Suite géométrique Première spé : cours, raison, formule explicite, récurrence, variations

Conseils

Suites géométriques

Dans cette page, tu vas découvrir les suites géométriques, comprendre ce qu'est leur raison et apprendre à utiliser les formules permettant de calculer leurs termes.

👉 reconnaître une suite géométrique ;
👉 comprendre et déterminer sa raison ;
👉 calculer les premiers termes ;
👉 découvrir et savoir utiliser les formules du cours : relation de récurrence et formule explicite d'une suite géométrique ;
👉 déterminer le terme général $u_n$ ;
👉 étudier son sens de variation.

📌 Une suite est géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est appelé la raison et on le note généralement $q$.

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📺 Exercice guidé pour comprendre les suites géométriques 👇

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📺 COURS : comprendre ce qu'est une suite géométrique 👇

🎯 Cours : une suite géométrique, c'est quoi ?

Une suite $(u_n)$ est géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.

👉 Ce nombre est appelé la raison et on le note généralement $q$.

Pour tout entier naturel $n$ :

\[ \boldsymbol{u_{n+1}=q\times u_n}. \]

👉 Cette formule est appelée relation de récurrence d'une suite géométrique.

📺 COURS : comprendre ce qu'est une suite géométrique 👇

🎯 Calculer un terme d'une suite géométrique

Comme on multiplie toujours par $q$ pour passer d'un terme au suivant, on peut retrouver facilement les formules en faisant le schéma ci-dessous :

👉 Pour passer de $u_0$ à $u_n$, on multiplie $n$ fois par $q$ :

\[ \boldsymbol{u_n=u_0\times q^n}. \]

👉 Cette formule est appelée formule explicite d'une suite géométrique.

👉 Pour passer de $u_1$ à $u_n$, on multiplie $n-1$ fois par $q$ :

\[ \boldsymbol{u_n=u_1\times q^{n-1}}. \]

👉 Plus généralement :

\[ \boldsymbol{u_n=u_p\times q^{n-p}}. \]

💡 Conseil : il vaut mieux savoir retrouver ces formules avec le schéma que les apprendre toutes par cœur.

🎯 Montrer qu'une suite est géométrique

👉 Méthode 1 : si $u_n=a\times b^n$, alors la suite est géométrique de raison $b$.

👉 Méthode 2 : calculer $u_{n+1}$ et transformer l'expression jusqu'à obtenir : \[ u_{n+1}=q\times u_n. \]
💡 Il est déconseillé de calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$, sauf si l'on sait que $u_n\neq0$.

📺 Reconnaître une suite géométrique 👇

🎯 Conseil : calculer les premiers termes

💡 Pense à calculer les premiers termes.

Cela permet :
👉 de voir si la suite semble géométrique ;
👉 de conjecturer sa raison ;
👉 ou de montrer rapidement qu'elle ne l'est pas.

Par exemple, si $u_0=2$, $u_1=4$ et $u_2=9$, la suite n'est pas géométrique : on multiplie par 2 pour passer de $u_0$ à $u_1$, mais pas pour passer de $u_1$ à $u_2$.

🎯 Graphique et sens de variation de $(q^n)$

Pour comprendre le sens de variation d'une suite géométrique, il faut connaître et avoir en tête les trois graphiques ci-dessous :

$q\gt1$

$0\lt q\lt1$

$q\lt0$

si $q\gt1$, $(q^n)$ est strictement croissante ;
si $0\lt q\lt1$, $(q^n)$ est strictement décroissante ;
si $q\lt0$, $(q^n)$ n'est pas monotone.

📺 Les suites géométriques graphiquement (en 3 min!) 👇

🎯 Sens de variation d'une suite géométrique

Pour $u_n=u_0\times q^n$, il faut :

👉 étudier les variations de $(q^n)$ ;
👉 puis tenir compte du signe de $u_0$.

📺 Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique 👇

👇 Fais varier $u_0$ et $q$ pour mieux comprendre

🎯 Suite géométrique et Python

Savoir écrire une fonction seuil avec une boucle while est un classique dans les problèmes de croissance géométrique.

📺 Python : écrire une fonction seuil 👇

🎯 L'essentiel sur les suites géométriques

💡 Quand tu étudies une suite, pense à calculer ses premiers termes.

Cela permet souvent :
👉 de voir si la suite semble géométrique ou non ;
👉 si elle semble géométrique, de conjecturer sa raison.

Attention : connaître les premiers termes permet de faire une conjecture, mais pour démontrer qu'une suite est géométrique, il faut ensuite utiliser une des deux méthodes de la section "🎯 Montrer qu'une suite est géométrique".

📌 À retenir sur les suites géométriques :

• Une suite géométrique de raison $q$ peut être définie par une relation de récurrence : \[ \boxed{u_{n+1}=q\times u_n} \] Elle permet de calculer un terme à partir du terme précédent.

• On peut aussi exprimer directement $u_n$ en fonction de $n$ grâce à une formule explicite : \[ \boxed{u_n=u_0\times q^n} \] Elle permet de calculer un terme directement à partir de $u_0$.

💡 Pas besoin d'apprendre ces formules par cœur !
Tu peux facilement les retrouver à l'aide du schéma suivant.
S'il y a une chose à retenir, c'est donc ce schéma :