Raisonnement par récurrence - Niveau expert - corrigés en vidéo Terminale spé Maths

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Raisonnement par récurrence

Cours

Nouvelle méthode pour étudier les variations d'une suite

, expliquée en vidéo

4 méthodes pour étudier les variations d'une suite

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$u_{n+1}-u_n$

Calculer $u_{n+1}-u_n$
Etudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
Penser à factoriser $u_{n+1}-u_n$ puis à faire un tableau de signe.
Conclure
- Si à partir d'un certain rang, $\boldsymbol{u_{n+1}-u_n\geqslant 0}$, alors $(u_n)$ est croissante à partir de ce rang.
- Si à partir d'un certain rang, $\boldsymbol{u_{n+1}-u_n\leqslant 0}$, alors $(u_n)$ est décroissante à partir de ce rang.

•

$u_n=f(n)$

Etudier les variations de la fonction $f$
Pour cela, Penser à utiliser la dérivation.
Conclure
- Si $f$ est croissante sur $[p;+\infty[$ alors $(u_n)$ est croissante pour $n\gt p$.
- Si $f$ est décroissante sur $[p;+\infty[$ alors $(u_n)$ est décroissante pour $n\gt p$.

Cette méthode est valable lorsque la suite est définie de manière explicite $u_n=f(n)$

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Avec des fractions ou des puissance

S'il y a des fractions ou des puissances et que la suite est strictement positive, penser à calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et regarder si c'est plus grand ou plus petit que $\boldsymbol{1}$. Pour cela:

Calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}-1$
Penser à mettre au même dénominateur et factoriser si besoin.
Conclure
Si à partir d'un certain rang:
- $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}-1\gt 0$ alors $(u_n)$ est croissante à partir de ce rang.
- $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}-1\lt 0$ alors $(u_n)$ est décroissante à partir de ce rang.

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Avec un raisonnement par récurrence

Calculer les premiers termes pour avoir une idée des variations.
Si on veut montrer que la suite est:
- croissante, poser ${\rm P}(n): u_n\leqslant u_{n+1}$
- décroissante, poser ${\rm P}(n): u_n\geqslant u_{n+1}$
Démontrer la propriété ${\rm P}(n)$ par récurrence
Cas particulier très important: $u_{n+1}=f(u_n)$
Etudier les variations de $f$

Si $f$ est croissante, alors $f$ conserve l'ordre et on peut faire le raisonnement par récurrence suivant:

si $u_n\leqslant u_{n+1}$ alors $f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})$ car $f$ conserve l'ordre et donc $u_{n+1}\leqslant u_{n+2}$.

si $u_n\geqslant u_{n+1}$ alors $f(u_n)\geqslant f(u_{n+1})$ car $f$ conserve l'ordre et donc $u_{n+1}\geqslant u_{n+2}$.

$f$ peut être croissante et $(u_n)$ décroissante.
Regarder ces exemples: $u_{n+1}=\frac 12 u_n+1$ et $u_{n+1}=\frac {u_n}2+\frac 1 {u_n}$

A savoir

Si la suite est arithmétique

Si la suite est géométrique

Exercice 1: Démontrer par récurrence & arithmétique - divisible - multiple - Idéal maths expert - terminale spécialité mathématiques

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $5^n-2^n$ est divisible par $3$ à l'aide:

D'un raisonnement par récurrence
Des congruences (pour les maths experts)

Exercice 2: Raisonnement par récurrence - Les erreurs à éviter - Un classique ! - terminale spécialité mathématiques

Pour tout entier naturel $n$, on considère les deux propriétés suivantes:

$P_n: 10^n-1$ est divisible par 9
$Q_n: 10^n+1$ est divisible par 9

Démontrer que si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
Démontrer que si $Q_n$ est vraie alors $Q_{n+1}$ est vraie.
Un élève affirme: " Donc $P_n$ et $Q_n$ sont vraies pour tout entier naturel $n$". Expliquer pourquoi il commet une erreur grave.
Démontrer que $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $Q_n$ est fausse. On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.

Exercice 3: Démontrer par récurrence une inégalité - terminale spécialité mathématiques

Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 2$, $5^n\geqslant 4^n+3^n$.

Exercice 4: Démontrer par récurrence une inégalité

Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 4$, $2^n\geqslant n^2$.

Exercice 5: Sens de variation d'une suite par 2 méthodes - Exercice très classique

On considère la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1}=\dfrac {u_n}{u_n+2}$.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\gt 0$.
En déduire le sens de variation de $(u_n)$.
On considère la fonction $f$ définie sur $]-2;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x}{x+2}$.
1. Étudier les variations de $f$.
2. Refaire la question 2. par une autre méthode.

Exercice 6: raisonnement par récurrence et sens de variation - Suite arithmético-géométrique - terminale spécialité mathématiques

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=10$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac 12 u_n+1$.

Calculer les 4 premiers termes de la suite.
Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de $(u_n)$.
Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac 12 x+1$.
Démontrer la conjecture par récurrence
Indication: dans l'hérédité, utiliser les variations de $f$:
Soit $a$, $b$ appartenant à un intervalle I:
Si $f$ est croissante sur I et $a\leqslant b$ alors $f(a) \leqslant f(b)$.
Autrement dit, on utilise le fait que $f$ conserve l'ordre sur I.

Exercice 7: Démontrer par récurrence une inégalité avec un+1=f(un) - terminale spécialité mathématiques

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{4u_n+4}$. On considère la fonction $f$ définie sur $]-1;+\infty[$ par $ f(x)=\dfrac{x+3}{4x+4}$.

Étudier les variations de $f$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n \leqslant 1$.

Exercice 8: Démontrer par récurrence une inégalité avec un+1=f(un)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0\in ]0;1[$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n(2-u_n)$.
Soit la fonction $f$ définie sur [0;1] par $f(x)=x(2-x)$.

On a tracé la courbe de $f$ ci-dessous:

Représenter les premiers termes de la suite. Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de $(u_n)$?
Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur [0;1] par $f(x)=x(2-x)$.
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n\leqslant 1$.
Démontrer la conjecture du 1.

Exercice 9: suite de Héron - Démontrer par récurrence une inégalité - terminale spécialité mathématiques

On considère la fonction définie sur $]0;+\infty[$, par $f(x)=\dfrac x 2 +\dfrac 1 x$.

Étudier les variations de $f$.
On considère la suite définie par $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $\sqrt 2\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 5$
  Indication:
  Soit $a$, $b$, $c$, $d$ appartenant à un intervalle I.
  Si $f$ est croissante sur I et $a \leqslant b \leqslant c \leqslant d$ alors $f(a) \leqslant f(b) \leqslant f(c) \leqslant f(d)$.
  Autrement dit, $f$ conserve l'ordre sur I.
2. Que peut-on conclure?

Exercice 10: Raisonnement par récurrence & dérivation x^ u^n

Rappel: si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors $\left\{\begin{array}{l} u\times v \text{ est dérivable sur I}\\ \quad\quad \text{ et}\\ (u\times v)'=u'v+uv'\\ \end{array}\right.$

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I.

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$, $f^n$ est dérivable sur I et que $(f^n)'=n f' f^{n-1}$.
Appliquer ce résultat à la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^n$ où $n$ est un entier naturel non nul.

Exercice 11: Démontrer par récurrence - nombre de segments avec n points sur un cercle

On place $n$ points distincts sur un cercle, et $n\geqslant 2$. Démontrer que le nombre de segments que l'on peut tracer avec ces $n$ points est $\dfrac{n(n-1)}2$.

Exercice 12: Raisonnement par récurrence - somme des angles dans un polygone

Démontrer par récurrence que la somme des angles dans un polygone non croisé à $n$ côtés vaut $(n-2)\pi$ radian.

Exercice 13: Raisonnement par récurrence - Erreur très Classique - Surtout à ne pas faire !

Trouver l'erreur dans le raisonnement suivant:

Soit $\mathcal P_n$ la propriété $M^n = PD^nP^{-1}$.

$P^{-1}MP = D \Leftrightarrow PP^{-1}MP=PD \Leftrightarrow MP=PD \Leftrightarrow MPP^{-1} = PDP^{-1}
\Leftrightarrow M = PDP^{-1}$. Donc la propriété $\mathcal P_n$ est vraie au rang 1.
On suppose que pour tout entier $p \geqslant 1$ la propriété est vraie, c'est-à-dire que $M^p = PD^p P^{-1}$.
D'après l'hypothèse de récurrence $M^p = PD^p P^{-1}$ et on sait que $M=PDP^{-1}$ donc:
$M^{p+1}= M \times M^p = PDP^{-1}\times PD^{p}P^{-1}= PDP^{-1}PD^p P^{-1} = PDD^pP^{-1}= PD^{p+1}P^{-1}$.
Donc la propriété est vraie au rang $p+1$.
La propriété est vraie au rang 1 ; elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 1$ donc d'après le principe de récurrence la propriété est vraie pour tout $n \geqslant 1$.

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