On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln x$ et $g(x)=(\ln x)^2$.
On note $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ les courbes représentatives de $f$ et $g$.
1) Étudier les positions relatives de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
2) Soit M et N les points de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ d'abscisse $x$. Sur
l'intervalle $[1;e]$, pour quelle valeur de $x$,
la distance MN est-elle maximale? Quelle est la valeur de
cette distance maximale?
Soit $f$ la fonction définie sur ]0 ; 14] par $f (x) = 2-\ln\left(\frac x2 \right)$ dont la courbe
$\mathscr{C}_f$ est donnée dans le repère orthogonal d’origine O ci-dessous :
À tout point M appartenant à $\mathscr{C}_f$, on
associe le point P projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M
sur l’axe des ordonnées.
• $f$ est-elle positive sur $]0;14]$?
• L'aire du rectangle OPMQ est-elle constante, quelle que soit la position du
point M sur $\mathscr{C}_f$ ?
• L’aire du rectangle OPMQ peut-elle être maximale ? Si oui, préciser les
coordonnées
du point M correspondant. Justifier les réponses.
Exercices 8: Logarithme et équation - ln x=-x - théorème des valeurs
intermédiaires
On a tracé la courbe de la fonction logarithme népérien.
1. Résoudre graphiquement l'équation $\ln x=-x$.
2. Montrer que l'équation $\ln x=-x$ admet une seule solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$.
3. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
Corrigé en vidéo!
Exercices 10:
Problème ouvert - Sujet de Bac Liban 2015 exercice 3
On considère la courbe $\mathscr{C}$ d'équation $y=e^x$, tracée ci-contre:
Pour tout réel $m$ strictement positif, on note $\mathscr{D}_m$ la droite d'équation $y = mx$.
1. Dans cette question, on choisit $m = e$.
Démontrer que la droite $\mathscr{D}_e$ d'équation $y = ex$,
est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en son point d'abscisse 1.
2. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif $m$,
le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ et de la droite
$\mathscr{D}_m$.
3. Démontrer cette conjecture.
Dire si les affirmations sont vraies ou fausses. Justifier.
1. L'équation $\ln x=-1$ n'a pas de solution.
2. Si $u>0$ alors $\ln u>0$.
3. $\ln (x^2)$ peut être négatif.
4. Pour tout $x>0$, $\ln(2x)>\ln x$
5. L'expression $\ln (-x)$ n'a pas de sens.
6. Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, $\ln x \times \ln y=\ln(x+y)$.
7. Si $f(x)=(\ln x)^2$ alors $f'(x)=\frac{2\ln x}x$.
8. ($u_n$) est une suite géométrique avec $u_0>0$ et la raison $q>0$ alors $\left(\ln(u_n)\right)$ est
arithmétique.
Corrigé en vidéo!
Exercices 14:
fonction exponentielle, minimum et points alignés - Bac S Liban
2017 exercice 3
Soit $k$ un réel strictement positif. On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par
$f_k(x)=x+ke^{-x}$.
On note $\mathscr{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d’un repère
orthonormé.
On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathscr{C}_k$ pour différentes valeurs de $k$.
Il semblerait que chaque fonction $f_k$ admette un minimum sur $\mathbb{R}$. Si l'on appelle $A_k$ le
point de $\mathscr{C}_k$ correspondant à ce minimum, il semblerait que ces points $A_k$ soient alignés.
Est-ce le cas ?
Corrigé en vidéo!
Exercices 15:
Logarithme - hauteur maximum et angle de tir - Amérique du Nord
Bac 2018
On lance un projectile dans un milieu fluide. On modélise le projectile par
un point qui se déplace sur la courbe représentative de la fonction $f$
définie sur l'intervalle
$[0; 1[$ par :
$f(x)=bx+2\ln (1-x)$
où $b$ est un paramètre réel supérieur ou égal à 2, $x$ est l'abscisse du
projectile, $f (x)$ son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètres.
$f$ est dérivable sur
[0;1[.
- Montrer que pour tout $x\in [0;1[$, $\displaystyle f'(x)=\frac{-bx+b-2}{1-x}$.
- En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0;1[$.
- Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $b$ la hauteur maximale
du projectile ne
dépasse pas $1,6$ mètre.
- Dans cette question, on choisit $b = 5,69$.
L'angle de tir $\theta$ correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et
la tangente à la courbe de la
fonction $f$ au point d'abscisse 0 comme indiqué sur le schéma donné ci-contre.
Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle $\theta$
Web
