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Terminale S

Correction exercice démonstration par récurrence

Correction : Calculer la somme des cubes
On commence par écrire la propriété que l'on veut démontrer:
Soit P(n):1+...+n3=n2(n+1)24
Initialisation:
Vérifions que P(1) est vraie
Pour celà, on remplace n par 1 dans P(n)


12(1+1)24=44=1. Donc P(1) est vraie.
Hérédité:
Soit un entier n1. Supposons P(n) vraie et montrons que ça entraine que P(n+1) est vraie.
Au brouillon, on écrit P(n+1), car c'est ce que l'on doit montrer:
P(n+1):1+...+n3+(n+1)3=(n+1)2(n+2)24
Pour trouver P(n+1), on remplace n par n+1 dans P(n).



D'après l'hypothèse de récurrence, 1+...+n3=n2(n+1)24
Car on a supposé P(n) vraie.


On déduit 1+...+n3+(n+1)3=n2(n+1)24+(n+1)3
On rajoute (n+1)3 des 2 côtés pour faire apparaitre P(n+1).


On déduit 1+...+n3+(n+1)3=(n+1)2(n24+n+1).
On met en facteur (n+1)2.


On déduit 1+...+n3+(n+1)3=(n+1)2(n2+4n+44)
On déduit 1+...+n3+(n+1)3=(n+1)2(n+2)24
Car n2+4n+4=(n+2)2.


Donc P(n+1) est vraie.
Conclusion:
La propriété P(n) est vraie au rang 1 et est héréditaire à partir du rang 1,
Donc par récurrence, P(n) est vraie pour tout entier n1.




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