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Intégrale d'une fonction


Intégrale et aire

♦ Pour le savoir, regarde le cours en vidéo Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
  • Si f est une fonction continue positive sur [a;b], alors baf(x) dx=
    b a f(x) dx est égale à l'aire hachurée (en unité d'aire)
    Bien vérifier que a≤b

    L'aire hachurée correspond l'aire du domaine compris entre la courbe
    de f, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x=a et x=b.
    Cette aire hachurée s'appelle aussi l'aire sous la courbe entre a et b.
    On se place toujours dans un repère orthogonal.
    Une

    unité d'aire

    , notée u.a, est égale à l'aire du rectangle rose.
    Si
    1 unité sur les abscisses correspond à 2 cm
    1 unité sur les ordonnées correspond à 3 cm
    }
    alors 1 u.a =2×3=6 cm²

  • Si f est une fonction continue négative sur [a;b], alors baf(x) dx=
    b a f(x) dx est égale à moins l'aire hachurée (en unité d'aire)
    Bien vérifier que a≤b


  • Intégrale et aire entre deux courbes

     
    Si 
    {
    f et g sont continues sur [a;b]
    Pour tout x de [a;b] g(x)≤ f(x)

    alors b a f(x)-g(x) dx est égale à l'aire hachurée entre les 2 courbes.
    Bien vérifier que a≤b
    Le résultat est en unité d'aire






Lien entre

intégrale et primitive

♦ Pour le savoir, regarde le cours en vidéo Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
  • Si u est une fonction continue sur un intervalle I et a∈I, alors la fonction :
    f(x)= x a u(t) dt est  
    f est définie et dérivable sur I
    Pour tout x∈I, f '(x)=u(x).
    f est donc la primitive de u qui s'annule en a !

  • On en déduit que toute fonction f continue sur un intervalle I
    f continue sur I admet toujours des primitives sur I.

    La fonction définie sur I par F(x)= x a f(t) dt est une primitive de f.
    F est la primitive de f qui s'annule en a.
    a appartient à I
    .




Comment

calculer une intégrale

♦ Pour le savoir, regarde le cours en vidéo Un peu de patience, la vidéo est bientôt prête
  • Avant de calculer b a f(x) dx, vérifier que 
    vérifier que f continue entre a et b.
  • b a f(x) dx =
    b a f(x) dx = F(b)-F(a)F est une primitive de f
    Pour F, on peut choisir n'importe quelle primitive de f, ça ne change pas le résultat!
    Notation pratique avec les crochets: b a f(x) dx = [F(x)]ba=F(b)F(a)

    Très pratique: [(...)]ba=[(...)]ab
    Exemple: [e2x]41=[e2x]14=e2e8




  • b a f(x) dx + c b f(x) dx =
    b a f(x) dx + c b f(x) dx = c a f(x) dx
    Cette relation s'appelle la

    relation de Chasles

    .

  • b a k ⋅ f(x) dx
    b a k ⋅ f(x) dxk b a f(x) dx
    Avant d'appliquer cette propriété,
    bien vérifier que k est une constante !
    c'est à dire un nombre indépendant de x
  • b a f(x) + g(x) dx
    b a f(x) + g(x) dx b a f(x) dx + b a g(x) dx
  • Comment déterminer + a f(x) dx 
    On cherche :limt+taf(x) dx


    En général, on procède en 2 étapes:
    1) On détermine taf(x) dx

    2) Puis on fait tendre t vers +.

    Utiliser cette méthode, pour calculer l'aire A sous une courbe sur [a;+[
    On a tracé la courbe de la fonction f définie par f(x)=ex sur [0;+[.

    t0ex dx=[ex]t0=[ex]0t=e0et=1et

    limt+t0ex dx=limt+1et=1

    Donc A=1 unité d'aire.
  • Pour trouver le

    signe d'une intégrale

    Si f est positive sur [a;b] alors b a f(x) dx ≥ 0
    Si f est négative sur [a;b] alors b a f(x) dx ≤ 0
    Avant d'appliquer ces propriétés,
    bien vérifier que ab !
  • Pour

    encadrer une intégrale

    Si fg sur [a;b] alors b a f(x) dx b a g(x) dx
    On dit que l'intégrale conserve l'ordre.
    sous réserve que ab !
  • La

    valeur moyenne

    de f sur [a;b], notée µ vaut 
    µ =
    1 / b-a
    b a f(x) dx
    Avant d'appliquer cette propriété,
    bien vérifier que a < b !

    Interprétation graphique de µ 
    lorsque f est positive:

    µ est la hauteur du rectangle rose qui a la même aire que l' aire hachurée sous la courbe
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Méthode des rectangles

Cours en vidéo: comprendre la méthode des rectangles Cours de math en vidéo
  • Pas de formule, ni théorie à connaitre, juste comprendre la méthode.




Intégrale d'une fonction : Exercices à Imprimer
Exercice 1:

Aire sous une courbe - intégrale


Exercice 2:

Aire sous une courbe - aire d'un triangle, trapèze, demi-cercle


Exercice 3:

Calcul d'intégrale à l'aide de primitive

- intégrale d'un polynôme - xn
Calculer les intégrales suivantes:
a) 212x5x21dx
b) 10(1t2)(2+3t)dt
c) 5223dx
d) 311ndx

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Exercice 4:

Calcul d'intégrale à l'aide de primitive

- intégrale d'un quotient - uu

Calculer les intégrales suivantes:
a) 1011+2x dx
b) e16x2+4x1xdx
c) 10x21+x3dx
d) 4113t3t2dt

Corrigé en vidéo!
Exercice 5:

intégrale avec des exponentielles ou des racines

- ueu
- uu

Calculer les intégrales suivantes:
a) 10ex+6e2x dx
b) 21xex2 dx
c) 4032x+1 dx

Exercice 6:

Calcul d'intégrale à l'aide de primitive

- intégrale d'un quotient de polynômes
1) Etudier, suivant les valeurs du réel x, le signe de x2+2x+5.
2) En déduire la valeur de 12x+1x2+2x+5dx
.
Exercice 7:

Aire entre 2 courbes - intégrale


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Exercice 8:

Intégrale et aire sous une courbe d'une fonction changeant de signe

- aire sous une parabole
La courbe C représente dans un repère orthogonal, la fonction f
définie sur R par f(x)=x22x3. Les unités graphiques sont:
1 cm sur l'axe des abscisses et 0.5 cm sur l'axe des ordonnées.
1) Etudier la position relative de la courbe C par rapport à l'axe des abscisses.
2) En déduire l'aire A du domaine en unité d'aire puis en cm² compris
    entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=2 et x=3.

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Exercice 9: Intégrale et aire entre deux courbes - position relative de 2 courbes
Cf et Cg sont les courbes représentatives de deux fonctions f et g
définies sur R par f(x)=x24 et g(x)=(x+2)2(x2).
1) Etudier la position relative de leurs courbes représentatives.
2) En déduire l'aire A du domaine en unité d'aire compris
     entre les deux courbes sur l'intervalle [2;2].
Exercice 10:

Primitive sous la forme (ax+b)e^(-x)


On considère la fonction définie sur R par f(x)=(1x2)ex
dont on a tracé la courbe ci-contre:

1) Déterminer les réels a, b et c tels que la fonction définie sur R
    par F(x)=(ax2+bx+c)ex soit une primitive de f.
2) En déduire l'aire de la surface bleue.


Exercice 11: Variations de la primitive F à partir des variations de f
On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction f définie sur R:

On définit la fonction F sur R par F(x)=x1f(t)dt
.
1) Déterminer le tableau de variations de F.
2) Déterminer le signe de l'intégrale 31f(t)dt
et de 51f(t)dt
.
3) Déterminer la limite de F en + et en .
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Exercices 12:

Signe d'une intégrale


On considère la fonction f définie sur R par f(x)=e4x1+e4x.
Pour tout réel x, on pose I(x)=x3f(t)dt.
Déterminer le signe de I(x) en fonction de x, en justifiant.
Corrigé en vidéo
Exercices 13:

Intégrale - Aire finie ou infinie ?


En voyant cette courbe représentative d'une fonction:

Lætitia affirme que: "Si la fonction représentée tend vers 0 en + alors l'aire hachurée sous la courbe sur [1;+[ est finie".
Antoine lui répond: "Même si cette fonction tend vers 0 en +, la longueur de l'intervalle [1;+[ étant infinie, l'aire hachurée ne peut pas être finie".
A l'aide de deux exemples, justifier qu'ils ont tort tous les deux.
Exercice 14:

Signe de f à partir de la primitive F


Exercice 15:

Encadrer une intégrale - comparer 2 intégrales


Exercice 16: Encadrer une intégrale - aire
Exercice 17:

Fonction définie par une intégrale


Exercice 18:

QCM intégrale


Exercice 19:

QCM fonction définie par une intégrale


Exercice 20:

Encadrer une intégrale


1) Démontrer que pour tout x1, 12x1x+x12x
.
2) En déduire un encadrement de l'intégrale 321x+x dx
.
Corrigé en vidéo!
Exercice 21:

Encadrer une intégrale - Encadrer ln2

- inégalité et intégrale
1) Démontrer que pour tout réel t1, 1t21t1t
.
2) En déduire que pour tout réel x1, 11xlnx2x2
.
3) En déduire un encadrement de ln2. Vérifier la cohérence du résultat à l'aide d'une calculatrice.
Exercice 22:

Encadrer une intégrale - Encadrer ln2


1) Démontrer que pour tout réel t0, 1t11+t1t+t2
.
2) En déduire que pour tout réel x0, xx22ln(1+x)xx22+x33
.
3) En déduire un encadrement de ln2. Vérifier la cohérence du résultat à l'aide d'une calculatrice.
Corrigé en vidéo!
Exercice 23:

Suite définie par une intégrale


Exercice 24:

Aire entre 2 courbes - lnx/x et (lx x)²/x



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Stephane Chenevière
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