Raisonnement par récurrence - Niveau avancé | Exercices corrigés

Conseils

Dans les pages niveau initiation et niveau intermédiaire, nous avons déjà vu les bases du raisonnement par récurrence ainsi que des exercices classiques.

👉 Dans cette page, nous passons au niveau avancé 🚀

Le but est maintenant de s'entraîner avec des exercices de raisonnement par récurrence plus difficiles et demandant davantage de réflexion.

📚 Pour progresser étape par étape, j'ai créé 4 pages de niveaux différents :

🎯 Objectif : devenir autonome sur les raisonnements par récurrence et réussir des exercices plus techniques.

📺 Tu trouveras ici le cours en vidéo et des exercices corrigés pour t'entraîner 💪

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📺 Exercice type - Pour savoir faire un raisonnement par récurrence en 6 min !👇

✏️ Exercices : s'entraîner à faire un raisonnement par récurrence - Niveau avancé

Exercice 1: Conjecturer, démontrer par récurrence - expression de Un en fonction de n - formule explicite - terminale spécialité mathématiques

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{2+{u_n}^2}$.

Calculer les quatre premiers termes de la suite.
Conjecturer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Démontrer cette conjecture.

Exercice 2: Somme des carrés 1²+2²+3²+...+n² et raisonnement par récurrence - terminale spécialité mathématiques

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$, on a : $1^2+2^2+3^2+...+n^2$$=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Exercice 3: Somme des cubes et raisonnement récurrence - terminale spécialité mathématiques

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$, on a : $1^3+2^3+3^3+...+n^3$$=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$

Exercice 4 Partie B - Bac 2022 métropole - Suite limite - raisonnement par récurrence - terminale spécialité mathématiques

On injecte à un patient 2 mg de médicament. Puis toutes les heures, on réinjecte une dose de 1,8 mg. Une heure après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de $30 \%$ par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection. La suite $(u_n)$ désigne la quantité de médicament en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la n-ième heure. On a donc $u_0 = 2$.

Calculer $u_1$.
Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n\leqslant u_{n+1} \lt 6$
2. En déduire que $(u_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
3. Déterminer la valeur de $\ell$. Interpréter.
Soit la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 6-u_n$.
1. Montrer que $(v_n)$ est géométrique. Préciser la raison $q$ et $v_0$.
2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
3. On arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à $5,5$ mg. Déterminer le nombre d'injections réalisées.

Exercice 5: Démontrer par récurrence l'inégalité Bernoulli - terminale spécialité mathématiques

$x$ est un réel positif. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $(1+x)^n\geqslant 1+nx$

Exercice 6: Situation concrète + raisonnement par récurrence

Un roi distribue des pièces d'or à ses ministres. Au premier ministre, il donne cinq pièces, au second ministre, il donne le double du premier moins deux pièces, au troisième ministre, il donne le double du second moins trois pièces et ainsi de suite ...
Pour tout entier $n\geqslant 1$, on note $a_n$ le nombre de pièces d'or distribuées au n-ième ministre.

Pour tout entier $n\geqslant 1$, exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$, $a_n=2^n+n+2$.
Combien de pièces d'or recevra le $10^{\text{e}}$ ministre?

Exercice 7: Démontrer par récurrence & arithmétique - divisible - multiple

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $7^n-1$ est divisible par $6$.

Exercice 8: Raisonnement par récurrence & inégalité

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+2n+5$. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\gt n^2$.

Exercice 9: représenter une suite + raisonnement par récurrence suite bornée

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3-0,5u_n$.

Construire dans un repère orthonormé les droites d'équation $y=x$ et $y=3-0,5x$.
Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses et construire $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sur cet axe.
Sans calcul, indiquer si la suite $(u_n)$ semble bornée ou pas.
Démontrer par récurrence cette conjecture.

Exercice 10: Raisonnement par récurrence & arithmétique multiple diviseur

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $3^{2n}-1$ est un multiple de $8$.

Exercice 11: Raisonnement par récurrence & arithmétique multiple diviseur

Soit $P(n)$ la propriété définie sur $\mathbb{N}$ par: $4^n+1$ est divisible par 3.

Démontrer que si $P(n)$ est vraie alors $P(n+1)$ est vraie.
Que peut-on conclure?

Raisonnement par récurrence - Niveau avancé | Terminale spé maths

✏️ Exercices : s'entraîner à faire un raisonnement par récurrence - Niveau avancé

Exercice 1: Conjecturer, démontrer par récurrence - expression de Un en fonction de n - formule explicite - terminale spécialité mathématiques

Exercice 2: Somme des carrés 1²+2²+3²+...+n² et raisonnement par récurrence - terminale spécialité mathématiques

Exercice 3: Somme des cubes et raisonnement récurrence - terminale spécialité mathématiques

Exercice 5: Démontrer par récurrence l'inégalité Bernoulli - terminale spécialité mathématiques

Exercice 6: Situation concrète + raisonnement par récurrence

Exercice 7: Démontrer par récurrence & arithmétique - divisible - multiple

Exercice 8: Raisonnement par récurrence & inégalité

Exercice 9: représenter une suite + raisonnement par récurrence suite bornée

Exercice 10: Raisonnement par récurrence & arithmétique multiple diviseur

Exercice 11: Raisonnement par récurrence & arithmétique multiple diviseur

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