Logarithme décimal

La fonction logarithme décimal, notée $\log$ est la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $\log x=\dfrac {\ln x} {\ln 10}$.

1. Déterminer $\log 10$, $\log 100$, $\log 0,001$.
2. Quelle conjecture peut-on en déduire? Démontrer cette conjecture.
3. On rappelle que pour tous nombres $a$ et $b$ strictement positifs: $\ln ( a\times b)=\ln a+\ln b$.
   Cette propriété est-elle encore valable avec la fonction $\log$.
4. Déterminer le sens de variation de la fonction $\log$.
5. Encadrer sans calculatrice, $\log 25665$ et $\log 0,00945$.

Le pH mesure l'acidité d'une solution. On définit le pH par ${\rm pH}=-\log[{\rm H}_3{\rm O}^+]$
où $[\rm H_3O^+]$ désigne la concentration en ions oxonium en moles par litre.

1. Une solution est dite acide lorsque le pH est inférieur à 7.
   Une solution a une concentration en ions $[\rm H_3O^+]$ de $2\times 10^{-11}$ ${\rm mol}\cdot{\rm L}^{-1}$.
   Sans utiliser de calculatrice, dire si cette solution est acide.
2. Matthias affirme que lorsque la concentration en ions $[\rm H_3O^+]$ diminue, le $\rm pH$ augmente.
   Est-ce vrai? Justifier.
3. Démontrer la formule $[\rm H_3O^+]=10^{-\rm pH}$ dans le cas où $\rm pH$ est un entier.

Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels tels que $10^n \leqslant p \lt 10^{n+1}$.

1. Déterminer le nombre de chiffres dans l'écriture décimale de $p$.
2. Montrer que $n = {\rm E}(\log p)$ où la fonction $\rm E$ désigne la fonction partie entière.
3. A l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre de chiffres dans l'écriture décimale de $2^{{2018}}$.