Primitive d'une fonction: Cours et exercices expliqués en vidéo

Qu'est-ce qu'une primitive

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F est une primitive de f sur un intervalle I, si

F est une primitive de f sur un intervalle I, si:
• F est dérivable sur I
• pour tout x de I, F'(x)=f(x)
Si F est une primitive de f sur I, alors les primitives de f

les primitives de f sont de la forme x→F(x)+k
Autrement dit, si F et G sont 2 primitives de f alors la fonction F-G est constante
Si F est une primitive de f sur I, quels que soient x₀ de I et y₀

il existe une unique primitive G de f telle que G(x₀)=y₀
Autrement dit, il existe une seule primitive dont la courbe passe par un point donné (x₀;y₀)
Toute fonction continue sur un intervalle

Toute fonction continue sur un intervalle, admet des primitives sur cet intervalle.

Quelles sont les formules sur les primitives et comment les retenir

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Il suffit de dériver la 2^ième colonne pour obtenir la 1^ère
C'est tout simplement le tableau des dérivés à l'envers !

Primitives des fonctions usuelles
f(x)	F une primitive de f	Validité	Exemple
k constante	$F(x)=kx$	$\mathbb{R}$	f(x) = 3	F(x)= \[F(x)=3x\]
x	$F(x)=\frac 12 x^2$	$\mathbb{R}$
$x^n$ n: est un entier positif	$F(x)=\frac 1{n+1} x^{n+1}$	$\mathbb{R}$	f(x) = x⁴	F(x)= $F(x)=\frac 15 x^5$
\[\frac 1{x^n}\] $n$ est entier et $n\ge 2$ Penser à écrire: \[\frac 1{x^n}=x^{-n}\]	$F(x)=\frac1{-n+1}x^{-n+1}$	]-∞;0[∪]0;+∞[	$\frac 1{x^4}$	F(x)= \[F(x)=\frac1{-3}x^{-3}=-\frac 1{3x^3}\]
\[\frac 1x\]	$F(x)=\ln x$	]0;+∞[
\[\frac 1{\sqrt x}\]	$F(x)=2\sqrt x$	]0;+∞[
$e^x$	$F(x)=e^x$	$\mathbb{R}$
e^ax a: réel non nul	\[F(x)=\frac {e^{ax}}{a}\]	$\mathbb{R}$	$f(x)=e^{-2x}$	F(x)= \[F(x)=-\frac {e^{-2x}}{2}\]
sin x	\[F(x)=-\cos x\]	$\mathbb{R}$
cos x	\[F(x)=\sin x\]	$\mathbb{R}$

Il suffit de dériver la 2^ième colonne pour obtenir la 1^ère
C'est tout simplement le tableau des dérivés à l'envers !

Primitives des fonctions composées
f(x)	F une primitive de f	Condition	Exemple
\[u'u^n\] n: est un entier positif	\[F=\frac 1{n+1} u^{n+1}\]	aucune	f(x) = (2x+1)(x²+x)⁴	F(x)= \[F(x)=\frac 15 \left( x^2+x\right)^5\]
\[\frac{u'}{u^n}\] $n$ est entier et $n\ge 2$ Penser à écrire: \[\frac {u'}{u^n}=u'\cdot u^{-n}\]	\[F=\frac 1{-n+1}u^{-n+1}\]	u ne s'annule pas sur I	f(x) = 2x+1 / (x²+x)⁴	F(x)= \[F(x)=-\frac 13 \left( x^2+x\right)^{-3}\]
\[\frac {u'}u\]	\[F=\ln u\]	u strictement positive sur I	f(x) = 2x / x²+1	F(x)= \[F(x)=\ln\left(x^2+1\right)\]
\[\frac {u'}{\sqrt u}\]	\[F=2\sqrt u\]	u strictement positive sur I	f(x) = 2x+2 / √x²+2x+2	F(x)= \[F(x)=2\sqrt{x^2+2x+2}\]
\[u'e^u\]	\[F=e^u\]	aucune	f(x)=-2x×e^1-x²	F(x)= \[F(x)=e^{1-x^2}\]

u est une fonction dérivable sur un intervalle I

Comment déterminer une primitive

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Exercices 1:

Vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre

Exercices 2:

Vérifier qu'une fonction F est une primitive de f

On considère les fonctions $F$ et $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[F(x)=\frac13(2x+1)^3\] et $f(x)=(2x+1)^2$.
$F$ est-elle une primitive de $f$? Justifier.

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Exercices 3: Déterminer une primitive d'une fonction du type \[x^n\], \[\frac1{x^n}\], \[\frac1x\], avec des puissances

Déterminer, dans chaque cas, une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle I:

a) \[f(x)=\frac{2x^4}3\] et I=$\mathbb{R}$	b) \[f(x)=\frac5{2x^3}\] et I=$]0;+\infty[$
c) \[f(x)=\frac5{7x}\] et I=$]0;+\infty[$	d) \[f(x)=-\frac{3}{x^2}+\frac 2{5x}+3x-2\] et I=$]0;+\infty[$

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Exercices 4:

Déterminer une primitive d'une fonction avec un quotient

Déterminer, dans chaque cas, une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle I:

a) \[f(x)=\frac5{2x-1}\] et I=$]\frac12;+\infty[$	b) \[f(x)=\frac{x+2}{(x^2+4x)^3}\] et I=$]0;+\infty[$
c) \[f(x)=\frac{\ln x}x\] et I=$]0;+\infty[$

Exercices 5:

Primitive de la fonction ln (logarithme népérien)

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par \[f(x)=x\ln x\].
1) Déterminer $f'(x)$.
2) En déduire une primitive de la fonction ln.

Exercices 6: Déterminer une primitive de f

Déterminer, dans chaque cas, une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle I:
a) \[f(x)=e^{2x}\] et I=$\mathbb{R}$ b) \[f(x)=\frac 1{\sqrt x}\] et I=$]0;+\infty[$ c) \[f(x)=\sin x+\cos{2x}\] et I=$\mathbb{R}$

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Exercices 7:

Déterminer a et b puis une primitive à l'aide d'une décomposition

On considère la fonction $f$ définie sur $]1;+\infty[$ par \[f(x)=\frac{x-6}{(x-1)^2}\].
1) Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout $x\in]1;+\infty[$, \[f(x)=\frac a{x-1}+\frac b{(x-1)^2}\].
2) En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]1;+\infty[$.

Exercices 8:

Déterminer la primitive vérifiant ... - passant par un point donné

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=\frac{x^2+x+1}4\].
Déterminer la primitive $F$ de $f$ dont la courbe passe par le point $A(2;1)$.

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Exercices 9: Reconnaitre la courbe d'une primitive - Même genre que

Baccalauréat S métropole septembre 2013

exercice 1

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Exercices 10:

Primitive et Physique

Deuxième loi de Newton

- Exercice type Bac

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Exercices 11:

Primitive de $f(x)=xe^x$

par 2 méthodes - Exercice type Bac

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=xe^x$.
Partie A - Méthode 1
     Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $\rm F$ définie sur $\mathbb{R}$ par ${\rm F}(x)=(ax+b)e^x$ soit
    une primitive de $f$.
Partie B - Méthode 2
     1. Trouver une relation entre $f$ et $f'$.
     2. En déduire une primitive $\rm F$ de $f$.

a) \[f(x)=\frac{2x^4}3\] et I=\(\mathbb{R}\)	b) \[f(x)=\frac5{2x^3}\] et I=\(]0;+\infty[\)
c) \[f(x)=\frac5{7x}\] et I=\(]0;+\infty[\)	d) \[f(x)=-\frac{3}{x^2}+\frac 2{5x}+3x-2\] et I=\(]0;+\infty[\)

f(x)	F une primitive de f	Validité	Exemple
k constante	$F(x)=kx$	\(\mathbb{R}\)	f(x) = 3	F(x)= \[F(x)=3x\]
x	$F(x)=\frac 12 x^2$	\(\mathbb{R}\)
$x^n$ n: est un entier positif	$F(x)=\frac 1{n+1} x^{n+1}$	\(\mathbb{R}\)	f(x) = x⁴	F(x)= $F(x)=\frac 15 x^5$
\[\frac 1{x^n}\] $n$ est entier et $n\ge 2$ Penser à écrire: \[\frac 1{x^n}=x^{-n}\]	$F(x)=\frac1{-n+1}x^{-n+1}$	]-∞;0[∪]0;+∞[	$\frac 1{x^4}$	F(x)= \[F(x)=\frac1{-3}x^{-3}=-\frac 1{3x^3}\]
\[\frac 1x\]	$F(x)=\ln x$	]0;+∞[
\[\frac 1{\sqrt x}\]	$F(x)=2\sqrt x$	]0;+∞[
$e^x$	$F(x)=e^x$	\(\mathbb{R}\)
e^ax a: réel non nul	\[F(x)=\frac {e^{ax}}{a}\]	\(\mathbb{R}\)	$f(x)=e^{-2x}$	F(x)= \[F(x)=-\frac {e^{-2x}}{2}\]
sin x	\[F(x)=-\cos x\]	\(\mathbb{R}\)
cos x	\[F(x)=\sin x\]	\(\mathbb{R}\)

a) \[f(x)=\frac5{2x-1}\] et I=\(]\frac12;+\infty[\)	b) \[f(x)=\frac{x+2}{(x^2+4x)^3}\] et I=\(]0;+\infty[\)
c) \[f(x)=\frac{\ln x}x\] et I=\(]0;+\infty[\)