Primitive d'une fonction: Cours et exercices expliqués en vidéo

Qu'est-ce qu'une primitive

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F est une primitive de f sur un intervalle I, si

F est une primitive de f sur un intervalle I, si:
• F est dérivable sur I
• pour tout x de I, F'(x)=f(x)
Si F est une primitive de f sur I, alors les primitives de f

les primitives de f sont de la forme x→F(x)+k
Autrement dit, si F et G sont 2 primitives de f alors la fonction F-G est constante
Si F est une primitive de f sur I, quels que soient x₀ de I et y₀

il existe une unique primitive G de f telle que G(x₀)=y₀
Autrement dit, il existe une seule primitive dont la courbe passe par un point donné (x₀;y₀)
Toute fonction continue sur un intervalle

Toute fonction continue sur un intervalle, admet des primitives sur cet intervalle.

Quelles sont les formules sur les primitives et comment les retenir

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Il suffit de dériver la 2^ième colonne pour obtenir la 1^ère
C'est tout simplement le tableau des dérivés à l'envers !

Primitives des fonctions usuelles
f(x)	F une primitive de f	Validité	Exemple
k constante	$F(x)=kx$	$\mathbb{R}$	f(x) = 3	F(x)= $F(x)=3x$
x	$F(x)=\frac 12 x^2$	$\mathbb{R}$
$x^n$ n: est un entier positif	$F(x)=\frac 1{n+1} x^{n+1}$	$\mathbb{R}$	f(x) = x⁴	F(x)= $F(x)=\frac 15 x^5$
$\frac 1{x^n}$ $n$ est entier et $n\ge 2$ Penser à écrire: $\frac 1{x^n}=x^{-n}$	$F(x)=\frac1{-n+1}x^{-n+1}$	]-∞;0[∪]0;+∞[	$\frac 1{x^4}$	F(x)= $F(x)=\frac1{-3}x^{-3}=-\frac 1{3x^3}$
$\frac 1x$	$F(x)=\ln x$	]0;+∞[
$\frac 1{\sqrt x}$	$F(x)=2\sqrt x$	]0;+∞[
$e^x$	$F(x)=e^x$	$\mathbb{R}$
e^ax a: réel non nul	$F(x)=\frac {e^{ax}}{a}$	$\mathbb{R}$	$f(x)=e^{-2x}$	F(x)= $F(x)=-\frac {e^{-2x}}{2}$
sin x	$F(x)=-\cos x$	$\mathbb{R}$
cos x	$F(x)=\sin x$	$\mathbb{R}$

Il suffit de dériver la 2^ième colonne pour obtenir la 1^ère
C'est tout simplement le tableau des dérivés à l'envers !

Primitives des fonctions composées
f(x)	F une primitive de f	Condition	Exemple
$u'u^n$ n: est un entier positif	$F=\frac 1{n+1} u^{n+1}$	aucune	f(x) = (2x+1)(x²+x)⁴	F(x)= $F(x)=\frac 15 \left( x^2+x\right)^5$
$\frac{u'}{u^n}$ $n$ est entier et $n\ge 2$ Penser à écrire: $\frac {u'}{u^n}=u'\cdot u^{-n}$	$F=\frac 1{-n+1}u^{-n+1}$	u ne s'annule pas sur I	f(x) = 2x+1 / (x²+x)⁴	F(x)= $F(x)=-\frac 13 \left( x^2+x\right)^{-3}$
$\frac {u'}u$	$F=\ln u$	u strictement positive sur I	f(x) = 2x / x²+1	F(x)= $F(x)=\ln\left(x^2+1\right)$
$\frac {u'}{\sqrt u}$	$F=2\sqrt u$	u strictement positive sur I	f(x) = 2x+2 / √x²+2x+2	F(x)= $F(x)=2\sqrt{x^2+2x+2}$
$u'e^u$	$F=e^u$	aucune	f(x)=-2x×e^1-x²	F(x)= $F(x)=e^{1-x^2}$

u est une fonction dérivable sur un intervalle I

Comment déterminer une primitive

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Trouve les primitives en ligne, clique ici !

Exercices 1:

Vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre

Exercices 2:

Vérifier qu'une fonction F est une primitive de f

On considère les fonctions

$F$ et

$f$ définie sur

$\mathbb{R}$ par

$F(x)=\frac13(2x+1)^3$ et

$f(x)=(2x+1)^2$ .

$F$ est-elle une primitive de

$f$ ? Justifier.

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Exercices 3: Déterminer une primitive d'une fonction du type

$x^n$ ,

$\frac1{x^n}$ ,

$\frac1x$ , avec des puissances

Déterminer, dans chaque cas, une primitive

$F$ de la fonction

$f$ sur l'intervalle I:

a) $f(x)=\frac{2x^4}3$ et I= $\mathbb{R}$	b) $f(x)=\frac5{2x^3}$ et I= $]0;+\infty[$
c) $f(x)=\frac5{7x}$ et I= $]0;+\infty[$	d) $f(x)=-\frac{3}{x^2}+\frac 2{5x}+3x-2$ et I= $]0;+\infty[$

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Exercices 4:

Déterminer une primitive d'une fonction avec un quotient

Déterminer, dans chaque cas, une primitive

$F$ de la fonction

$f$ sur l'intervalle I:

a) $f(x)=\frac5{2x-1}$ et I= $]\frac12;+\infty[$	b) $f(x)=\frac{x+2}{(x^2+4x)^3}$ et I= $]0;+\infty[$
c) $f(x)=\frac{\ln x}x$ et I= $]0;+\infty[$

Exercices 5:

Primitive de la fonction ln (logarithme népérien)

On considère la fonction

$f$ définie sur

$]0;+\infty[$ par

$f(x)=x\ln x$ .
1) Déterminer

$f'(x)$ .
2) En déduire une primitive de la fonction ln.

Exercices 6: Déterminer une primitive de f

Déterminer, dans chaque cas, une primitive

$F$ de la fonction

$f$ sur l'intervalle I:
a)

$f(x)=e^{2x}$ et I=

$\mathbb{R}$ b)

$f(x)=\frac 1{\sqrt x}$ et I=

$]0;+\infty[$ c)

$f(x)=\sin x+\cos{2x}$ et I=

$\mathbb{R}$

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Exercices 7:

Déterminer a et b puis une primitive à l'aide d'une décomposition

On considère la fonction

$f$ définie sur

$]1;+\infty[$ par

$f(x)=\frac{x-6}{(x-1)^2}$ .
1) Déterminer deux réels

$a$ et

$b$ tels que pour tout

$x\in]1;+\infty[$ ,

$f(x)=\frac a{x-1}+\frac b{(x-1)^2}$ .
2) En déduire une primitive

$F$ de

$f$ sur

$]1;+\infty[$ .

Exercices 8:

Déterminer la primitive vérifiant ... - passant par un point donné

On considère la fonction

$f$ définie sur

$\mathbb{R}$ par

$f(x)=\frac{x^2+x+1}4$ .
Déterminer la primitive

$F$ de

$f$ dont la courbe passe par le point

$A(2;1)$ .

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Exercices 9: Reconnaitre la courbe d'une primitive - Même genre que

Baccalauréat S métropole septembre 2013

exercice 1

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Exercices 10:

Primitive et Physique

Deuxième loi de Newton

- Exercice type Bac

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Exercices 11:

Primitive de $f(x)=xe^x$

par 2 méthodes - Exercice type Bac

On considère la fonction

$f$ définie sur

$\mathbb{R}$ par

$f(x)=xe^x$ .
Partie A - Méthode 1
Déterminer les réels

$a$ et

$b$ tels que la fonction

$\rm F$ définie sur

$\mathbb{R}$ par

${\rm F}(x)=(ax+b)e^x$ soit
une primitive de

$f$ .
Partie B - Méthode 2
1. Trouver une relation entre

$f$ et

$f'$ .
2. En déduire une primitive

$\rm F$ de

$f$ .

Primitive d'une fonction

Quelles sont les formules sur les primitives et comment les retenir

Comment déterminer une primitive

Vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre

Vérifier qu'une fonction F est une primitive de f

Déterminer une primitive d'une fonction avec un quotient

Primitive de la fonction ln (logarithme népérien)

Déterminer a et b puis une primitive à l'aide d'une décomposition

Déterminer la primitive vérifiant ... - passant par un point donné

Baccalauréat S métropole septembre 2013

Primitive et Physique

Deuxième loi de Newton

Primitive de f(x)=xexf(x)=xe^x

Primitive de $f(x)=xe^x$