Points alignés et vecteurs colinéaires - Cours et exercices Seconde

Conseils

Vecteurs colinéaires & points alignés

Dans la page précédente, nous avons vu une première application de la colinéarité : comment montrer que deux droites sont parallèles.

👉 Dans cette page, nous allons voir une autre application très classique de la colinéarité : comment montrer que trois points sont alignés à l'aide des vecteurs.

L'idée est simple : pour montrer que trois points $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$ sont alignés, on va montrer que les vecteurs $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AC}$ sont colinéaires.

$\boxed{ \begin{gathered} \rm A,\ B\ et\ C\ sont\ alignés\\[4pt] \Updownarrow\\[2pt] \overrightarrow{\rm AB}\text{ et }\overrightarrow{\rm AC} \text{ sont colinéaires} \end{gathered} }$

👉 Si tu as besoin de revoir la colinéarité, retrouve le cours sur les vecteurs colinéaires.

📺 Tu trouveras ici le cours ainsi que de nombreux exercices corrigés en vidéo pour t'entraîner 💪

🎯 Points alignés et vecteurs colinéaires

Les points $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AC}$ sont colinéaires.

$\boxed{ \begin{gathered} \rm A,\ B\ et\ C\ sont\ alignés\\[4pt] \Updownarrow\\[2pt] \overrightarrow{\rm AB}\text{ et }\overrightarrow{\rm AC} \text{ sont colinéaires} \end{gathered} }$

💡 Remarque : Au lieu de $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AC}$, on peut très bien choisir, par exemple, les vecteurs $\overrightarrow{\rm BC}$ et $\overrightarrow{\rm BA}$. Ce qui est important, c'est que les deux vecteurs aient un point commun parmi les trois points.

👉 Donc, pour montrer que trois points sont alignés, cela revient à montrer que deux vecteurs sont colinéaires. On va donc appliquer les méthodes vues dans la page sur les vecteurs colinéaires.

💡 Méthode avec des coordonnées

Pour montrer que les points $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$ sont alignés avec les coordonnées :

On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AC}$.
On vérifie que leurs coordonnées sont proportionnelles.
On en conclut que les vecteurs sont colinéaires, et donc que les points $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$ sont alignés.

On peut vérifier la colinéarité à l'aide du déterminant :

$\boxed{ \begin{gathered} \rm A,\ B\ et\ C\ sont\ alignés\\ \Updownarrow\\ \det\left(\overrightarrow{\rm AB}, \overrightarrow{\rm AC}\right)=0 \end{gathered} }$

💡 Méthode sans coordonnées

Pour montrer que les points $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$ sont alignés sans les coordonnées, on décompose par exemple le vecteur $\overrightarrow{\rm AC}$ à l'aide de la relation de Chasles jusqu'à faire apparaître le vecteur $\overrightarrow{\rm AB}$.

Le but est d'obtenir une relation du type :

$\boxed{\overrightarrow{\rm AC}=k\overrightarrow{\rm AB}}$

💡 La méthode sans les coordonnées est souvent plus difficile que la méthode avec les coordonnées, car la décomposition des vecteurs n'est pas toujours simple à trouver.

📌 À retenir

👉 Pour montrer que trois points sont alignés, on montre que deux vecteurs reliant ces trois points sont colinéaires.

$\boxed{ \begin{gathered} \rm A,\ B\ et\ C\ sont\ alignés\\ \Updownarrow\\ \overrightarrow{\rm AB}\text{ et }\overrightarrow{\rm AC} \text{ sont colinéaires} \end{gathered} }$

👉 Avec des coordonnées : on vérifie que les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles ou que le déterminant vaut 0.

👉 Sans coordonnées : on peut utiliser la relation de Chasles pour faire apparaître un vecteur en fonction de l'autre.

Exercice 1: Vecteurs colinéaires et points alignés - seconde

Dans un repère, on donne les points $\rm A(-3;4)$, $\rm B(2;1)$, $\rm C(-2;3,4)$.

Les points $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$ sont-ils alignés?

Exercice 2: points alignés et Vecteurs colinéaires - seconde

Dans un repère, on donne les points $\rm A(-3;4)$, $\rm B(2;1)$, $\rm C(0;2,3)$.

Les points $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$ sont-ils alignés?

Exercice 3: points alignés et vecteur colinéaire - exercice type contrôle - seconde

$\rm ABCD$ est un parallélogramme de centre $\rm O$.

$\rm M$ et $\rm N$ sont les points tels que : $ \overrightarrow{\rm IM}=\dfrac 58~\!\overrightarrow{\rm IK}$ et $\rm \overrightarrow{\rm JN}=\dfrac 23 ~\!\overrightarrow{\rm JL}$.
Démontrer que les points $\rm C$, $\rm M$, $\rm N$ sont alignés.

Exercice 4: Vecteur - Montrer que des points sont alignés - seconde

Dans un repère, on donne les points $\rm A(1;2)$, $\rm B(9;-6)$ et $\rm C(-7;-2)$.

Déterminer les coordonnées du point $\rm J$ tel que: $\overrightarrow{\rm BJ}=\dfrac 14\overrightarrow{\rm BA}+ \dfrac 34\overrightarrow{\rm BC}$.
Démontrer que les points $\rm A$ et $\rm C$ et $\rm J$ sont alignés.

Exercice 5: Vecteur - Montrer que des points sont alignés - seconde

Dans un repère, on donne les points $\rm A(5;7)$, $\rm B(-1;-2)$ et $\rm C(11;1)$.
$\rm I$ est le milieu de $\rm [AC]$, $\rm J$ celui de $\rm [BI]$ et $\overrightarrow{\rm BC}=3\overrightarrow{\rm BK}$.
Les points $\rm A$, $\rm J$ et $\rm K$ sont-ils alignés ? Justifier.

Exercice 6: points alignés et vecteur colinéaire - exercice type contrôle - seconde

$\rm ABC$ est un triangle. $\rm I$ est le milieu de $\rm [AC]$, $\rm J$ celui de $\rm [BI]$ et $\overrightarrow{\rm BC}=3\overrightarrow{\rm BK}$.

Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\rm AJ}$ en fonction de $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AC}$.
Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\rm AK}$ en fonction de $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AC}$.
En déduire que les vecteurs $\overrightarrow{\rm AJ}$ et $\overrightarrow{\rm AK}$ sont colinéaires.
Que peut-on dire des points $\rm A$, $\rm J$ et $\rm K$?

Exercice 7: Vecteur - Montrer que des points sont alignés avec les coordonnées - seconde

Dans un repère, on donne les points $\rm A(2;1)$, $\rm B(8;4)$ et $\rm C(10;9)$.
$\rm ABCD$ est un parallélogramme. On considère les points $\rm E$ et $\rm F$ tels que $\overrightarrow{\rm AE}=\dfrac 13 \overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm CF}=\dfrac 13\overrightarrow{\rm CD}$. $\rm I$ est le milieu du segment $\rm [AC]$.

Déterminer les coordonnées du point $\rm D$.
Déterminer les coordonnées des points $\rm E$, $\rm F$ et $\rm I$.
Les points $\rm I$, $\rm E$ et $\rm F$ sont-ils alignés ? Justifier.

Exercice 8: Vecteur - Montrer que des points sont alignés avec Chasles - seconde

$\rm ABCD$ est un parallélogramme. On considère les points $\rm E$ et $\rm F$ tels que $\overrightarrow{\rm BE}=\dfrac 12 \overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AF}=3\overrightarrow{\rm AD}$

Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\rm CE}$ en fonction de $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AD}$.
Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\rm EF}$ en fonction de $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AD}$.
En déduire que les points $\rm C$, $\rm E$ et $\rm F$ sont alignés.

Exercice 9: Vecteur - Montrer que des points sont alignés avec Chasles - seconde

$\rm ABCD$ est un parallélogramme. On considère les points $\rm I$, $\rm J$ et $\rm K$ tels que $\overrightarrow{\rm AI}=\dfrac 12 \overrightarrow{\rm AB}$, $\overrightarrow{\rm AJ}=\dfrac 13\overrightarrow{\rm AD}$ et $\overrightarrow{\rm IK}=\dfrac 35\overrightarrow{\rm IJ}$

Exprimer le vecteur $\overrightarrow{\rm AK}$ en fonction de $\overrightarrow{\rm AI}$ et $\overrightarrow{\rm AJ}$.
En déduire l'expression du vecteur $\overrightarrow{\rm AK}$ en fonction de $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm AD}$.
En déduire que les points $\rm A$, $\rm K$ et $\rm C$ sont alignés.

Exercice 10: Vecteur - Montrer que des points sont alignés avec Chasles - seconde

$\rm ABCD$ est un carré de côté $1$. Les triangles $\rm ABE$ et $\rm BFC$ sont équilatéraux.
$\rm H$ est le pied de la hauteur issue de $\rm E$ dans le triangle $\rm ABE$.

On se place dans le repère orthonormé $\rm (A;\overrightarrow{\rm AB};\overrightarrow{\rm AD})$.

Calculer la longueur $\rm EH$.
En déduire les coordonnées du point $\rm E$ puis du point $\rm F$.
En déduire que les points $\rm D$, $\rm E$ et $\rm F$ sont alignés.

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