Équation différentielle

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Une équation différentielle, c'est quoi ?

Cours

une équation différentielle

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Ce qu'il faut retenir de la vidéo

Équation différentielle

Résoudre une équation différentielle

Définition Résoudre une équation différentielle sur un intervalle $\rm I$ c'est trouver toutes fonctions définies sur $\rm I$ qui sont solutions de cette équation

Ordre d'une équation différentielle

Définition L'ordre d'une l'équation différentielle correspond au degré maximum de dérivation qui intervient dans l'équation.

• Si n'intervient que la dérivée $y'$, l'équation différentielle est dite du premier ordre

• Si intervient la dérivée seconde et éventuellement la dérivée, l'équation différentielle est dite du second ordre

Abus de notation

Exemple $(\rm E)$ est l'équation différentielle $y'+y=(1+2x)e^x$ sur $\mathbb{R}$. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=xe^x$ est-elle solution de $\rm (E)$?

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$

Posons pour tout $x$ réel, $u(x)=x$ et $v(x)=e^x$ donc $u'(x)=1$ et $v'(x)=e^x$

On en déduit que pour tout $x$ réel: $f'(x)=1\times e^x+xe^x=(1+x)e^x$

On remplace $f$ et $f'$ dans l'équation différentielle $(\rm E)$:
Pour tout $x$ réel, $f'(x)+f(x)=(1+x)e^x+xe^x=e^x(1+x+x)=(1+2x)e^x$
Donc comme on a pour tout $x$ réel, $f'+f=(1+2x)e^x$, $f$ est solution de $(\rm E)$.

Exercice 1:

Equation différentielle

Dans chaque cas, montrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est solution de l'équation différentielle :

$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=-x-4$ ; $4y'-y=x$
$\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=e^{-5x}$ ; $y''+4y'-5y=0$
$\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=x^3+2x-1$ ; $xy'-3y=-4x+3$

Exercice 2:

Equation différentielle

Déterminer une solution évidente sur $\mathbb{R}$ de chacune des équations différentielles suivantes :

$\color{red}{\textbf{a. }} y'=y$ $\color{red}{\textbf{b. }} y'=5y$ $\color{red}{\textbf{c. }} y''=y$ $\color{red}{\textbf{d. }} y'=2+e^x$ $\color{red}{\textbf{e. }} y''=\sin(x)$ $\color{red}{\textbf{f. }} y'+y=-3$

Exercice 3:

Montrer qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Déterminer une fonction constante définie sur $\mathbb{R}$ qui soit solution de l'équation différentielle : $y'+\dfrac 12y=10$.

Exercice 4:

Montrer qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle $(\rm E)$ : $y'-3y=6x^2-x$.
Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ pour que la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ soit solution de $(\rm E)$.

Exercice 5:

Montrer qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle $(\rm E)$ : $x^2y'+(x-1)y=2x^2-x$.
Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$ soit solution de $(\rm E)$.

Exercice 6:

Montrer qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle $({\rm E}) : ~ y''-2y'+y=\dfrac{x^2}2-x-1$.
Déterminer les nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par ${f(x)=ax^2+bx+c}$ soit solution de $({\rm E})$.

Exercice 7:

Montrer qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle $({\rm E}) : ~ y''-y'-2y=(-6x-4)e^{-x}$.
Montrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2+2x)e^{-x}$ est solution de $({\rm E})$.