Fonction exponentielle de base a – Cours de Première (enseignement spécifique)

Dans cette page, tu vas découvrir la fonction exponentielle de base \(a\) et comprendre le lien avec les puissances que tu connais déjà.

Jusqu'à présent, tu connais les puissances uniquement lorsque l'exposant est entier : $$ a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n\ \text{fois}} $$

💡 Idée essentielle :
Maintenant, on va généraliser les puissances lorsque l'exposant n'est pas entier ! C'est $a^x$, par exemple $7^{2,5}$ .
La fonction $a^x$ est le prolongement des puissances $a^n$ à tous les réels.

Dans ${\color{green}a}^{\color{red}x}$ : ${\color{green}a}$ s'appelle la base et ${\color{red}x}$ l'exposant.

• Comme $a^x$ généralise $a^n$, on garde exactement les mêmes règles de calcul que pour les puissances entières :
  • Produit : $ \boldsymbol{a^x \times a^y = a^{x+y}} $
  • Quotient : $ \boldsymbol{\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}} $
  • Puissance d'une puissance : $ \boldsymbol{(a^x)^y = a^{xy}} $
  • Puissance zéro : $ \boldsymbol{a^0 = 1} $
  • Exposant négatif : $ \boldsymbol{a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}} $
  
• La différence fondamentale entre ${\color{green}a}^{\color{red}x}$ et ${\color{green}a}^{\color{red}n}$

  où ${\color{red}x}$ est réel et ${\color{red}n}$ entier
  Si l'exposant est réel, la base doit être positive !
  Si l'exposant est entier, la base peut être négative !
  
  $(-2)^{3,1}$ n'a pas de sens

  l'exposant n'est pas entier, la base $a$ doit être positive !
  $(-2)^{-3}$ a du sens

  l'exposant est entier, la base $a$ peut être négative !
• Définition :
  Soit $a\gt 0$. La fonction exponentielle de base \(a\) est définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ \boldsymbol{f(x)=a^x} $$
• Variations :
  • 👉 Si $\boldsymbol{a>1}$ elle est croissante :
    
    
  • 👉 Si $\boldsymbol{0\lt a\lt 1}$ elle est décroissante
    

🎯 Objectif : comprendre la fonction exponentielle, utiliser ses propriétés et interpréter sa courbe.

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