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Terminale

Équation différentielle $y'=ay+f$ - Partie 4
Conseils
Exercice 1:

Equation différentielle avec second membre - Nathan Hyperbole

Soit $\rm (E)$ l'équation différentielle $2y'-y=4x+1$.
  1. Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=ax+b$ soit solution de $\rm (E)$.
  2. Démontrer qu'une fonction $f$ est solution de $\rm (E)$ si et seulement si, la fonction $f-g$ est solution de l'équation différentielle $({\rm E}_0):~ 2y'-y=0$.
  3. Résoudre $\rm (E_0)$ sur $\mathbb{R}$.
  4. En déduire les solutions de $(\rm E)$ sur $\mathbb{R}$.
  5. Déterminer la solution de $({\rm E})$ qui s'annule en $2$.
Exercice 2:

Equation différentielle y'=ay+f premier ordre

On considère l'équation différentielle $\rm (E)$: $y' + y = e^{-x}$
  1. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = x e^{-x}$. Vérifier que la fonction $h$ est une solution de l'équation différentielle $\rm (E)$.
  2. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $\rm (E)$ sur $\mathbb{R}$.
  3. En déduire l'unique solution $g$ de l'équation différentielle $\rm (E)$ telle que $g(0) = 2$.
Exercice 3:

Equation différentielle premier ordre

$(\rm E)$ est l'équation différentielle $y'+2y=e^{3x}$.
  1. Démontrer que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\dfrac 15 e^{3x}$ est une solution particulière de $(\rm E)$.
  2. Démontrer qu'une fonction $f$ est solution de $(\rm E)$ si et seulement si la fonction $f-g$ est une solution de l'équation différentielle $y'+2y=0$.
  3. En déduire l'ensemble des solutions de $(\rm E)$.

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