Suite arithmético-géométrique

Conseils

Suite arithmético-géométrique

Cours

Comprendre la définition d'une suite arithmético-géométrique et savoir la représenter

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Définition

Définition Une suite arithmético-géométrique $(u_n)$ est une suite définie pour tout entier naturel $n$ par une formule de récurrence de la forme $u_{n+1}=au_n+b$

Si $a=1$, la suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $b$

Si $b=0$, la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $a$

La suite peut être ni arithmétique ni géométrique mais un "mélange" des deux, d'où le nom de suite arithmético-géométrique.

Exemple Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left\{ \begin{array}{ll} u_0 & =1 \\ u_{n+1} & =3u_n+2 \end{array} \right.$. Calculer $u_1$, $u_2$. Justifier que $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique

• Comment représenter une suite arithmético-géométrique

Méthode Comment représenter la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $\left\{ \begin{array}{ll} u_0 & \\ u_{n+1} & =au_n+b \end{array} \right.$

Étape 1: Tracer la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ puis la droite $d$ d'équation $y=ax+b$

Étape 2: Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses. Puis à l'aide de la droite $d$, lire $u_1$ sur l'axe des ordonnées.

Étape 3: À l'aide de la droite $\Delta$, reporter $u_1$ sur l'axe des abscisses.

Étape 4: Recommencer le processus.

Avec l'expérience, on procède ainsi ce qui va plus vite

Cette méthode est un cas particulier de la méthode qui permet de représenter une suite du type $u_{n+1}=f(u_n)$

Exemple Représenter la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $\left\{ \begin{array}{ll} u_0 & =-1\\ u_{n+1} & =0,5u_n+1 \end{array} \right.$

Calculatrice

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Influence de $u_0$

Cours

Savoir étudier une suite arithmético-géométrique et trouver la limite

Méthode	Exemple
Pour étudier une suite du type $u_{n+1}=au_n+b$, on procède en 3 étapes On se place dans le cas où $\boldsymbol{a\ne 1}$ Si $a=1$, on a $u_{n+1}=u_n+b$ et donc la suite est arithmétique et donc on sait déjà étudier ce type de suite.	Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=-1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,5u_n+1$
Étape 1 On cherche $\boldsymbol{\alpha}$ tel que $\alpha=a\times \alpha+b$ On est sûr que c'est possible de trouver $\alpha$ tel que $\alpha=a\times \alpha+b$ car $a\ne 1$ En effet, résolvons l'équation $\alpha=a\times \alpha+b$ L'inconnue est $\alpha$. On isole $\alpha$ pour résoudre l'équation. $\alpha=a\times \alpha+b$ $\Leftrightarrow \alpha(1-a)=b$ $\Leftrightarrow \alpha=\dfrac{b}{1-a}$ Ce qui a un sens car le dénominateur n'est pas nul car $a\ne 1$. $\alpha$ s'appelle point fixe de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$ La suite $u_{n+1}=au_n+b$ est une suite du type $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $\boldsymbol{f(x)=ax+b}$. Quand un nombre est solution de l'équation $f(x)=x$, on dit que ce nombre est un point fixe de $f$. L'expression point fixe signifie que l'on cherche un nombre $a$ qui lorsqu'on le remplace dans $f(x)$, on obtient le même résultat, c'est à dire $f(a)=a$ et donc le résultat ne change pas. D'où l'expression point fixe. C'est le cas de $\alpha$ qui est solution de l'équation $\alpha=\underbrace{a\times \alpha+b}_{\displaystyle f(\alpha)}$ $\Leftrightarrow \alpha=f(\alpha)$.	On cherche $\boldsymbol{\alpha}$ tel que $\alpha=0,5\alpha+1$: $\alpha=0,5\alpha+1$$\Leftrightarrow \alpha(1-0,5)=1$$\Leftrightarrow \alpha=\dfrac{1}{1-0,5}=2$
Étape 2 On soustrait membre à membre pour se "débarrasser" de $b$ et se ramener à une suite géométrique. $\begin{array}{rl} u_{n+1} & =au_n+b \\ - ~~~~~~~~ \alpha & =a\times \alpha+b\\ \hline \boldsymbol{u_{n+1}-\alpha} & \boldsymbol{= a(u_n-\alpha)} \end{array} $	$ \begin{array}{rl} u_{n+1} & =0,5u_n+1 \\ - ~~~~~~~~ \alpha & =0,5 \alpha+1\\ \hline \boldsymbol{u_{n+1}-\alpha} & \boldsymbol{= 0,5(u_n-\alpha)} \end{array} $ Donc $\boldsymbol{u_{n+1}-2=0,5(u_n-2)}$ car $\alpha=2$
Étape 3 Pour tout entier naturel, on pose $\boldsymbol{v_n=u_n-\alpha}$. $(v_n)$ est appelée suite auxiliaire. Elle sert à étudier la suite $(u_n)$ qui est la suite principale. Comme pour tout entier naturel $n$, $ \underbrace{u_{n+1}-\alpha}_{\displaystyle v_{n+1}} = a\underbrace{(u_n-\alpha)}_{\displaystyle v_n}$, on en déduit que $\boldsymbol{v_{n+1}=av_n}$ donc $\boldsymbol{(v_n)}$ est géométrique de raison $\boldsymbol{a}$. Donc pour tout entier naturel $n$, $v_n=v_0\times a^n$. Or $v_n=u_n-\alpha$ donc $u_n=v_n+\alpha=v_0a^n+\alpha$. Pour trouver la limite de $u_n$, on utilise les résultats sur la limite de $q^n$ On a vu dans le cours sur les suites géométriques: Si $-1\lt q \lt 1$ alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} q^n=0$ Si $q\gt 1$ alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} q^n=+\infty$	Pour tout entier naturel, on pose $\boldsymbol{v_n=u_n-2}$ Comme pour tout entier naturel $n$, $ u_{n+1}-2 = 0,5(u_n-2)$, on en déduit que $\boldsymbol{v_{n+1}=0,5v_n}$ donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0,5$. Donc pour tout entier naturel $n$, $v_n=v_0\times 0,5^n$ Pour calculer $v_0$: $v_0=u_0-2=-1-2=-3$ Or $v_n=u_n-2$ donc $u_n=v_n+2=v_0\times 0,5^n+2$. Comme $0\leqslant 0,5\lt 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,5^n=0$ Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=v_0\times 0+2=2$ On retrouve ce résultat sur le graphique. En effet il semble graphiquement que la suite tend vers 2:

Exercice 1: