Raisonnement par récurrence : initialisation, hérédité, conclusion

Dans cette page, tu vas apprendre à faire un raisonnement par récurrence.

👉 C'est une méthode très importante en mathématiques que tu utiliseras très souvent en Terminale spécialité maths.
👉 Si tu es déstabilisé au début par le raisonnement par récurrence, c'est tout à fait normal 🙂

Après avoir fait un certain nombre d'exercices, cette méthode va te sembler beaucoup plus simple.

📚 C'est pour cela que j'ai créé plusieurs pages progressives :

📘 Cours : savoir faire un raisonnement par récurrence

📌 Pourquoi faire un raisonnement par récurrence ?

👉 Si par exemple, tu veux démontrer que pour tout entier $n\geqslant 1$ $$1+2+...+n=\dfrac {n(n+1)}2$$

Tu peux vérifier que cette propriété est vraie pour $n=1$, pour $n=2$, ...
Mais tu ne pourras pas tester toutes les valeurs de $n$. Car il y en a une infinité.
On utilise alors une nouvelle façon de raisonner : le raisonnement par récurrence.

📌 Quand utiliser un raisonnement par récurrence ?

On utilise le raisonnement par récurrence lorsque la propriété que l'on veut démontrer dépend d'un entier $n$.

On note alors $\mathscr{P}_n$ la propriété que l'on veut démontrer

✅ Exemple de propriété que l'on peut démontrer par récurrence :
Pour tout entier naturel $n$ :
$1+2+3+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
Cette propriété dépend de $n$.
❌ Exemple de propriété que l'on ne peut pas démontrer par récurrence :
Pour tout réel $x$ :
$(x+1)^2=x^2+2x+1$
Cette propriété dépend d'un réel $x$ et non d'un entier.

📌 Comment faire un raisonnement par récurrence

Pour montrer une propriété $\mathscr{P}_n$, on procède en trois étapes : initialisation, hérédité, conclusion.

initialisation

👉 On vérifie que la propriété est vraie au premier rang demandé.

Par exemple, si on veut démontrer une propriété pour tout entier $n \geqslant 3$ :
à l'initialisation, on vérifie qu'elle est vraie pour $n=3$.
Très souvent (mais pas toujours), à l'initialisation, on vérifie la propriété pour $n=0$ ou $n=1$.
Notons $\boldsymbol{n_0}$ ce premier rang où on a vérifié que la propriété est vraie.

Hérédité

👉 Il s'agit de montrer que la propriété se transmet de proche en proche, d'où le nom hérédité.
👉 Il s'agit donc de montrer que si la propriété est vraie au rang $n$, alors elle sera vraie au rang $n+1$
👉 Autrement dit on va montrer : $${\rm P}_n \Rightarrow {\rm P}_{n+1}$$

📌 Dans la pratique, on écrit :

Soit un entier $n\geqslant n_0$. Supposons ${\rm P}_n$ vraie et montrons que cela entraîne que ${\rm P}_{n+1}$ est vraie.

C'est très important d'écrire "Soit UN entier $n\geqslant n_0$". C'est une grave erreur, ici d'écrire :"Pour tout entier $n\geqslant n_0$"
"Supposons ${\rm P}_n$ vraie" est ce qu'on appelle l'hypothèse de récurrence.
Maintenant toute la difficulté est de passer de ${\rm P}_n$ à ${\rm P}_{n+1}$.
Pour cela, je te conseille d'écrire $\boldsymbol{\rm P}_{n+1}$ sur ton brouillon, cela te permettra de voir où tu veux arriver.

Conclusion

👉 Il s'agit juste de faire une phrase de conclusion (donc pas de difficulté). On écrit :

Comme $\mathscr{P}_{n_0}$ est vraie et que $\mathscr{P}_n$ est héréditaire, donc par récurrence, $\mathscr{P}_n$ est vraie pour tout entier $n\geqslant n_0$.

📌 Analogie entre le raisonnement par récurrence et les dominos !

💡 Le raisonnement par récurrence peut être comparé à une rangée de dominos.

On commence par vérifier que le premier domino tombe : c'est l'initialisation.
Ensuite, on montre que si un domino tombe, alors le suivant tombe aussi : c'est l'hérédité (${\rm P}_n \Rightarrow {\rm P}_{n+1}$).
On peut alors conclure que tous les dominos tombent les uns après les autres : la propriété est donc vraie pour tous les entiers à partir du rang de départ.

⚠️ Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation ! Si on oublie l'initialisation, on n'a rien démontré !
On verra qu'il y a des propriétés qui sont héréditaires et pourtant qui sont fausses, car on ne peut pas les initialiser.
Écrire dans l'hérédité : "Supposons que la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$" est une grave erreur.
Si on suppose que c'est vrai tout le temps, il n'y a plus rien à démontrer !

🎯 Objectif : savoir rédiger une démonstration par récurrence claire, complète et sans oublier d'étape.

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Ancienne version du cours

✏️ Exercices : s'entraîner à faire un raisonnement par récurrence - Niveau initiation

Exercice 1: raisonnement par récurrence & suite - terminale spécialité maths

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n+5$. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.

Exercice 2: raisonnement par récurrence & suite - terminale spécialité mathématiques

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{u_n}$. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 1$.

Exercice 3: raisonnement par récurrence & suite - terminale spécialité mathématiques

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n+1$. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n=2^n-1$.

Exercice 4: raisonnement par récurrence & suite - terminale spécialité mathématiques

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n-1$.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}$.
Que peut-on déduire de la question a. ?

Exercice 5: raisonnement par récurrence & suite - terminale spécialité mathématiques

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2-u_n}$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.

Exercice 6: raisonnement par récurrence & suite - terminale spécialité mathématiques

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+2n+2$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n=n(n+1)$.

Exercice 7: Démonstration par récurrence & Un+1=f(Un) - terminale spécialité mathématiques

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}$.

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n\leqslant u_{n+1} \leqslant 2$.
En déduire le sens de variation de $(u_n)$.

Exercice 8: raisonnement par récurrence & suite - pour débuter

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.

Exercice 9: Écrire la propriété P(n) au rang n+1

Soit ${\rm P}(n)$ la propriété définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par: $1\times 2+2\times 3+....+n\times (n+1)$$=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

Écrire la propriété au rang 1, au rang 2.
Vérifier que la propriété est vraie au rang 1 et au rang 2.
Écrire la propriété au rang $n+1$.
Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 1$, la propriété ${\rm P}(n)$ est vraie.

Raisonnement par récurrence - Initialisation, hérédité et conclusion