vecteurs colinéaires & points alignés

Dans un repère, on donne les points $\rm A(-3;4)$, $\rm B(2;1)$, $\rm C(-2;3,4)$. Les points $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$ sont-ils alignés?

Dans un repère, on donne les points $\rm A(-3;4)$, $\rm B(2;1)$, $\rm C(0;2,3)$. Les points $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$ sont-ils alignés?

Dans un repère, on donne les points $\rm A(1;2)$, $\rm B(9;-6)$ et $\rm C(-7;-2)$.

1. Déterminer les coordonnées du point $\rm J$ tel que: $\overrightarrow{\rm BJ}=\dfrac 14\overrightarrow{\rm BA}+ \dfrac 34\overrightarrow{\rm BC}$.
2. Démontrer que les points $\rm A$ et $\rm C$ et $\rm J$ sont alignés.

Dans un repère, on donne les points $\rm A(5;7)$, $\rm B(-1;-2)$ et $\rm C(11;1)$.
$\rm I$ est le milieu de $\rm [AC]$, $\rm J$ celui de $\rm [BI]$ et $\overrightarrow{\rm BC}=3\overrightarrow{\rm BK}$.
Les points $\rm A$, $\rm J$ et $\rm K$ sont-ils alignés ? Justifier.

$\rm ABC$ est un triangle. $\rm I$ est le milieu de $\rm [AC]$, $\rm J$ celui de $\rm [BI]$ et $\overrightarrow{\rm BC}=3\overrightarrow{\rm BK}$.

1. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\rm AJ}$ en fonction de $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AC}$.
2. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\rm AK}$ en fonction de $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AC}$.
3. En déduire que les vecteurs $\overrightarrow{\rm AJ}$ et $\overrightarrow{\rm AK}$ sont colinéaires.
4. Que peut-on dire des points $\rm A$, $\rm J$ et $\rm K$?

Dans un repère, on donne les points $\rm A(2;1)$, $\rm B(8;4)$ et $\rm C(10;9)$.
$\rm ABCD$ est un parallélogramme. On considère les points $\rm E$ et $\rm F$ tels que $\overrightarrow{\rm AE}=\dfrac 13 \overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm CF}=\dfrac 13\overrightarrow{\rm CD}$. $\rm I$ est le milieu du segment $\rm [AC]$.

1. Déterminer les coordonnées du point $\rm D$.
2. Déterminer les coordonnées des points $\rm E$, $\rm F$ et $\rm I$.
3. Les points $\rm I$, $\rm E$ et $\rm F$ sont-ils alignés ? Justifier.

$\rm ABCD$ est un parallélogramme. On considère les points $\rm E$ et $\rm F$ tels que $\overrightarrow{\rm BE}=\dfrac 12 \overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AF}=3\overrightarrow{\rm AD}$

1. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\rm CE}$ en fonction de $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AD}$.
2. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\rm EF}$ en fonction de $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AD}$.
3. En déduire que les points $\rm C$, $\rm E$ et $\rm F$ sont alignés.

$\rm ABCD$ est un parallélogramme. On considère les points $\rm I$, $\rm J$ et $\rm K$ tels que $\overrightarrow{\rm AI}=\dfrac 12 \overrightarrow{\rm AB}$, $\overrightarrow{\rm AJ}=\dfrac 13\overrightarrow{\rm AD}$ et $\overrightarrow{\rm IK}=\dfrac 35\overrightarrow{\rm IJ}$

1. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\rm AK}$ en fonction de $\overrightarrow{\rm AI}$ et $\overrightarrow{\rm AJ}$.
2. En déduire l'expression du vecteur $\overrightarrow{\rm AK}$ en fonction de $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AD}$.
3. En déduire que les points $\rm A$, $\rm K$ et $\rm C$ sont alignés.

$\rm ABCD$ est un carré de côté $1$. Les triangles $\rm ABE$ et $\rm BFC$ sont équilatéraux.
$\rm H$ est le pied de la hauteur issue de $\rm E$ dans le triangle $\rm ABE$. On se place dans le repère orthonormé $\rm (A;\overrightarrow{\rm AB};\overrightarrow{\rm AD})$.

1. Calculer la longueur $\rm EH$.
2. En déduire les coordonnées du point $\rm E$ puis du point $\rm F$.
3. En déduire que les points $\rm D$, $\rm E$ et $\rm F$ sont alignés.