Dans tout le chapitre, $\rm E$ et $\rm F$ sont deux ensembles et $f$ une
application de $\rm E$ dans
$\rm F$.
📘 Cours : Injection - surjection - bijection
Dans cette page, tu vas découvrir la notion d'application injective,
surjective et bijective.
👉 Les notions d'injection, de surjection et de bijection sont fondamentales en mathématiques. Elles
réapparaissent dans de nombreux chapitres et seront particulièrement importantes en algèbre linéaire, où
elles permettent notamment d'étudier les applications linéaires entre espaces vectoriels, les noyaux,
les images et les isomorphismes.
👉 Ces trois mots injection - surjection - décrivent la façon dont une application relie les éléments de
l'ensemble de départ
aux éléments de l'ensemble d'arrivée.
👉 Une injection : deux éléments différents ne peuvent pas avoir la même image.
👉 Une surjection : tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un
antécédent.
👉 Une bijection : c'est à la fois une injection et une surjection.
👉 On va voir que tout repose sur le nombre d'antécédents 📍
👉 Une injection : tout élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un
antécédent.
👉 Une surjection : tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un
antécédent.
👉 Une bijection : tout élément de l'ensemble d'arrivée a exactement un
antécédent.
👉 Penser à faire des schémas (Patate), permet de bien comprendre ces notions d'injection, surjection et
bijection 📍
🎯 Objectif : comprendre les notions d'injection, de surjection et de bijection, et savoir les
utiliser pour étudier des applications en exercice.
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Injection
📌 On dit que $f$ est une injection de
$\rm E$ dans $\rm F$ lorsque deux éléments de $\rm E$ distincts ont des images
distinctes
dans $\rm F$.
Autrement dit, dire que $f$ est injective lorsque tout élément de
l'ensemble
d'arrivée au plus un antécédent.
✅ Exemple d'application injective
Tout élément de F a au plus un antécédent dans
E. Donc $f$ est
injective.
❌ Exemple d'application non injective
Un élément de F possède deux antécédents dans
E. Donc $f$
n'est pas injective.
La définition d'une fonction injective s'écrit mathématiquement :
$$\forall (x,x') \in
E^2,\quad x\neq x'
\Longrightarrow f(x)\neq f(x')$$
Ce qui s'écrit aussi par contraposée : $$\forall (x,x') \in E^2,\quad
f(x)=f(x')
\Longrightarrow x=x'$$
En exercice, on utilise très souvent la contraposée qui est très pratique à
utiliser.
Concrètement en exercice, pour montrer qu'une application est
injective, on écrit
:
Soit $(x,x') \in E^2$ tels que $f(x)=f(x')$
et il va falloir aboutir à $x=x'$.
Pour montrer qu'une application n'est pas injective : Il suffit de
montrer que deux
éléments distincts ont la même image.
Exemple : La fonction $f$ définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$ n'est
pas injective car par exemple $2$ et $-2$ ont la même image $4$.
Il est important de bien comprendre les quatre façons de dire qu'une
application est
injective.
Injection et stricte
monotonie :
Une fonction $f$ définie d'une partie $\rm A$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
Si $f$ est strictement monotone sur $\rm A$ alors $f$ est
injective.
Si on modifie les ensembles de départ et/ou
d'arrivée, cela peut tout changer, l'application
peut devenir injective ou devenir pas injective.
Exemple :
- La fonction $f$ définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$ n'est
pas injective car par exemple $2$ et $-2$ ont la même image $4$.
- La fonction $f$ définie de $\mathbb{R_+}$ dans $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$ est
injective car elle est strictement croissante sur $\mathbb{R_+}$.
Surjection
📌 On dit que $f$ est une surjection de
$\rm E$ sur $\rm F$ lorsque tout élément de $\rm F$ possède au moins un
antécédent
dans $\rm E$.
✅ Exemple d'application surjective
Tout élément de F a au moins un antécédent dans
E. Donc $f$ est
surjective.
❌ Exemple d'application non surjective
Un élément de F ne possède aucun antécédent dans
E. Donc $f$
n'est pas surjective.
Autrement dit, une application est surjective lorsque pour tout
élément $y$ de $\rm F$, l'équation $f(x)=y$ ,d'inconnue $x$ , a au moins une solution
dans $\rm E$.
La définition d'une fonction surjective s'écrit mathématiquement :
$$\forall y \in F,\quad \exists x \in E \quad \text{tel que} \quad f(x)=y$$
Une autre façon de dire que $f$ est surjective de $\rm E$ sur $\rm F$ est : $
f(\rm E)=F$
Concrètement en exercice, pour montrer qu'une application est
surjective, on écrit :
Soit $y \in F$.
• Soit on essaye de résoudre l'équation $f(x)=y$ d'inconnue $x$.
• Soit on montre que l'équation f(x)=y possède au moins une solution dans E (sans
chercher à la résoudre), par exemple grâce au théorème des valeurs intermédiaires.
Pour montrer qu'une application n'est pas surjective : il suffit de
montrer qu'il existe
un élément de l'ensemble d'arrivée qui n'a aucun
antécédent.
Exemple : La fonction $f$ définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$ n'est
pas surjective car aucun réel $x$ ne vérifie $x^2=-1$. Donc $-1$ n'a aucun antécédent.
Il est important de bien comprendre les trois façons de dire qu'une
application est
surjective :
- Tout élément de $\rm F$ a au moins un antécédent dans $\rm E$.
- Pour tout $y \in F$, l'équation $f(x)=y$ admet au moins une solution dans $\rm
E$.
- $f({\rm E})=\rm F$.
Si on modifie les ensembles de départ et/ou
d'arrivée, cela peut tout changer, l'application
peut devenir surjective ou devenir pas surjective.
Exemple :
- La fonction $f$ définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$ n'est
pas surjective car les nombres négatifs n'ont pas d'antécédent.
- La fonction $f$ définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R_+}$ par $f(x)=x^2$ est
surjective car tout réel positif possède au moins un antécédent.
Bijection
📌 On dit que $f$ est une bijection de
$\rm E$ dans $\rm F$ lorsque $f$ est à la fois injective et
surjective.
Autrement dit, une application est bijective lorsque tout élément de
l'ensemble
d'arrivée possède un unique antécédent.
La définition d'une fonction bijective s'écrit mathématiquement :
$$\forall y \in F,\quad \exists ! x \in E \quad \text{tel que} \quad f(x)=y$$
Le symbole $\exists !$ signifie : il existe un unique.
Concrètement en exercice, pour montrer qu'une application est
bijective, on peut montrer séparément que :
- $f$ est injective ;
- $f$ est surjective.
On peut aussi montrer directement que pour tout $y \in F$, l'équation $f(x)=y$
admet une unique solution dans $\rm E$.
Pour montrer qu'une application n'est pas bijective, il suffit de
montrer
qu'elle n'est pas injective ou qu'elle n'est pas
surjective.
Théorème de la bijection :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle
$[a;b]$.
Si $f$ est continue et strictement croissante sur
$[a;b]$,
alors $f$ réalise une bijection de $[a;b]$
sur $[f(a);f(b)]$.
Si $f$ est continue et strictement décroissante sur
$[a;b]$,
alors $f$ réalise une bijection de $[a;b]$
sur $[f(b);f(a)]$.
Le théorème de la bijection reste valable lorsque l'intervalle de départ
n'est pas fermé et borné. On peut par exemple remplacer $[a;b]$ par
un intervalle quelconque :
$$]a;b[,\quad [a;+\infty[,\quad ]-\infty;b],\quad \mathbb{R}, ~\dots$$
Plus généralement, si $f$ est continue et strictement monotone sur un
intervalle $\rm I$, alors $f$ réalise une bijection de $\rm I$ sur son image
$f(\rm I)$.
Exemple : La fonction $f$ définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ par
$f(x)=x^3$ est bijective d'après le théorème de la bijection car elle est
continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Lorsqu'une application est bijective, on peut définir son
application réciproque, notée $f^{-1}$.
Exercice
2: Fonction carré : injective, surjective ou bijective selon les intervalles
Soit $f : {\rm I}\to {\rm J}$ une fonction définie par $f(x)=x^2$ où ${\rm I}$ et ${\rm J}$ sont
des intervalles de $\mathbb{R}$ non réduits à un point.
Donner des ensembles ${\rm I}$ et ${\rm J}$ tels que $f$ soit :
injective mais pas surjective.
surjective mais pas injective.
ni injective ni surjective.
bijective.
Exercice
3: Composition d'applications : calculer f∘g et étudier injection/surjection
On considère les applications $f$ et $g$ définies par :
$f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R},$ $(x,y)\mapsto xy$
$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2,$ $x\mapsto (x~,~x^2)$
Déterminer les applications $f\circ g$ et $g\circ f$.
Dire si les applications \( f \), \( g \), \( f \circ g \) et \( g \circ f \) sont
injectives, surjectives et bijectives.
Exercice
4: Injection, surjection, bijection : attention aux ensembles de départ et
d'arrivée
On considère les applications $f$ et $g$ définies par :
$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N},$ $n\mapsto n+1$
$g:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z},$ $n\mapsto n+1$
Les applications $f$ et $g$ sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?
Modifier l'ensemble d'arrivée de $f$ afin qu'elle devienne bijective.
