Avant d'attaquer le cours sur les équations différentielles, il est important de maîtriser :
La fonction exponentielle
Conseils pour travailler efficacement
Conseils pour le jour du Bac
Une équation différentielle, c'est quoi ?
Cours
une équation différentielle
•
Ce qu'il faut retenir de la vidéo
Équation différentielle
Définition Une équation
différentielle
est une équation où l'inconnue est une fonction et où interviennent des
dérivées
de cette fonction
Exemple Soit $(\rm E)$ l'équation
différentielle $y'+y=xe^x$
L'inconnue dans cette équation est la fonction $y$ et on appelle $(\rm
E)$
cette équation différentielle
Conseil C'est souvent très
pratique de donner un nom à une équation pour rédiger. Cela évite de
réécrire l'équation à chaque fois, il suffit de donner son nom.
Résoudre une équation
différentielle
DéfinitionRésoudre
une équation
différentielle sur un intervalle $\rm I$ c'est trouver
toutes fonctions
définies sur $\rm I$ qui sont solutions de cette équation
Si $y'$ apparaît dans l'équation différentielle alors la
fonction doit être dérivable sur $\rm
I$
Si $y''$ apparaît dans l'équation différentielle alors
la
fonction doit être deux fois dérivable
sur
$\rm I$
Etc ...
Ordre d'une équation différentielle
Définition L'ordre d'une
l'équation différentielle correspond au degré maximum de dérivation
qui
intervient dans l'équation.
• Si n'intervient que la dérivée $y'$, l'équation
différentielle
est dite du premier ordre
Exemple Soit
l'équation
différentielle $y'+y=e^x$. Cette équation est du premier
ordre
car seule $y'$ intervient.
• Si intervient la dérivée seconde et éventuellement la
dérivée,
l'équation différentielle est dite du second ordre
Exemple Soit
l'équation
différentielle $y''+2y'+y=e^x$. Cette équation est du second
ordre car le degré maximum de dérivation est $y''$.
Abus de notation
Quand par exemple on écrit: Soit l'équation différentielle
$\boldsymbol{y'+y=xe^x}$, en
toute rigueur on devrait écrire
$\boldsymbol{y'(x)+y(x)=xe^x}$.
Mais pour alléger, il a été décidé dans une équation
différentielle de faire un abus
et de ne pas écrire $y(x)$, $y'(x)$,... mais
d'écrire $y$, $y'$,... Et il faut bien avoir conscience que c'est un
abus de
notation.
Exemple $(\rm E)$ est l'équation
différentielle $y'+y=(1+2x)e^x$ sur $\mathbb{R}$. La fonction $f$ définie sur
$\mathbb{R}$ par $f(x)=xe^x$ est-elle solution de $\rm (E)$?
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de deux fonctions
dérivables sur $\mathbb{R}$
$f$ est le produit des 2 fonctions $x\to x$ et $x \to e^x$
qui
sont chacune dérivables sur $\mathbb{R}$
Posons pour tout $x$ réel, $u(x)=x$ et $v(x)=e^x$ donc $u'(x)=1$
et
$v'(x)=e^x$
On en déduit que pour tout $x$ réel: $f'(x)=1\times
e^x+xe^x=(1+x)e^x$
On a utilisé la formule de la dérivée d'un produit
$f'=(uv)'=u'v+uv'$
On remplace $f$ et $f'$ dans l'équation différentielle $(\rm
E)$:
Pour tout $x$ réel, $f'(x)+f(x)=(1+x)e^x+xe^x=e^x(1+x+x)=(1+2x)e^x$
Donc comme on a pour tout $x$ réel, $f'+f=(1+2x)e^x$, $f$ est
solution de $(\rm E)$.
Exercice
1:
Equation différentielle
Dans chaque cas, montrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est solution de l'équation
différentielle :
Montrer qu'une fonction est solution d'une équation différentielle
Déterminer une fonction constante définie sur $\mathbb{R}$ qui soit solution de
l'équation différentielle : $y'+\dfrac 12y=10$.
Exercice
4:
Montrer qu'une fonction est solution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle $(\rm E)$ : $y'-3y=6x^2-x$.
Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ pour que la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ soit solution de $(\rm E)$.
Exercice
5:
Montrer qu'une fonction est solution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle $(\rm E)$ : $x^2y'+(x-1)y=2x^2-x$.
Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$ soit solution de $(\rm E)$.
Exercice
6:
Montrer qu'une fonction est solution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle
$({\rm E}) : ~ y''-2y'+y=\dfrac{x^2}2-x-1$.
Déterminer les nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par ${f(x)=ax^2+bx+c}$ soit solution de $({\rm E})$.
Exercice
7:
Montrer qu'une fonction est solution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle
$({\rm E}) : ~ y''-y'-2y=(-6x-4)e^{-x}$.
Montrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2+2x)$ est solution de $({\rm E})$.
Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois/jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le
lendemain.
