Calcul de dérivée Première spé : x, x², x^n et polynômes

Calculer une dérivée

Dans la page précédente, nous avons découvert le nombre dérivé et son interprétation graphique à l'aide de la tangente.

👉 Dans cette page, nous allons apprendre à calculer des dérivées.

Nous commencerons par les fonctions les plus simples : $x$, $x^2$, $x^3$, puis plus généralement $x^n$.

Nous verrons ensuite comment utiliser ces formules pour dériver des fonctions polynômes.

🎯 Objectif : connaître les dérivées usuelles et savoir les combiner pour dériver une fonction polynôme.

📌 Dans les pages suivantes :

Nous apprendrons aussi à dériver :

👉 Dériver $\dfrac1x$ et $\dfrac1{x^n}$ →
👉 Dériver un produit de deux fonctions →
👉 Dériver un quotient de deux fonctions →

🚀 Choisis ton parcours

👉 Option 1 : Commence par les fonctions les plus simples.

📺 Dériver des fonctions du type $x$, $3x$, $5x+2$ 👇

👉 Option 2 : Travaille sur la formule du cours : dérivée de $x^n$

📺 Dériver $x^n$ 👇

👉 Clique sur les ampoules pour afficher les explications du cours 👇

🎯 Les dérivées à connaître

Voici les formules de dérivation de base à connaître.
Dans chaque ligne du tableau ci-dessous, $f$ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ :

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$
$k$ 💡 $k$ est une constante.	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^n$ $n$ est un entier supérieur ou égal à $1$.	$nx^{n-1}$

⭐ La formule générale

\[ \boldsymbol{ f(x)=x^n \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=nx^{n-1} } \]

💡 Cette formule générale permet de retrouver les autres formules pour $x$, $x^2$, $x^3$, etc.

🎯 Dérivée d'une somme

Quand on a une somme, on dérive séparément chaque terme.

Dit mathématiquement :
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ alors la fonction $u+v$ est aussi dérivable sur $\rm I$ et on a :

\[ \boldsymbol{(u+v)'=u'+v'} \]

Exemple :

$\boldsymbol{f(x)=x^2+x}$

$f$ est la somme de deux fonctions définies par $u(x)=x^2$ et $v(x)=x$.
$u$ et $v$ sont toutes les deux dérivables sur $\mathbb{R}$. Donc par somme, $f$ est aussi dérivable sur $\mathbb{R}$ et on a :

$ \boldsymbol{f'(x)=2x+1} $

Car : \[ x^2 \xrightarrow{\text{dérivée}} 2x \] \[ x \xrightarrow{\text{dérivée}} 1 \]

💡 C'est cette règle sur $u+v$ qui permet de dériver les polynômes terme par terme.

🎯 Multiplier par une constante

Soit $k$ une constante et $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $\rm I$ alors la fonction $ku$ est aussi dérivable sur $\rm I$ et on a :

\[ \boldsymbol{(ku)'=ku'} \]

⚠️ Attention : $k$ est un nombre constant.

⚠️ Attention : Ne pas dériver $k$ !

Exemple :

$f(x)=5x^2$

On est exactement dans la situation où $f=\underbrace{k}_{5}\underbrace{u}_{x^2}$.

$f$ est le produit d'une constante $5$ par la fonction carrée qui est dérivable sur $\mathbb{R}$. Donc $f$ est aussi dérivable sur $\mathbb{R}$ et on a : \[ f'(x)=5\times2x=10x. \]

⭐ Très important : constante au dénominateur

Lorsqu'on a une constante au dénominateur, on la « sort » pour se ramener à une multiplication : \[ \dfrac uk=\dfrac 1k \times u \]
On se ramène alors à la règle précédente : une constante qui multiplie une fonction !

Exemple : \[ f(x)=\dfrac{x^2}{3} \] On écrit d'abord : \[ f(x)=\dfrac13 \times x^2. \] Puis : \[ f'(x)=\dfrac13\times2x =\dfrac 23 x. \]

💡 Au lieu de diviser par 3, on multiplie par $\dfrac 13$. On se ramène donc à une multiplication par une constante, ce qui est très pratique quand on dérive !

📺 Dériver avec une constante au dénominateur 👇

🎯 Dériver un polynôme

Exemple : \[ f(x)=3x^3-5x^2+2x-7. \] On dérive terme par terme : \[ f'(x)=3\times3x^2-5\times2x+2\times1-0. \] Donc : \[ \boxed{\boldsymbol{f'(x)=9x^2-10x+2}}. \]

📌 Méthode :

👉 dériver chaque terme séparément ;
👉 conserver les constantes multiplicatives ;
👉 la dérivée d'une constante est $0$.

📺 Dériver une fonction polynôme du second degré 👇

🎯 L'essentiel

📌 À retenir :

Le tableau des formules de base
$ \boxed{\boldsymbol{(u+v)'=u'+v'}} $
$ \boxed{\boldsymbol{(ku)'=ku'}} $ où $k$ est une constante.
Pour un polynôme, on dérive terme par terme.
Si une constante est au dénominateur, on la « sort » pour se ramener à $ku$.

Exercice 1:

Calcul de dérivée - première spé maths & option maths

$f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$. Dans chaque cas, déterminer l'expression de $f'(x)$:

$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=x$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=3x$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(x)=5x+2$ $\color{red}{\textbf{d. }} f(x)=3x^2-7x+1$

Exercice 2:

Calcul de dérivée - première spé maths & option maths

$f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac 23x^3-0,5x^2-4x+1$. Déterminer l'expression de $f'(x)$:

Exercice 3:

Calcul de dérivée - première spé maths & option maths

$f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$. Dans chaque cas, déterminer l'expression de $f'(x)$:

$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=\dfrac x7$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=\dfrac{3x^2}5$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(x)=-\dfrac{x^3}2+0,5x^2+\dfrac{2x}3$ $\color{red}{\textbf{d. }} f(x)=\dfrac {-3x^4+5x^2-6x+4}2$

Exercice 4:

équation de la tangente - première spé maths & option maths

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-5x+6$. On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Déterminer $f'(x)$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $\rm T$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $1$.

Exercice 5:

Calcul de dérivée - première spé maths & option maths

Avec un logiciel de calcul formel, on a obtenu la fonction dérivée $g'$ d'une fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$.

Retrouver les coefficients cachés.

Exercice 6:

Calcul de dérivée - première spé maths & option maths

Dans chaque cas, $f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$. Déterminer l'expression de $f'(x)$:

$\color{red}{\textbf{a. }} f(x)=3-x$ $\color{red}{\textbf{b. }} f(x)=x^3-4x^2$ $\color{red}{\textbf{c. }} f(x)=\dfrac 12x^3-x-1$

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Fonction \(f(x)\)	Dérivée \(f'(x)\)
\(k\) 💡 \(k\) est une constante.	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^2\)	\(2x\)
\(x^3\)	\(3x^2\)
\(x^n\) \(n\) est un entier supérieur ou égal à \(1\).	\(nx^{n-1}\)

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Calcul de dérivée
Cours : \(x\), \(x^2\), \(x^n\) et polynômes

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