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Terminale

Raisonnement par récurrence - Niveau expert - terminale spécialité mathématiques

Conseils
Raisonnement par récurrence
Cours

Nouvelle méthode pour étudier les variations d'une suite

, expliquée en vidéo
4 méthodes pour étudier les variations d'une suite

Exercice 1: Démontrer par récurrence & arithmétique - divisible - multiple - Idéal maths expert - terminale spécialité mathématiques

Démontrer que pour tout entier naturel n, 5^n-2^n est divisible par 3 à l'aide:
  1. D'un raisonnement par récurrence
  2. Des congruences (pour les maths experts)

Exercice 2: Raisonnement par récurrence - Les erreurs à éviter - Un classique ! - terminale spécialité mathématiques

Pour tout entier naturel n, on considère les deux propriétés suivantes:
  • P_n: 10^n-1 est divisible par 9
  • Q_n: 10^n+1 est divisible par 9
  1. Démontrer que si P_n est vraie alors P_{n+1} est vraie.
  2. Démontrer que si Q_n est vraie alors Q_{n+1} est vraie.
  3. Un élève affirme: " Donc P_n et Q_n sont vraies pour tout entier naturel n". Expliquer pourquoi il commet une erreur grave.
  4. Démontrer que P_n est vraie pour tout entier naturel n.
  5. Démontrer que pour tout entier naturel n, Q_n est fausse. On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.

Exercice 3: Démontrer par récurrence une inégalité - terminale spécialité mathématiques

Démontrer que pour tout entier n\geqslant 2, 5^n\geqslant 4^n+3^n.

Exercice 4: Démontrer par récurrence une inégalité

Démontrer que pour tout entier n\geqslant 4, 2^n\geqslant n^2.

Exercice 5: Sens de variation d'une suite par 2 méthodes - Exercice très classique

On considère la suite définie par u_0=1 et pour tout entier naturel n, u_{n+1}=\dfrac {u_n}{u_n+2}.
  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n\gt 0.
  2. En déduire le sens de variation de (u_n).
  3. On considère la fonction f définie sur ]-2;+\infty[ par f(x)=\dfrac{x}{x+2}.
    1. Étudier les variations de f.
    2. Refaire la question 2. par une autre méthode.

Exercice 6: raisonnement par récurrence et sens de variation - Suite arithmético-géométrique - terminale spécialité mathématiques

On considère la suite (u_n) définie par u_0=10 et pour tout entier naturel n, u_{n+1}=\dfrac 12 u_n+1.
  1. Calculer les 4 premiers termes de la suite.
  2. Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de (u_n).
  3. Étudier les variations de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\frac 12 x+1.
  4. Démontrer la conjecture par récurrence

Exercice 7: Démontrer par récurrence une inégalité avec un+1=f(un) - terminale spécialité mathématiques

Soit la suite (u_n) définie par u_0=0 et pour tout entier naturel n, u_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{4u_n+4}. On considère la fonction f définie sur ]-1;+\infty[ par f(x)=\dfrac{x+3}{4x+4}.
  1. Étudier les variations de f.
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n \leqslant 1.

Exercice 8: Démontrer par récurrence une inégalité avec un+1=f(un)

On considère la suite (u_n) définie par u_0\in ]0;1[ et pour tout entier naturel n, u_{n+1}=u_n(2-u_n).
Soit la fonction f définie sur [0;1] par f(x)=x(2-x).
  1. On a tracé la courbe de f ci-dessous:
    Représenter les premiers termes de la suite. Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de (u_n)?
  2. Étudier les variations de la fonction f définie sur [0;1] par f(x)=x(2-x).
  3. Démontrer que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant 1.
  4. Démontrer la conjecture du 1.

Exercice 9: suite de Héron - Démontrer par récurrence une inégalité - terminale spécialité mathématiques

On considère la fonction définie sur ]0;+\infty[, par f(x)=\dfrac x 2 +\dfrac 1 x.
  1. Étudier les variations de f.
  2. On considère la suite définie par u_0=5 et pour tout entier naturel n, u_{n+1}=f(u_n).
    1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, \sqrt 2\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 5
    2. Que peut-on conclure?

Exercice 10: Raisonnement par récurrence & dérivation x^ u^n

Rappel: si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors \left\{\begin{array}{l} u\times v \text{ est dérivable sur I}\\ \quad\quad \text{ et}\\ (u\times v)'=u'v+uv'\\ \end{array}\right.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier n\geqslant 1, f^n est dérivable sur I et que (f^n)'=n f' f^{n-1}.
  2. Appliquer ce résultat à la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^nn est un entier naturel non nul.

Exercice 11: Démontrer par récurrence - nombre de segments avec n points sur un cercle

On place n points distincts sur un cercle, et n\geqslant 2. Démontrer que le nombre de segments que l'on peut tracer avec ces n points est \dfrac{n(n-1)}2.

Exercice 12: Raisonnement par récurrence - somme des angles dans un polygone

Démontrer par récurrence que la somme des angles dans un polygone non croisé à n côtés vaut (n-2)\pi radian.

Exercice 13: Raisonnement par récurrence - Erreur très Classique - Surtout à ne pas faire !

Trouver l'erreur dans le raisonnement suivant:
Soit \mathcal P_n la propriété M^n = PD^nP^{-1}.
  • P^{-1}MP = D \Leftrightarrow PP^{-1}MP=PD \Leftrightarrow MP=PD \Leftrightarrow MPP^{-1} = PDP^{-1} \Leftrightarrow M = PDP^{-1}. Donc la propriété \mathcal P_n est vraie au rang 1.
  • On suppose que pour tout entier p \geqslant 1 la propriété est vraie, c'est-à-dire que M^p = PD^p P^{-1}.
    D'après l'hypothèse de récurrence M^p = PD^p P^{-1} et on sait que M=PDP^{-1} donc:
    M^{p+1}= M \times M^p = PDP^{-1}\times PD^{p}P^{-1}= PDP^{-1}PD^p P^{-1} = PDD^pP^{-1}= PD^{p+1}P^{-1}.
    Donc la propriété est vraie au rang p+1.
  • La propriété est vraie au rang 1 ; elle est héréditaire pour tout n\geqslant 1 donc d'après le principe de récurrence la propriété est vraie pour tout n \geqslant 1.


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