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Terminale

Raisonnement par récurrence - Niveau expert - terminale spécialité mathématiques

Conseils
Raisonnement par récurrence
Cours

Nouvelle méthode pour étudier les variations d'une suite

, expliquée en vidéo
4 méthodes pour étudier les variations d'une suite

Exercice 1: Démontrer par récurrence & arithmétique - divisible - multiple - Idéal maths expert - terminale spécialité mathématiques

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $5^n-2^n$ est divisible par $3$ à l'aide:
  1. D'un raisonnement par récurrence
  2. Des congruences (pour les maths experts)

Exercice 2: Raisonnement par récurrence - Les erreurs à éviter - Un classique ! - terminale spécialité mathématiques

Pour tout entier naturel $n$, on considère les deux propriétés suivantes:
  • $P_n: 10^n-1$ est divisible par 9
  • $Q_n: 10^n+1$ est divisible par 9
  1. Démontrer que si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
  2. Démontrer que si $Q_n$ est vraie alors $Q_{n+1}$ est vraie.
  3. Un élève affirme: " Donc $P_n$ et $Q_n$ sont vraies pour tout entier naturel $n$". Expliquer pourquoi il commet une erreur grave.
  4. Démontrer que $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
  5. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $Q_n$ est fausse. On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.

Exercice 3: Démontrer par récurrence une inégalité - terminale spécialité mathématiques

Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 2$, $5^n\geqslant 4^n+3^n$.

Exercice 4: Démontrer par récurrence une inégalité

Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 4$, $2^n\geqslant n^2$.

Exercice 5: Sens de variation d'une suite par 2 méthodes - Exercice très classique

On considère la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1}=\dfrac {u_n}{u_n+2}$.
  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\gt 0$.
  2. En déduire le sens de variation de $(u_n)$.
  3. On considère la fonction $f$ définie sur $]-2;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x}{x+2}$.
    1. Étudier les variations de $f$.
    2. Refaire la question 2. par une autre méthode.

Exercice 6: raisonnement par récurrence et sens de variation - Suite arithmético-géométrique - terminale spécialité mathématiques

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=10$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac 12 u_n+1$.
  1. Calculer les 4 premiers termes de la suite.
  2. Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de $(u_n)$.
  3. Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac 12 x+1$.
  4. Démontrer la conjecture par récurrence

Exercice 7: Démontrer par récurrence une inégalité avec un+1=f(un) - terminale spécialité mathématiques

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{4u_n+4}$. On considère la fonction $f$ définie sur $]-1;+\infty[$ par $ f(x)=\dfrac{x+3}{4x+4}$.
  1. Étudier les variations de $f$.
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n \leqslant 1$.

Exercice 8: Démontrer par récurrence une inégalité avec un+1=f(un)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0\in ]0;1[$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n(2-u_n)$.
Soit la fonction $f$ définie sur [0;1] par $f(x)=x(2-x)$.
  1. On a tracé la courbe de \(f\) ci-dessous:
    Représenter les premiers termes de la suite. Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de $(u_n)$?
  2. Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur [0;1] par $f(x)=x(2-x)$.
  3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n\leqslant 1$.
  4. Démontrer la conjecture du 1.

Exercice 9: suite de Héron - Démontrer par récurrence une inégalité - terminale spécialité mathématiques

On considère la fonction définie sur $]0;+\infty[$, par $f(x)=\dfrac x 2 +\dfrac 1 x$.
  1. Étudier les variations de $f$.
  2. On considère la suite définie par $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
    1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $\sqrt 2\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 5$
    2. Que peut-on conclure?

Exercice 10: Raisonnement par récurrence & dérivation x^ u^n

Rappel: si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors $\left\{\begin{array}{l} u\times v \text{ est dérivable sur I}\\ \quad\quad \text{ et}\\ (u\times v)'=u'v+uv'\\ \end{array}\right.$
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I.
  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$, $f^n$ est dérivable sur I et que $(f^n)'=n f' f^{n-1}$.
  2. Appliquer ce résultat à la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^n$ où $n$ est un entier naturel non nul.

Exercice 11: Démontrer par récurrence - nombre de segments avec n points sur un cercle

On place $n$ points distincts sur un cercle, et $n\geqslant 2$. Démontrer que le nombre de segments que l'on peut tracer avec ces $n$ points est $\dfrac{n(n-1)}2$.

Exercice 12: Raisonnement par récurrence - somme des angles dans un polygone

Démontrer par récurrence que la somme des angles dans un polygone non croisé à $n$ côtés vaut $(n-2)\pi$ radian.

Exercice 13: Raisonnement par récurrence - Erreur très Classique - Surtout à ne pas faire !

Trouver l'erreur dans le raisonnement suivant:
Soit $\mathcal P_n$ la propriété $M^n = PD^nP^{-1}$.
  • $P^{-1}MP = D \Leftrightarrow PP^{-1}MP=PD \Leftrightarrow MP=PD \Leftrightarrow MPP^{-1} = PDP^{-1}
    \Leftrightarrow M = PDP^{-1}$. Donc la propriété $\mathcal P_n$ est vraie au rang 1.
  • On suppose que pour tout entier $p \geqslant 1$ la propriété est vraie, c'est-à-dire que $M^p = PD^p P^{-1}$.
    D'après l'hypothèse de récurrence $M^p = PD^p P^{-1}$ et on sait que $M=PDP^{-1}$ donc:
    $M^{p+1}= M \times M^p = PDP^{-1}\times PD^{p}P^{-1}= PDP^{-1}PD^p P^{-1} = PDD^pP^{-1}= PD^{p+1}P^{-1}$.
    Donc la propriété est vraie au rang $p+1$.
  • La propriété est vraie au rang 1 ; elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 1$ donc d'après le principe de récurrence la propriété est vraie pour tout $n \geqslant 1$.


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