Calculer un taux d'évolution moyen

Conseils

Taux d’évolution moyen

Le taux moyen est le taux qui, répété à chaque période, donne la même évolution globale.

💡 Voici un exemple pour comprendre

Un prix a augmenté de 40 % en quatre ans. Cela correspond à une multiplication par 1,4.
On cherche le même taux chaque année qui permet d’obtenir cette même évolution. On note $t$ ce taux que l’on cherche.
Erreur fréquente : si un prix augmente de 40 % en 4 ans, ça ne correspond pas à une hausse de 10 % par an : on ne fait pas $\color{red}{\xcancel{\color{black}{\dfrac{40\,\%}{4}}}}$ !
Pour trouver $t$, il suffit de faire un schéma :
$(1+t)^4=1,4$

$1+t=1,4^{1/4}$

$t=1,4^{1/4}-1\approx0,087757$

$t\approx8,78\,\%$
Donc une hausse de 40 % en quatre ans correspond à une hausse d’environ 8,78 % par an.
Ce taux de 8,78 % est appelé le taux d’évolution annuel moyen.

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🎯 Taux d’évolution moyen

Le taux moyen est le taux qui, répété à chaque période, donne la même évolution globale.

Pour trouver ce taux moyen que l'on va noté $t$ :

1. Tout mettre en coefficients multiplicateurs

Rappel : augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par $1+t\,\%$

Augmenter de 60 % revient à multiplier par $1+0,60=1,6$.
Chaque année, on multiplie donc par $1+t$.

2. Faire un schéma

3. Trouver l’équation grâce au schéma :

$(1+t)^{3}=1,6$.

4. Résoudre l’équation

On élève les deux côtés à la puissance $\dfrac1{3}$ :

$\left((1+t)^{3}\right)^{\frac1{3}}=1,6^{\frac1{3}}$.

Les exposants se multiplient et $3\times\dfrac1{3}=1$. Donc on obtient :

$(1+t)^1=1,6^{\frac1{3}}$

$1+t=1,6^{\frac1{3}}$

$t=1,6^{\frac1{3}}-1\approx0,169607$

$t\approx16,96\,\%$

Donc une hausse de 60 % en 3 ans correspond à une hausse d’environ 16,96 % par an. C’est le taux d’évolution annuel moyen.

🎯 À retenir

Passe en coefficients multiplicateurs
Fais un schéma
Le schéma donne l’équation $(1+t)^n=\text{C}_{\text{global}}$.
Élève les deux côtés à la puissance $\dfrac1n$, puis soustrais 1.
Exprime le résultat en pourcentage et précise la période : par an, par mois…
Ne fais pas l’erreur de diviser le taux global par le nombre de périodes !
Une hausse de 60 % en 3 ans ne correspond pas à une hausse de $\color{red}{\xcancel{\color{black}{\dfrac{60\,\%}{3}=20\,\%}}}$ par an. On vient de faire le calcul dans l'exemple précédent: le taux moyen annuel est d’environ 16,96 %.

Exercice 1:

Taux moyen : choisir la bonne équation

La population d’une ville a augmenté de $10\,\%$ en 6 ans.

Quelle équation vérifie le taux d’évolution annuel moyen $t$ ?
La population d’une ville a diminué de $12\,\%$ en 4 ans.

Quelle équation vérifie le taux d’évolution annuel moyen $t$ ?
Le prix d’un produit a augmenté de $20\,\%$ en 2 ans.

Quelle équation vérifie le taux d’évolution mensuel moyen $t$ ?
Un salaire est passé de 1 600 € à 2 000 € en 5 ans.

Quelle équation vérifie le taux d’évolution annuel moyen $t$ ?
Un prix augmente de $10\,\%$ la première année, puis baisse de $5\,\%$ la deuxième année.

Quelle équation vérifie le taux d’évolution annuel moyen $t$ ?

Exercice 2:

Taux d’évolution mensuel moyen : compléter le calcul

Une quantité a augmenté de $32\,\%$ en 5 mois.

Recopier et compléter pour calculer le taux d’évolution mensuel moyen $t$, puis l’exprimer en pourcentage. Arrondir le pourcentage à l’unité.

$t$ vérifie $(1+t)^{\ldots}=\ldots$, soit $1+t=\ldots$,

c’est-à-dire $t=\ldots\ldots$. Ainsi, $t\approx\ldots$.

Cette quantité a augmenté en moyenne d’environ $\ldots\,\%$ par mois.

Exercice 3:

Taux moyen : mensuel, trimestriel et semestriel

Le prix d’un produit a augmenté de $30\,\%$ en un an.
Déterminer :

Le taux d’évolution mensuel moyen.
Le taux d’évolution trimestriel moyen.
Le taux d’évolution semestriel moyen.

Exercice 4:

Taux d’évolution annuel moyen d’un salaire

Le salaire mensuel d’un employé est passé de 1 800 € à 2 100 € en 4 ans.
Déterminer le taux d’évolution annuel moyen de ce salaire.

Exercice 5:

Taux d’augmentation mensuel moyen du prix du gasoil

Le prix du gasoil en France a augmenté de $14,7~\!\%$ du 1$^\text{er}$ janvier au 1$^\text{er}$ avril 2022.
De quel pourcentage le prix du gasoil a-t-il augmenté en moyenne par mois du 1$^\text{er}$ janvier au 1$^\text{er}$ avril 2022 ? Arrondir au dixième.

Exercice 6:

Taux de diminution annuel moyen d’une population

La population d’un village a diminué de $15\,\%$ en 3 ans.
Déterminer le taux d’évolution annuel moyen de cette population.

Exercice 7:

Taux moyen et évolutions successives : repérer une erreur

Le chiffre d’affaires d’une entreprise a connu les évolutions suivantes :

Première année : $+15\,\%$.
Deuxième année : $-10\,\%$.
Troisième année : $+20\,\%$.
Quatrième année : $+5\,\%$.

Le professeur pose la question : « Quel est le taux d’évolution annuel moyen du chiffre d’affaires ? »

Gaspard répond : « C’est facile, je fais $\dfrac{15-10+20+5}{4}=7,5$. Le taux moyen annuel est donc de $7,5\,\%$. »

Qu’en pensez-vous ? Corriger si nécessaire.

Exercice 8:

Comparer deux taux d’évolution annuels moyens

Deux appartements ont connu les évolutions suivantes :

Appartement A : augmentation de $25\,\%$ en 4 ans.
Appartement B : augmentation de $35\,\%$ en 6 ans.

Lequel a connu le taux d’évolution annuel moyen le plus élevé ?

Exercice 9:

Retrouver un taux inconnu à partir du taux moyen

Le prix d’un produit a augmenté de $10\,\%$ la première année, puis de $15\,\%$ la deuxième année et enfin de $t\,\%$ la troisième année.
Sur ces trois années, le taux d’évolution annuel moyen est de $8\,\%$.
Déterminer $t$.