Dérivation - comprendre la définition f(a+h)-f(a)/h

Conseils

Dérivation - Tangente

Exercice type

pour savoir montrer qu'une fonction est dérivable en a (en 7 min!)

Cours

Pour comprendre la dérivation - D'où vient $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et ne pas appliquer sans comprendre !

• Approche intuitive

Quand on zoome sur la courbe d'une fonction en un point d'abscisse $a$, parfois la courbe semble se confondre avec une droite

Ici on a zoomé sur le point de la courbe d'abscisse 1

Si la tangente est verticale

• Méthode

Pour savoir si une fonction $f$ est dérivable en $a$:

Calculer $\dfrac{f(a+h)-f(a)}h$
$a$ est un réel appartenant au domaine définition
ça n'a pas de sens de chercher si $f$ est dérivable en $a$ si $a$ n'appartient pas au domaine de définition.
Chercher la limite de $\dfrac{f(a+h)-f(a)}h$ quand $h$ tend vers 0.
Conclure

Si la limite existe et est finie
alors $f$ est dérivable en $a$. Cette limite s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$.

Si la limite est infinie ou n'existe pas
alors $f$ n'est pas dérivable en $a$.

• Exemple

$f:x\mapsto x^2$ est-elle dérivable en $1$

On calcule $\dfrac{f(a+h)-f(a)}h$
On applique cette formule avec $a=1$ et $f(x)=x^2$
car on veut savoir si $f$ est dérivable en 1 donc $a=1$

$\dfrac{f(a+h)-f(a)}h$ $=\dfrac{(1+h)^2-1^2}{h}$ $=\dfrac{1+2h+h^2-1}{h}$ $=\dfrac{2h+h^2}h=2+h$
$\lim\limits_{\substack{h \to 0}} 2+h=2$
Donc $f$ est dérivable en 1 et $f'(1)=2$
Car la limite de $\dfrac{f(1+h)-f(1)}h$ quand $h$ tend vers 0 existe et est finie et vaut $2$.

• Au lieu de d'utiliser $\dfrac{f(a+h)-f(a)}h$

• Autre notation de $f'(a)$

• Nombre dérivé

Cours

Utiliser sa calculatrice CASIO pour trouver $\boldsymbol{f'(a)}$

• Casio Graph 35 - Casio Graph 75 - Casio Fx

Aller dans le menu principal - Touche MENU
Cliquer 1 - RUN
Choisir: ▶MATH
F4
Choisir: ▶ d/dx
F4
Rentrer la fonction
Pour $x$ : utiliser la touche
Compléter $x=...$
Si on veut $f'(3)$, rentrer: $3$ Ce qui donne $X=3$

Dérivation et Nombre dérivé : Exercices à Imprimer

Exercice 1: Démontrer qu'une fonction est dérivable en a • Trouver f'(a) à l'aide du taux d'accroissement - Première spécialité maths S - ES - STI

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.
Démontrer que $f $ est dérivable en $1$ et préciser $f'(1)$.

Exercice 2: Démontrer qu'une fonction est dérivable en a • Trouver f'(a) à l'aide du taux d'accroissement - Première spécialité maths S - ES - STI

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.

Démontrer que $f$ est dérivable en $2$ et préciser $f'(2)$.
En déduire une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$.

Exercice 3: Démontrer qu'une fonction est dérivable en a • Trouver f'(a) à l'aide du taux d'accroissement - Première spécialité maths S - ES - STI

On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac 1x$.
Démontrer que $f $ est dérivable en $1$ et préciser $f'(1)$.

Exercice 4: Démontrer qu'une fonction est dérivable en a • Trouver f'(a) à l'aide du taux d'accroissement - Première spécialité maths S - ES - STI

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+x-3$.
Justifier que $f $ est dérivable en $-2$ et préciser $f'(-2)$.

Exercice 5: Dérivée et Racine carrée • Piège classique • Première spécialité maths S - ES - STI

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt x$ et $g(x)=x\sqrt x$.

La fonction $f$ est-elle dérivable en 0? Justifier.
La fonction $g$ est-elle dérivable en 0? Justifier.

Exercice 6: Nombre dérivé - f'(a) - Racine carrée et quantité conjuguée

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt x$.
Justifier que $f $ est dérivable en $4$ et préciser $f'(4)$.

Exercice 7: Démontrer qu'une fonction est dérivable en a en utilisant le taux d'accroissement - f'(a)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\lbrace{-1}\rbrace$ par $f(x)=\dfrac 2{x+1}$.

Montrer que $f $ est dérivable en $1$ en utilisant le taux d'accroissement et préciser $f'(1)$.
Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.

🎥 10 ans de collaboration avec les éditions Nathan

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Dérivation définition • Comprendre $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

pour savoir montrer qu'une fonction est dérivable en a (en 7 min!)

Pour comprendre la dérivation - D'où vient $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et ne pas appliquer sans comprendre !

Utiliser sa calculatrice CASIO pour trouver $\boldsymbol{f'(a)}$

Dérivation et Nombre dérivé : Exercices à Imprimer

Exercice 1: Démontrer qu'une fonction est dérivable en a • Trouver f'(a) à l'aide du taux d'accroissement - Première spécialité maths S - ES - STI

Exercice 2: Démontrer qu'une fonction est dérivable en a • Trouver f'(a) à l'aide du taux d'accroissement - Première spécialité maths S - ES - STI

Exercice 3: Démontrer qu'une fonction est dérivable en a • Trouver f'(a) à l'aide du taux d'accroissement - Première spécialité maths S - ES - STI

Exercice 4: Démontrer qu'une fonction est dérivable en a • Trouver f'(a) à l'aide du taux d'accroissement - Première spécialité maths S - ES - STI

Exercice 5: Dérivée et Racine carrée • Piège classique • Première spécialité maths S - ES - STI

Exercice 6: Nombre dérivé - f'(a) - Racine carrée et quantité conjuguée

Exercice 7: Démontrer qu'une fonction est dérivable en a en utilisant le taux d'accroissement - f'(a)

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