Raisonnement par récurrence - Niveau avancé

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{2+{u_n}^2}$.

1. Calculer les quatre premiers termes de la suite.
2. Conjecturer l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
3. Démontrer cette conjecture.

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$, on a : $1^2+2^2+3^2+...+n^2$$=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$, on a : $1^3+2^3+3^3+...+n^3$$=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$

On injecte à un patient 2 mg de médicament. Puis toutes les heures, on réinjecte une dose de 1,8 mg. Une heure après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de $30 \%$ par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection. La suite $(u_n)$ désigne la quantité de médicament en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la n-ième heure. On a donc $u_0 = 2$.

1. Calculer $u_1$.
2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
3. 1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n\leqslant u_{n+1} \lt 6$
   2. En déduire que $(u_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
   3. Déterminer la valeur de $\ell$. Interpréter.
4. Soit la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 6-u_n$.
   1. Montrer que $(v_n)$ est géométrique. Préciser la raison $q$ et $v_0$.
   2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
   3. On arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à $5,5$ mg. Déterminer le nombre d'injections réalisées.

$x$ est un réel positif. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $(1+x)^n\geqslant 1+nx$

Un roi distribue des pièces d'or à ses ministres. Au premier ministre, il donne cinq pièces, au second ministre, il donne le double du premier moins deux pièces, au troisième ministre, il donne le double du second moins trois pièces et ainsi de suite ...
Pour tout entier $n\geqslant 1$, on note $a_n$ le nombre de pièces d'or distribuées au n-ième ministre.

1. Pour tout entier $n\geqslant 1$, exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$.
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$, $a_n=2^n+n+2$.
3. Combien de pièces d'or recevra le $10^{\text{e}}$ ministre?

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $7^n-1$ est divisible par $6$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+2n+5$. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\gt n^2$.

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3-0,5u_n$.

1. Construire dans un repère orthonormé les droites d'équation $y=x$ et $y=3-0,5x$.
2. Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses et construire $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sur cet axe.
3. Sans calcul, indiquer si la suite $(u_n)$ semble bornée ou pas.
4. Démontrer par récurrence cette conjecture.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $3^{2n}-1$ est un multiple de $8$.

Soit $P(n)$ la propriété définie sur $\mathbb{N}$ par: $4^n+1$ est divisible par 3.

1. Démontrer que si $P(n)$ est vraie alors $P(n+1)$ est vraie.
2. Que peut-on conclure?