Équation différentielle y'=ay+b

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Équation différentielle $y'=ay+b$

Exercice type

pour savoir des équations différentielles du type $y'=ay+b$

Cours

Cours	Exemple
Théorème Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay+b$ On se place dans le cas où $a\ne 0$ sont les fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f_k(x)=ke^{ax}-\dfrac ba$ où $k$ est un réel Démonstration du théorème en vidéo	Résoudre l'équation différentielle $2y'+8y=5$ $2y'+8y=5$ $\Leftrightarrow 2y'=-8y+5$ $\Leftrightarrow y'=\underbrace{-4}_{a}y+\underbrace{\dfrac 52}_{b}$ Et les solutions de l'équation $y'=-4y+\dfrac 52$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f_k(x)=ke^{-4x}+\dfrac 58$. car $a=-4$ et $b=\dfrac 52$ donc $-\dfrac ba=-\dfrac{\dfrac 52}{-4}=\dfrac 58$

Exercice 1:

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles :

$\color{red}{\textbf{a. }} y'=2y+6$ $\color{red}{\textbf{b. }} y'+y+5=0$ $\color{red}{\textbf{c. }} 2y'-y-6=0$

Exercice 2:

On considère l'équation différentielle ${{\rm (E)}:~y'=-\dfrac 12 y+3}$

Résoudre l'équation $\rm (E)$.
Déterminer la solution $f$ de $\rm (E)$ telle que :
$\color{red}{\textbf{a. }} f(0)=4$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(4)=10$

Exercice 3:

Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(\rm E)$ : $2y'=y+6$ telle que $f(\ln 9)=6$.

Exercice 4:

Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(\rm E)$ : $3y'+y=6$ telle que $f(9)=e+2$.

Exercice 5:

On considère l'équation différentielle $(\rm E)$ : $2y'-y=1$.

Résoudre $(\rm E)$ sur $\mathbb{R}$.
Sur ce graphique, on a représenté trois solutions $f_1$, $f_2$, $f_3$ de $\rm (E)$ par leurs courbes respectives $\mathscr{C_1}$, $\mathscr{C_2}$ $\mathscr{C_3}$.

Déterminer l'expression de $f_1$, $f_2$ et $f_3$.

Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois/jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le lendemain.