {\dfrac 3x\leqslant x+2}$

	$ {\dfrac 3x\leqslant x+2}$ On va tout regrouper dans le membre de gauche, de façon à avoir 0 à droite.
$\Leftrightarrow$	$ {\dfrac 3x -(x+2)\leqslant 0}$ On va mettre au même dénominateur.
$\Leftrightarrow$	$ {\dfrac {3 -x(x+2)}x\leqslant 0}$ On va arranger le numérateur en développant.
$\Leftrightarrow$	$ {\dfrac {-x^2-2x+3}x\leqslant 0}$

Ensuite on dresse le tableau de signe

• Faire un tableau de variations

Méthode Quand on n'arrive pas à appliquer la méthode avec le tableau de signe

on utilise un tableau de variations:

On écrit l'inéquation sous la forme $...-....\geqslant 0$
On regroupe tout dans le membre de gauche de façon à avoir 0 à droite
On pose $f(x)=...-....$
On étudie les variations de $f$
Pour cela, on utilise très souvent la dérivation.
On conclut en cherchant le maximum et le minimum
- Si le maximum est négatif alors $f$ est négative.
- Si le minimum est positif alors $f$ est positive.

Exemple Montrer que pour tout $x\gt 0$, $ x+\dfrac 1x\geqslant 2$

• Si les coefficients sont compliqués

Résumé du cours en vidéo

Exercice 1: Inéquation et tableau de signe d'un quotient - Polynôme du second degré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $\dfrac {2-x}{-x^2+2x+3}\leqslant 0$

Exercice 2: Inéquation et tableau de signe - Polynôme du second degré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\displaystyle 9x\geqslant x^3$

Exercice 3: Démontrer une inégalité - Tableau de signe - Parabole - Première spécialité maths S - ES - STI

Démontrer que pour tout $x$ strictement positif, $ x+\dfrac 1x\geqslant 2$.

Exercice 4: Résoudre une inéquation avec fraction - Tableau de signe - Polynôme du second degré - Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $ \dfrac {4x-20}{-x^2+x+2}\leqslant 2$

Exercice 5: inéquation du second degré - tableau de signe polynôme du second degré - Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $ \dfrac 2{x-1}\geqslant 2x-5$.

Exercice 6: inéquation du second degré avec fraction • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $ \dfrac 6{2x-1}\geqslant \dfrac x{x-1}$

Exercice 7: Inégalité - Polynôme du second degré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

On a tracé ci-dessous la courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$ définie par : $f(x) = \dfrac{2x-1}{x^2-x+2}$.

Pourquoi $f$ est-elle définie sur $\mathbb{R}$?
Pourquoi la courbe $\mathscr{C}$ est-elle entièrement dans la bande du plan délimitée par les droites d'équations $y=1$ et $y=-1$ ?

Exercice 8: inéquation du troisième degré - signe d'un polynôme du second degré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $ x^3+1\geqslant (x+1)^2$

Exercice 9: Inéquation avec racine carrée et polynôme du second degré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante $\sqrt{-x^2+3x+4}\leqslant \dfrac 12 x+2$

Exercice 10: domaine de définition d'une fonction et inéquation du second degré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Déterminer le domaine de définition de la fonction $f: x\to \sqrt {-x^2+3x+4}$.

Tableau de signe & Inéquation

Signe d'une expression quelconque - Tableau de signe

Résoudre une inéquation à l'aide d'un tableau de signe

Exercice 1: Inéquation et tableau de signe d'un quotient - Polynôme du second degré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Exercice 2: Inéquation et tableau de signe - Polynôme du second degré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Exercice 3: Démontrer une inégalité - Tableau de signe - Parabole - Première spécialité maths S - ES - STI

Exercice 4: Résoudre une inéquation avec fraction - Tableau de signe - Polynôme du second degré - Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Exercice 5: inéquation du second degré - tableau de signe polynôme du second degré - Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Exercice 6: inéquation du second degré avec fraction • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Exercice 7: Inégalité - Polynôme du second degré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Exercice 8: inéquation du troisième degré - signe d'un polynôme du second degré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Exercice 9: Inéquation avec racine carrée et polynôme du second degré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

Exercice 10: domaine de définition d'une fonction et inéquation du second degré • Première spécialité mathématiques S - ES - STI

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