Vecteurs colinéaires et droites sont parallèles

Conseils

Vecteurs colinéaires et droites parallèles

Dans la page précédente, nous avons vu comment reconnaître deux vecteurs colinéaires.

👉 Dans cette page, nous allons voir une application très importante de la colinéarité : comment montrer que deux droites sont parallèles à l'aide des vecteurs.

L'idée est simple : pour montrer que deux droites sont parallèles, on va montrer que des vecteurs qui dirigent ces droites sont colinéaires.

vecteurs colinéaires et droites paralleles

$\boxed{ (AB)\mathbin{//}(CD) \iff \overrightarrow{\rm AB}\text{ et }\overrightarrow{\rm CD} \text{ sont colinéaires} }$

🚀 Et ensuite ?

👉 Dans la page suivante, nous verrons une autre application très importante de la colinéarité :

📗 Montrer que trois points sont alignés →

📺 En attendant, tu trouveras ici le cours ainsi que de nombreux exercices pour t'entraîner 💪

🎯 Droites parallèles et vecteurs colinéaires

Les droites $(\rm AB)$ et $(\rm CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm CD}$ sont colinéaires.

$\boxed{ \begin{gathered} (AB)\mathbin{//}(CD)\\[4pt] \Updownarrow\\[2pt] \overrightarrow{\rm AB}\text{ et }\overrightarrow{\rm CD} \text{ sont colinéaires} \end{gathered} }$

👉 Donc, pour montrer que deux droites sont parallèles, cela revient à montrer que deux vecteurs sont colinéaires. On va donc appliquer les méthodes vues dans la page précédente sur les vecteurs colinéaires.

💡 Méthode avec des coordonnées

Pour montrer que les droites $\rm (AB)$ et $\rm (CD)$ sont parallèles avec les coordonnées :

On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm CD}$.
On vérifie que leurs coordonnées sont proportionnelles.
On en conclut que les vecteurs sont colinéaires, et donc que les droites sont parallèles.

On peut vérifier la colinéarité à l'aide du déterminant :

$\boxed{ \begin{gathered} (AB)\mathbin{//}(CD)\\ \Updownarrow\\ \det\left(\overrightarrow{\rm AB},\overrightarrow{\rm CD}\right)=0 \end{gathered} }$

💡 Méthode sans coordonnées

Pour montrer que les droites $\rm (AB)$ et $\rm (CD)$ sont parallèles sans les coordonnées, on décompose par exemple le vecteur $\overrightarrow{\rm CD}$ à l'aide de la relation de Chasles jusqu'à faire apparaître le vecteur $\overrightarrow{\rm AB}$.

Le but est d'obtenir une relation du type :

$\boxed{\overrightarrow{\rm CD}=k\overrightarrow{\rm AB}}$

💡 La méthode sans les coordonnées est souvent plus difficile que la méthode avec les coordonnées, car la décomposition des vecteurs n'est pas toujours simple à trouver.

📌 À retenir

👉 Pour montrer que deux droites sont parallèles, on montre que deux vecteurs qui les dirigent sont colinéaires.

$\boxed{ \begin{gathered} (AB)\mathbin{//}(CD)\\ \Updownarrow\\ \overrightarrow{\rm AB}\text{ et }\overrightarrow{\rm CD} \text{ sont colinéaires} \end{gathered} }$

👉 Avec des coordonnées : on vérifie que les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles ou que le déterminant vaut 0.

👉 Sans coordonnées : on peut utiliser la relation de Chasles pour faire apparaître un vecteur en fonction de l'autre.

Exercice 1: Vecteurs colinéaires & droites parallèles - seconde

Dans un repère, on donne les points: $\rm A(-2~\!;5)$, $\rm B(3~\!;4)$, $\rm C(-3~\!;1)$ et $\rm D(1,9~\!;~\! 0,02)$.

Les droites $\rm (AB)$ et $\rm (CD)$ sont-elles parallèles ?
Les droites $\rm (AC)$ et $\rm (BD)$ sont-elles parallèles ?

Exercice 2: Vecteurs colinéaires & droites parallèles seconde

Dans un repère, on considère les points $\rm A(3;5)$ , $\rm B(-1;3)$ et $\rm C(5;-1)$. $\rm I$ est le milieu de $\rm [AB]$ et $\rm J$ est milieu de $\rm [AC]$.
Démontrer que les droites $\rm (IJ)$ et $\rm (BC)$ sont parallèles.

Exercice 3: droites parallèles et vecteur colinéaire - exercice type contrôle - seconde

$\rm ABCD$ est un parallélogramme de centre $\rm O$.

$\rm M$ et $\rm N$ sont les points tels que : $ \overrightarrow{\rm IM}=\dfrac 58~\!\overrightarrow{\rm IK}$ et $\rm \overrightarrow{\rm JN}=\dfrac 23 ~\!\overrightarrow{\rm JL}$.
Démontrer que les droites $\rm (BN)$ et $\rm (DM)$ sont parallèles.

Exercice 4: Vecteurs colinéaires & droites parallèles & décomposition seconde

On considère un triangle $\rm ABC$. $\rm I$ est le milieu de $\rm [AB]$ et $\rm J$ celui de $\rm [AC]$.

A l'aide d'une décomposition, démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{\rm IJ}$ et $\overrightarrow{\rm BC}$ sont colinéaires.
Que peut-on en conclure concernant les droites $\rm (IJ)$ et $\rm (BC)$ ?

Exercice 5: Vecteurs colinéaires & droites parallèles seconde

On considère un triangle $\rm ABC$. $\rm M$ et $\rm N$ sont les points définis par $\overrightarrow{\rm CM}=3\overrightarrow{\rm AC}$ et $\overrightarrow{\rm BN}=4\overrightarrow{\rm BC}$

Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{\rm AB}$ et $\overrightarrow{\rm MN}$ sont colinéaires.
Que peut-on en déduire concernant les droites $\rm (AB)$ et $\rm (MN)$ ?

Exercice 6: Vecteurs colinéaires & droites parallèles - seconde

On considère un triangle $\rm ABC$. $\rm M$ et $\rm N$ sont les points définis par $\overrightarrow{\rm AM}=4\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}$ et $\overrightarrow{\rm CN}=3\overrightarrow{\rm AC}$

Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{\rm BC}$ et $\overrightarrow{\rm MN}$ sont colinéaires.
Que peut-on en déduire concernant les droites $\rm (BC)$ et $\rm (MN)$ ?