Équation différentielle $y'=ay+b$ (Page en
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Conseils
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Avant d'attaquer le cours sur les équations différentielles, il est important de maîtriser :
La fonction exponentielle
Conseils pour travailler efficacement
Conseils pour le jour du Bac
Équation différentielle $y'=ay+b$
Cours
Comprendre la notion d'équation différentielle
Équation différentielle
Définition Une équation différentielle
est une équation où l'inconnue est une fonction et où interviennent des dérivées
de cette fonction
Exemple Soit $(\rm E)$ l'équation
différentielle $y'+y=xe^x$
L'inconnue dans cette équation est la fonction $y$ et on appelle $(\rm E)$
cette équation différentielle
Conseil C'est souvent très
pratique de donner un nom à une équation pour rédiger. Cela évite de
réécrire l'équation à chaque fois, il suffit de donner son nom.
Résoudre une équation différentielle
Définition Résoudre une équation
différentielle sur un intervalle $\rm I$ c'est trouver toutes fonctions
dérivables sur $\rm I$ qui sont solutions de cette équation.
Ordre d'une équation différentielle
Définition L'ordre d'une
l'équation différentielle correspond au degré maximum de dérivation qui
intervient dans l'équation.
• Si n'intervient que la dérivée $y'$, l'équation différentielle
est dite du premier ordre
Exemple Soit l'équation
différentielle $y'+y=e^x$. Cette équation est du premier ordre
car seule $y'$ intervient.
• Si intervient la dérivée seconde et éventuellement la dérivée,
l'équation différentielle est dite du second ordre
Exemple Soit l'équation
différentielle $y''+2y'+y=e^x$. Cette équation est du second
ordre car le degré maximum de dérivation est $y''$.
Abus de notation
Quand par exemple on écrit: Soit l'équation différentielle
$\boldsymbol{y'+y=xe^x}$, en
toute rigueur on devrait écrire
$\boldsymbol{y'(x)+y(x)=xe^x}$.
Mais pour alléger, il a été décidé dans une équation
différentielle de faire un abus
et de ne pas écrire $y(x)$, $y'(x)$,... mais
d'écrire $y$, $y'$,... Et il faut bien avoir conscience que c'est un abus de
notation.
Exemple $(\rm E)$ est l'équation
différentielle $y'+y=(1+2x)e^x$ sur $\mathbb{R}$. La fonction $f$ définie sur
$\mathbb{R}$ par $f(x)=xe^x$ est-elle solution de $\rm (E)$?
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de deux fonctions
dérivables sur $\mathbb{R}$
$f$ est le produit des 2 fonctions $x\to x$ et $x \to e^x$ qui
sont chacune dérivables sur $\mathbb{R}$
Posons pour tout $x$ réel, $u(x)=x$ et $v(x)=e^x$ donc $u'(x)=1$ et
$v'(x)=e^x$
On en déduit que pour tout $x$ réel: $f'(x)=1\times e^x+xe^x=(1+x)e^x$
On a utilisé la formule de la dérivée d'un produit
$f'=(uv)'=u'v+uv'$
On remplace $f$ et $f'$ dans l'équation différentielle $(\rm E)$:
Pour tout $x$ réel, $f'(x)+f(x)=(1+x)e^x+xe^x=e^x(1+x+x)=(1+2x)e^x$
Donc comme on a pour tout $x$ réel, $f'+f=(1+2x)e^x$, $f$ est
solution de $(\rm E)$.
Cours
Équation différentielle $y'=ay$
Cours
Exemple
Théorème Les solutions de
l'équation différentielle $y'=ay$
On se place dans le cas où $a\ne 0$
sont les fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f_k(x)=ke^{ax}$
où $k$ est un réel
Démonstration du
théorème en vidéo
Allure des courbes
$x\to ke^{ax}$
Résoudre l'équation différentielle $2y'+8y=0$
$2y'+8y=0$ $\Leftrightarrow 2y'=-8y$ $\Leftrightarrow
y'=-4y$ Et les solutions de l'équation $y'=-4y$ sont
les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par
$f_k(x)=ke^{-4x}$.
Cours
Équation différentielle $y'=ay+b$
Cours
Exemple
Théorème Les solutions de
l'équation différentielle $y'=ay+b$
On se place dans le cas où $a\ne 0$
sont les fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par
$f_k(x)=ke^{ax}-\dfrac ba$
où $k$ est un réel
Démonstration du
théorème en vidéo
Résoudre l'équation différentielle $2y'+8y=5$
$2y'+8y=5$ $\Leftrightarrow 2y'=-8y+5$ $\Leftrightarrow
y'=\underbrace{-4}_{a}y+\underbrace{\dfrac 52}_{b}$
Et les solutions de l'équation $y'=-4y+\dfrac 52$ sont les
fonctions définies
sur $\mathbb{R}$ par $f_k(x)=ke^{-4x}+\dfrac 58$.
car $a=-4$ et $b=\dfrac 52$ donc $-\dfrac
ba=-\dfrac{\dfrac 52}{-4}=\dfrac 58$
Exercice
1:
Equation différentielle premier ordre
Déterminer les fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que $2f'+3f=0$.
Parmi toues les solutions, démontrer qu'il en existe une seule vérifiant la condition
$f(2)=-1$.
Exercice
2:
Equation différentielle avec second membre - Nathan Hyperbole
Soit $\rm (E)$ l'équation différentielle $2y'-y=4x+1$.
Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$
par $g(x)=ax+b$ soit solution de $\rm (E)$.
Démontrer qu'une fonction $f$ est solution de $\rm (E)$ si et seulement si, la fonction
$f-g$ est solution de l'équation différentielle $({\rm E}_0):~ 2y'-y=0$.
Résoudre $\rm (E_0)$ sur $\mathbb{R}$.
En déduire les solutions de $(\rm E)$ sur $\mathbb{R}$.
Déterminer la solution de $({\rm E})$ qui s'annule en $2$.
Exercice
3:
Equation différentielle y'=ay+f premier ordre
On considère l'équation différentielle $\rm (E)$: $y' + y = e^{-x}$
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = x e^{-x}$. Vérifier que la
fonction $h$ est une solution de l'équation différentielle $\rm (E)$.
En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $\rm (E)$ sur
$\mathbb{R}$.
En déduire l'unique solution $g$ de l'équation différentielle $\rm (E)$ telle que
$g(0) = 2$.
Exercice
4:
Equation différentielle premier ordre
$(\rm E)$ est l'équation différentielle $y'+2y=e^{3x}$.
Démontrer que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\frac 15 e^{3x}$ est une
solution particulière de $(\rm E)$.
Démontrer qu'une fonction $f$ est solution de $(\rm E)$ si et seulement si la fonction $f-g$
est une solution de l'équation différentielle $y'+2y=0$.
En déduire l'ensemble des solutions de $(\rm E)$.
Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois/jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le
lendemain.
