Commencer par regarder pour
comprendre le raisonnement par récurrence
Puis faire les exercices
Pas de panique:
le raisonnement par récurrence est
un nouveau mode de
raisonnement.
Il nécessite donc du temps pour être maitrisé.
ça tombe bien, on le retrouve dans tous les
chapitres, ce qui permet de bien le maîtriser.
Ne pas oublier de faire l'initialisation !
Surtout ne pas écrire dans l'hérédité:
"Supposons que pour tout
entier naturel $n$, P(n) est vraie".
Conseils pour travailler efficacement
Conseils pour le jour du Bac
Raisonnement par récurrence
Exercice type
pour savoir faire un raisonnement par récurrence (en 6 min !)
Cours
Comprendre le raisonnement par récurrence ♦ Cours + Exemple détaillé
Comment faire un raisonnement par récurrence
Pour démontrer par récurrence une propriété
${\rm P}(n)$
$\boldsymbol{n}$ désigne un entier naturel.
on procède en 3 étapes:
Initialisation
On vérifie que ${\rm P}(n)$ est vraie pour
une certaine
valeur de $\boldsymbol{n}$. Notons-la
$n_0$.
On choisit pour $n_0$, la plus petite
valeur de $n$ possible
La plupart du temps, on vérifie que P(0), P(1) ou
P(2) est
vraie.
Si vous oubliez l'initialisation,
vous n'avez rien
démontré, comme expliqué dans cet exemple
Hérédité
On suppose que ${\rm P}(n)$
est vraie pour UN entier
$n\geqslant n_0$
C'est l'hypothèse de récurrence !
On rédige toujours de la façon suivante:
Soit
un entier $n\geqslant
n_0$. Supposons ${\rm P}(n)$ vraie et
montrons que cela entraine que ${\rm P}(n+1)$
est vraie
Surtout ne pas écrire:
"Supposons que pour tout
entier naturel $n$, ${\rm P}(n)$ est
vraie"
Car si on suppose la propriété
vraie
pour tout $n$, il n'y a donc
rien
à démontrer!
Le raisonnement par récurrence
consiste à supposer qu'une
propriété
est
vraie pour une valeur de
$n$
et de montrer que cela entraine
que la
propriété est encore vraie au
rang
$n+1$.
Conclusion
On rédige la conclusion toujours de la même
façon:
Comme ${\rm P}(n_0)$ est vraie et ${\rm P}(n)$ est
héréditaire pour tout entier
$n\geqslant n_0$, donc par récurrence ${\rm P}(n)$
est vraie pour tout entier $n\geqslant n_0$.
héréditaire signifie que la propriété
se transmet de proche en
proche !
Quand utiliser un raisonnement par récurrence
Quand la
propriété que l'on veut démontrer dépend d'un
entier.
Cours ancienne version
Raisonnement par récurrence
, expliqué en vidéo
Exercice
1: raisonnement par récurrence & suite - terminale spécialité maths
La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0=3\) et pour tout entier naturel \(n\),
\(u_{n+1}=2u_n+5\).
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n > 0\).
Exercice
2: raisonnement par récurrence & suite - terminale spécialité mathématiques
La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0=1\) et pour tout entier naturel \(n\),
\(u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{u_n}\).
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \geqslant 1\).
Exercice
3: raisonnement par récurrence & suite - terminale spécialité mathématiques
La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0=0\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=2u_n+1\).
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=2^n-1\).
Exercice
4: raisonnement par récurrence & suite - terminale spécialité mathématiques
La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0=1\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=3u_n-1\).
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\leqslant u_{n+1}\).
Que peut-on déduire de la question a. ?
Exercice
5: raisonnement par récurrence & suite - terminale spécialité mathématiques
La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0=0\) et pour tout entier naturel \(n\),
\(u_{n+1}=\dfrac{1}{2-u_n}\).
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=\dfrac{n}{n+1}\).
Exercice
6: raisonnement par récurrence & suite - terminale spécialité mathématiques
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+2n+2$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n=n(n+1)$.
Indication:
Dans l'hérédité, écris P(n) et P(n+1) au brouillon l'une sous l'autre, ça donne des
idées pour démarrer.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}$.
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n\leqslant u_{n+1} \leqslant
2$.
En déduire le sens de variation de $(u_n)$.
Exercice
8: raisonnement par récurrence & suite - pour débuter
La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
Exercice
9: Écrire la propriété P(n) au rang n+1
Soit ${\rm P}(n)$ la propriété définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par:
$1\times 2+2\times 3+....+n\times
(n+1)$$=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
Écrire la propriété au rang 1, au rang 2.
Vérifier que la propriété est vraie au rang 1 et au rang 2.
Écrire la propriété au rang $n+1$.
Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 1$, la propriété ${\rm P}(n)$ est vraie.