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Terminale

Raisonnement par récurrence - Niveau expert - terminale spécialité mathématiques

Conseils
Raisonnement par récurrence
Cours

Nouvelle méthode pour étudier les variations d'une suite

, expliquée en vidéo
4 méthodes pour étudier les variations d'une suite

Exercice 1: Démontrer par récurrence & arithmétique - divisible - multiple - Idéal maths expert - terminale spécialité mathématiques

Démontrer que pour tout entier naturel n, 5n2n est divisible par 3 à l'aide:
  1. D'un raisonnement par récurrence
  2. Des congruences (pour les maths experts)

Exercice 2: Raisonnement par récurrence - Les erreurs à éviter - Un classique ! - terminale spécialité mathématiques

Pour tout entier naturel n, on considère les deux propriétés suivantes:
  • Pn:10n1 est divisible par 9
  • Qn:10n+1 est divisible par 9
  1. Démontrer que si Pn est vraie alors Pn+1 est vraie.
  2. Démontrer que si Qn est vraie alors Qn+1 est vraie.
  3. Un élève affirme: " Donc Pn et Qn sont vraies pour tout entier naturel n". Expliquer pourquoi il commet une erreur grave.
  4. Démontrer que Pn est vraie pour tout entier naturel n.
  5. Démontrer que pour tout entier naturel n, Qn est fausse. On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.

Exercice 3: Démontrer par récurrence une inégalité - terminale spécialité mathématiques

Démontrer que pour tout entier n2, 5n4n+3n.

Exercice 4: Démontrer par récurrence une inégalité

Démontrer que pour tout entier n4, 2nn2.

Exercice 5: Sens de variation d'une suite par 2 méthodes - Exercice très classique

On considère la suite définie par u0=1 et pour tout entier naturel n, un+1=unun+2.
  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un>0.
  2. En déduire le sens de variation de (un).
  3. On considère la fonction f définie sur ]2;+[ par f(x)=xx+2.
    1. Étudier les variations de f.
    2. Refaire la question 2. par une autre méthode.

Exercice 6: raisonnement par récurrence et sens de variation - Suite arithmético-géométrique - terminale spécialité mathématiques

On considère la suite (un) définie par u0=10 et pour tout entier naturel n, un+1=12un+1.
  1. Calculer les 4 premiers termes de la suite.
  2. Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de (un).
  3. Étudier les variations de la fonction f définie sur R par f(x)=12x+1.
  4. Démontrer la conjecture par récurrence

Exercice 7: Démontrer par récurrence une inégalité avec un+1=f(un) - terminale spécialité mathématiques

Soit la suite (un) définie par u0=0 et pour tout entier naturel n, un+1=un+34un+4. On considère la fonction f définie sur ]1;+[ par f(x)=x+34x+4.
  1. Étudier les variations de f.
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0un1.

Exercice 8: Démontrer par récurrence une inégalité avec un+1=f(un)

On considère la suite (un) définie par u0]0;1[ et pour tout entier naturel n, un+1=un(2un).
Soit la fonction f définie sur [0;1] par f(x)=x(2x).
  1. On a tracé la courbe de f ci-dessous:
    Représenter les premiers termes de la suite. Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de (un)?
  2. Étudier les variations de la fonction f définie sur [0;1] par f(x)=x(2x).
  3. Démontrer que pour tout entier naturel n, 0un1.
  4. Démontrer la conjecture du 1.

Exercice 9: suite de Héron - Démontrer par récurrence une inégalité - terminale spécialité mathématiques

On considère la fonction définie sur ]0;+[, par f(x)=x2+1x.
  1. Étudier les variations de f.
  2. On considère la suite définie par u0=5 et pour tout entier naturel n, un+1=f(un).
    1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 2un+1un5
    2. Que peut-on conclure?

Exercice 10: Raisonnement par récurrence & dérivation x^ u^n

Rappel: si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors {u×v est dérivable sur I et(u×v)=uv+uv
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier n1, fn est dérivable sur I et que (fn)=nffn1.
  2. Appliquer ce résultat à la fonction f définie sur R par f(x)=xnn est un entier naturel non nul.

Exercice 11: Démontrer par récurrence - nombre de segments avec n points sur un cercle

On place n points distincts sur un cercle, et n2. Démontrer que le nombre de segments que l'on peut tracer avec ces n points est n(n1)2.

Exercice 12: Raisonnement par récurrence - somme des angles dans un polygone

Démontrer par récurrence que la somme des angles dans un polygone non croisé à n côtés vaut (n2)π radian.

Exercice 13: Raisonnement par récurrence - Erreur très Classique - Surtout à ne pas faire !

Trouver l'erreur dans le raisonnement suivant:
Soit Pn la propriété Mn=PDnP1.
  • P1MP=DPP1MP=PDMP=PDMPP1=PDP1M=PDP1. Donc la propriété Pn est vraie au rang 1.
  • On suppose que pour tout entier p1 la propriété est vraie, c'est-à-dire que Mp=PDpP1.
    D'après l'hypothèse de récurrence Mp=PDpP1 et on sait que M=PDP1 donc:
    Mp+1=M×Mp=PDP1×PDpP1=PDP1PDpP1=PDDpP1=PDp+1P1.
    Donc la propriété est vraie au rang p+1.
  • La propriété est vraie au rang 1 ; elle est héréditaire pour tout n1 donc d'après le principe de récurrence la propriété est vraie pour tout n1.


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