Équation différentielle y'=ay

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Équation différentielle $y'=ay$

Exercice type

pour savoir résoudre des équations différentielles du type $y'=ay$

Cours

Équation différentielle $y'=ay$

Cours	Exemple
Théorème Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ sont les fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f_k(x)=ke^{ax}$ où $k$ est un réel Démonstration du théorème en vidéo Allure des courbes $x\mapsto ke^{ax}$	Résoudre l'équation différentielle $2y'+8y=0$ $2y'+8y=0$ $\Leftrightarrow 2y'=-8y$ $\Leftrightarrow y'=-4y$ Et les solutions de l'équation $y'=-4y$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f_k(x)=ke^{-4x}$.

Pour aller plus loin

Démonstration : Solutions des équations différentielles $y'=ay$

Exercice 1:

Equation différentielle y'=ay

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles :

$\color{red}{\textbf{a. }} y'=5y$ $\color{red}{\textbf{b. }} y'=y$ $\color{red}{\textbf{c. }} y'=0$ $\color{red}{\textbf{d. }} y=2y'$ $\color{red}{\textbf{e. }} 2y'+6y=0$

Exercice 2:

Equation différentielle y'=ay

On considère l'équation différentielle ${{\rm (E)}:~y'=-2 y}$

Résoudre l'équation $\rm (E)$.
Déterminer la solution $f$ de $\rm (E)$ telle que :
$\color{red}{\textbf{a. }} f(0)=4$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(4)=0$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(3)=4$

Exercice 3:

Equation différentielle y'=ay

Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(\rm E)$ : $2y'=y$ telle que $f(\ln 4)=10$.

Exercice 4:

Equation différentielle y'=ay

Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(\rm E)$ : $3y'+y=0$ telle que $f(6)=e$.

Exercice 5:

Equation différentielle y'=ay

Déterminer les fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que $2f'+3f=0$.
Parmi toutes les solutions, démontrer qu'il en existe une seule vérifiant la condition $f(2)=-1$.

Exercice 6:

Equation différentielle y'=ay - démonstration du cours

L'objectif de cet exercice est de démontrer que les solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ où $a$ est nombre réel sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\rm C}e^{ax}$.

Montrer que toute fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\rm C}e^{ax}$ où ${\rm C}$ est une constante réelle est solution de $y'=ay$.
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ solution de $y'=ay$. Et soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\dfrac{f(x)}{e^{ax}}$.
1. Montrer que $g$ est constante.
2. Conclure.

Équation différentielle $y'=ay$ - Partie 2

pour savoir résoudre des équations différentielles du type $y'=ay$

Équation différentielle $y'=ay$

Démonstration : Solutions des équations différentielles $y'=ay$

Equation différentielle y'=ay

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Equation différentielle y'=ay - démonstration du cours

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