Mettre un problème en équation

Une personne dépense le quart de son salaire pour se loger, les $\dfrac 37$ pour se nourrir. Il lui reste 630 euros. Quel est son salaire ?

Matthias, Gaspard et Rose offrent un téléphone à leurs parents. Rose paie les $\dfrac 25$ du téléphone, Matthias donne un tiers du prix et Gaspard 40 euros. Quel est le prix du téléphone ?

Les économies de Pierre sont trois fois plus importantes que celles de son frère Benoît. Leur sœur Anne a 12 euros de plus que Pierre. À eux trois, ils ont 425 euros. Calculer le montant des économies de chacun.

Objectif du problème : une réponse qui semble évidente n'est pas toujours la bonne. On dit alors que ce problème est contre-intuitif. Et les maths permettent de trouver la bonne réponse !

Un chat et une souris sont sur une balance. Ensemble, ils pèsent 950 g. Le chat pèse 900 g de plus que la souris. Quel est le poids du chat et celui de la souris ?

Lotfi a dans son porte-monnaie 29 € en pièces de 2 € et de 50 centimes. Sachant qu'il a en tout 22 pièces, combien a-t-il de pièces de 2€ et de 50 centimes.

La somme de 5 entiers consécutifs peut-elle être égale à $2016$ ?

L'objectif de cet exercice est de remplir les cases du carré ci-dessous avec les neuf nombres 1, 2, 3,...9 pour obtenir la même somme $\rm S$ sur toutes les lignes, colonnes et les deux diagonales. Le $1$ et le $2$ sont déjà placés :

$\phantom{1}$	$1$	$\phantom{1}$
$\phantom{1}$	$\phantom{1}$	$\phantom{1}$
$2$	$\phantom{1}$	$\phantom{1}$

1. Déterminer cette somme $\rm S$.
2. Soit $x$ le nombre figurant dans la case centrale. Remplir les cases en fonction de $x$.
3. En déduire la valeur de $x$ et conclure.

Le but de ce problème est de trouver deux nombres connaissant leur somme $50$ et leur produit $589$.

1. Méthode "naturelle"
   1. Soit $x$ l'un des deux nombres. Montrer que $x$ est solution de l'équation $x^2-50x+589=0$.
   2. Sait-on résoudre cette équation ?
2. Méthode de Diophante
   1. Justifier l'argument de Diophante : Si deux nombres ont pour somme 50, l'un s'écrit $25+x$ et l'autre $25-x$.
   2. Montrer que $x$ est alors solution de l'équation $x^2=36$
   3. En déduire les solutions.

On dispose des jetons en carré : il en reste 12. Si on ajoute 1 jeton par côté, il en manque 1. Combien a-t-on de jetons ?

Déterminer le côté d'un carré sachant que si on l'augmente de 3 cm, son périmètre augmente de 21 cm.