vecteur - Relation de Chasles et milieu

Conseils

Dans ce cours sur la relation de Chasles, destiné aux élèves de Seconde, nous allons apprendre à utiliser cette relation lorsqu'on travaille avec le milieu d'un segment.

La relation de Chasles permet de simplifier des sommes de vecteurs en un seul vecteur.
Dire que I est le milieu du segment [AB] signifie que $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$ ou encore $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
Nous verrons comment combiner la relation de Chasles avec le milieu pour résoudre facilement des exercices sur les vecteurs.

Ce cours est accompagné de nombreux exercices corrigés en vidéo pour vous entraîner à appliquer la relation de Chasles avec les milieux et à simplifier rapidement des sommes vectorielles.

Exercice 1: Vecteurs - Relation de Chasles - seconde

I est le milieu de [AB]. M et N sont deux points quelconques du plan. Simplifier :

$\color{red}{\textbf{a. }} \overrightarrow{\rm IA}+\overrightarrow{\rm IB}$ $\color{red}{\textbf{b. }} \overrightarrow{\rm AB}-2\overrightarrow{\rm BI}$ $\color{red}{\textbf{c. }} 2\overrightarrow{\rm MI}+\overrightarrow{\rm AM}-\overrightarrow{\rm NA}-\overrightarrow{\rm BI}+3\overrightarrow{\rm IA}$

Exercice 2: vecteur - relation de Chasles - seconde

Soit I le milieu du segment [AB]. Démontrer que pour tout point $\rm M$ du plan $\overrightarrow{\rm MA}+\overrightarrow{\rm MB}=2\overrightarrow{\rm MI}$.

Exercice 3: vecteur - Droites des milieux - relation de Chasles - seconde

ABC est un triangle, I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC]. Démontrer que $\overrightarrow{\rm BC}=2\overrightarrow{\rm IJ}$.

Exercice 4: théorème de Varignon - vecteur - Droites des milieux - relation de Chasles - seconde

Le but de cet exercice est de démontrer le

théorème de Varignon

ABCD est un quadrilatère quelconque. I, J, K, L sont les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA]. Alors IJKL est un parallélogramme.

Démontrer que $\overrightarrow{\rm AC}=2\overrightarrow{\rm IJ}$.
Démontrer que $\overrightarrow{\rm AC}=2\overrightarrow{\rm LK}$.
Conclure

Exercice 5: vecteur - relation de Chasles - seconde

ABC est un triangle. I et J sont les symétriques respectifs de B et C par rapport à A.
Exprimer en fonction de $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AC}$ les vecteurs suivants :
$\overrightarrow{\rm IA }$ ; $\overrightarrow{\rm AJ}$ ; $\overrightarrow{\rm BC}$ ; $\overrightarrow{\rm CB}$ ; $\overrightarrow{\rm IJ}$

vecteur - Relation de Chasles et milieu - seconde

Exercice 1: Vecteurs - Relation de Chasles - seconde

Exercice 2: vecteur - relation de Chasles - seconde

Exercice 3: vecteur - Droites des milieux - relation de Chasles - seconde

Exercice 4: théorème de Varignon - vecteur - Droites des milieux - relation de Chasles - seconde

théorème de Varignon

Exercice 5: vecteur - relation de Chasles - seconde

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