Il est important de comprendre les équations de courbe avant
d'attaquer les équations de droite.
Car les équations de droites sont un cas particulier d'équations de courbe.
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droite
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Équations cartésiennes de droite
Cours
Comprendre la notion d'
équation de courbe
•
Équation de courbe
Définition Une équation de
courbe est
une condition sur les coordonnées d'un point
pour savoir si ce point appartient ou pas à la courbe.
Si les coordonnées du point vérifient
l'équation
Si les coordonnées du point vérifient l'équation, alors le point appartient à la
courbe.
Si les coordonnées du point ne vérifient
pas l'équation
Si les coordonnées du point ne vérifient pas l'équation alors le point n'appartient
pas à la courbe.
Exemple Le point $\rm A(1,2)$ appartient-il à la
courbe $\mathscr{C}$ d'équation $x^2+y^2=5$?
On remplace les coordonnées de $\rm A$ c'est à dire $x$ par 1 et $y$ par 2 dans
l'équation: $1^2+2^2=1+4=5$.
Donc les coordonnées de $\rm A$ vérifient l'équation.
Donc $\rm A$ appartient à cette courbe.
Exemple Le point $\rm B(1,3)$ appartient-il à la
courbe $\mathscr{C}$ d'équation $x^2+y^2=5$?
On remplace les coordonnées de $\rm B$ c'est à dire $x$ par 1 et $y$ par 3 dans
l'équation: $1^2+3^2=1+9=10 \ne 5$.
Donc les coordonnées de $\rm A$ ne vérifient pas l'équation.
Donc $\rm B$ n'appartient pas à cette courbe.
Courbe d'une fonction
La courbe d'une d'une fonction $f$ admet une équation de la forme $y=f(x)$
Par exemple, soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-3x+1$.
La courbe de $f$ admet pour équation: $y=-3x+1$.
Cours
Comprendre la
définition d'une droite
• Rappel: Vecteurs colinéaires
Définition Deux vecteurs sont colinéaires lorsque
l'un peut s'exprimer en fonction de l'autre.
Autrement dit, $\vec u$ et $\vec v$ sont
colinéaires
$\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec u=k \vec
v$ ou $\vec v=k\vec u$
Propriété Le vecteur nul $\vec 0$ est
colinéaire avec tout vecteur
Car pour tout vecteur $\vec u$, $\vec 0=0 \vec u$
Dans la première situation, on peut exprimer un vecteur en fonction de
l'autre. $\vec v=2\vec u$. Donc les deux vecteurs sont colinéaires.
De même dans la deuxième situation. Mais dans la troisième situation, on ne
peut pas exprimer un vecteur en fonction de l'autre. Donc les vecteurs ne
sont pas colinéaires.
Le déterminant de $\vec u$
et $\vec v$
Définition Le déterminant de $\vec u
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
et $\vec v \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ se note
$\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}$ et vaut
$\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}=xy'-yx'$
Comment savoir si deux vecteurs sont
colinéaires
Propriété Les vecteurs $\vec u
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
et $\vec v \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont colinéaires
$\Leftrightarrow$ Leurs coordonnées sont proportionnelles $\Leftrightarrow $ leur
déterminant vaut $0$
$\Leftrightarrow \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}=0$
$\Leftrightarrow xy'-yx'=0$
Exemple $\vec u \begin{pmatrix} 2 \\ 5
\end{pmatrix}$
et $\vec v \begin{pmatrix} 7 \\ 17 \end{pmatrix}$ sont-ils colinéaires?
Méthode On calcule le déterminant de $\vec
u$ et $\vec v$:
$\det(\vec u;\vec v)=\begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 5 & 17 \end{vmatrix}=2\times 17-
5\times 7=-1$.
Comme le déterminant ne vaut pas $0$, $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires.
• Définition d'une droite
Définition Une droite est définie par 1 point et
un vecteur non nul appelé vecteur directeur de la droite.
La droite droite passant par $\rm A$ et de vecteur directeur $\vec u$ est l'ensemble
des points $\rm M$
tels que $\overrightarrow{\rm AM}$ et $\vec u$ soient colinéaires.
Droite passant par deux points
La droite $\rm (AB)$ passant les points $\rm A$ et $\rm B$ est en fait la droite
passant par $\rm A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{\rm AB}$.
Comment savoir si un point M appartient à
une droite
Si $\overrightarrow{\rm AM}$ et $\vec u$ sont colinéaires
alors $\rm M$ appartient à la droite passant par $\rm A$ et de vecteur directeur
$\vec u$.
Si $\overrightarrow{\rm AM}$ et $\vec u$ ne sont pas colinéaires
alors $\rm M$ n'appartient pas à la droite passant par $\rm A$ et de vecteur
directeur $\vec u$.
Dans la première situation, les vecteurs $\overrightarrow{\rm AM}$ et $\vec
u$
sont colinéaires donc le point M appartient à la droite passant par $\rm A$
et de vecteur directeur
$\vec u$.
Dans la deuxième situation, les vecteurs $\overrightarrow{\rm AM}$ et $\vec
u$
ne sont pas colinéaires donc le point M n'appartient pas à la droite passant
par $\rm A$ et de vecteur directeur
$\vec u$.
Exemple Le point $\rm M\begin{pmatrix} 1 \\ 2
\end{pmatrix}$ appartient-il à la droite $d$ passant par $\rm A\begin{pmatrix} -2 \\ 6
\end{pmatrix}$ et de vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} -9 \\ 12
\end{pmatrix}$?
Méthode On calcule les coordonnées du
vecteur
$\overrightarrow{\rm AM} \begin{pmatrix} 1-(-2) \\ 2-6
\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{\rm AM} \begin{pmatrix} 3 \\ -4
\end{pmatrix}$.
On calcule le déterminant de $\overrightarrow{\rm AM}$ et $\vec u$:
$\det(\overrightarrow{\rm AM};\vec u)=\begin{vmatrix} 3 & -9 \\ 4 & 12
\end{vmatrix}=3\times 12-
(-4)\times (-9)=36-36=0$.
Comme le déterminant vaut $0$, $\overrightarrow{\rm AM}$ et $\vec u$ sont
colinéaires donc $\rm M$ appartient à la droite $d$.
CoursComment trouver une équation cartésienne de droite
• Théorème fondamental
Théorème
Remarque 1 Comme un vecteur directeur est
toujours différent du vecteur nul, donc dans les deux propriétés
suivantes au moins $a$ ou $b$ est non nul. Remarque 2 Comme on travaille avec des
coordonnées, on est donc dans un repère.
Ce repère peut être orthonormé mais ce n'est pas obligatoire.
1) Toute droite du plan admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ et $\vec u
\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$
est un vecteur directeur de la droite.
2) Réciproquement l'ensemble des points ${\rm M}(x;y)$ vérifiant $ax+by+c=0$ est une
droite de vecteur $\vec u \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$
• Deux méthodes pour déterminer une équation
cartésienne de droite
Méthode 1 Pour déterminer une équation
cartésienne de la droite $d$ passant par $\rm A(1,2)$ et de
vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, on écrit
Donc la droite $d$ admet pour équation $4x-3y+2=0$.
Méthode 2 Pour déterminer une équation
cartésienne de la droite $d$ passant par $\rm A(1,2)$ et de
vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, on écrit
$d$ admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ avec $\vec u \begin{pmatrix} -b \\ a
\end{pmatrix}$.
Or $\vec u \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ donc $-b=3$ et $a=4$. Donc $b=-3$.
Puis on remplace $a$ et $b$ dans l'équation.
Donc $d$ admet une équation de la forme $4x-3y+c=0$.
Pour trouver $c$
Pour trouver $c$, on remplace dans l'équation $x$ et $y$ par les coordonnées
d'un point de $d$, par exemple $\rm A(1;2)$, et on obtient:
$4\times 1-3\times 2+c=0 \Leftrightarrow -2+c=0\Leftrightarrow c=2$. Puis il n'y
a plus qu'à remplacer $c$ dans l'équation.
Donc $d$ admet une équation de la forme $4x-3y+2=0$.
• Comment trouver un vecteur directeur - Les 4
techniques
Méthode 1 Trouver un vecteur directeur d'une
droite connaissant deux points
Propriété Un vecteur directeur de la
droite $\rm(AB)$ est le vecteur $\overrightarrow{\rm
AB}$. Exemple Donner un vecteur directeur de
la droite passant par les points $\rm A
\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
et $\rm B \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \end{pmatrix}$
Un vecteur de la droite $(\rm AB)$ est donc le vecteur $\overrightarrow{\rm
AB}
\begin{pmatrix} 5-1
\\ 9-2
\end{pmatrix}$ et donc $\overrightarrow{\rm AB} \begin{pmatrix} 4 \\ 7
\end{pmatrix}$
Méthode 2 Trouver un vecteur directeur d'une
droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$
Propriété Une droite d'équation
cartésienne $ax+by+c=0$ a pour vecteur directeur $\vec u
\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$.
Exemple Donner un vecteur directeur de la
droite d'équation $2x+3y-4=0$
La droite d'équation $2x+3y-4=0$ admet pour vecteur directeur $\vec u
\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$
Car $a=2$ et $b=3$ donc $-b=3$.
Méthode 3 Trouver un vecteur directeur d'une
droite d'équation réduite $y=mx+p$
Propriété Une droite d'équation réduite
$y=mx+p$ a pour vecteur directeur $\vec u
\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}$.
Exemple Donner un vecteur directeur de la
droite d'équation $y=3x-1$
La droite d'équation $y=3x-1$ admet pour vecteur directeur $\vec u
\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$
Car $m=3$.
Méthode 4 Trouver un vecteur directeur d'une
droite d'équation $x=k$
Propriété Une droite d'équation $x=k$ a
pour vecteur directeur $\vec u
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.
Exemple Donner un vecteur directeur de la
droite d'équation $x=3$
La droite d'équation $x=3$ admet pour vecteur directeur $\vec u
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.
•
Droites parallèles
Propriété Deux droites sont parallèles
$\Leftrightarrow$
Leurs vecteurs directeurs sont colinéaires
Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires donc les droites
$d$ et
$d'$ sont parallèles.
Les vecteurs $\vec u$ et $\vec w$ ne sont pas colinéaires donc les
droites
$d$ et $d''$ ne sont pas parallèles et sont donc sécantes en un point.
Comment savoir si les droites $d_1$ et
$d_2$
de vecteurs directeurs respectifs $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et
$\vec{u} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont parallèles
Propriété Les droites $d_1$ et $d_2$
de vecteurs directeurs respectifs $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et
$\vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont parallèles $\Leftrightarrow
\vec{u}$ et $\vec{v}$
sont colinéaires $\Leftrightarrow \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}=0$
$\Leftrightarrow xy'-yx'=0$.
Rappel $\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y'
\end{vmatrix}$ s'appelle le déterminant
des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ et $\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y'
\end{vmatrix}=xy'-yx'$
Comment savoir si les droites $d_1$ et
$d_2$
d'équations respectives $y=mx+p$ et
$y=m'x+p'$ sont parallèles
Propriété les droites $d_1$ et
$d_2$
d'équations respectives $y=mx+p$ et
$y=m'x+p'$ sont parallèles $\Leftrightarrow m=m'$.
Droites parallèles et droites sécantes
Propriété Dans le plan, deux droites sont
soit parallèles, soit sécantes.
Deux droites parallèles sont soit
strictement parallèles soit confondues.
Deux droites sécantes signifie
qu'elles se coupent en $1$ point.
Exemple
Les droites $d$ et $d'$ de vecteurs
directeurs respectifs
$\vec u \begin{pmatrix} 4 \\ -5
\end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} -9 \\ 12
\end{pmatrix}$ sont-elles parallèles?
Méthode On regarde si les vecteurs $\vec
u$
et $\vec v$ sont colinéaires ou pas.
Pour cela on calcule leur déterminant:
Comme le déterminant ne vaut pas $0$, $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas
colinéaires
donc les droites $d$ et $d'$ ne sont pas parallèles. Donc ces droites sont
sécantes
en un point.
Exercice
1 Équation cartésienne de droite
On considère la droite $d$ d'équation $2x - 3y + 6 = 0$.
Donner les coordonnées d'un point de la droite $d$.
Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite $d$.
Tracer $d$ dans un repère orthonormé du plan.
Le point $\rm B(-20~;~15)$ appartient-il à la droite $d$ ?
Exercice 2:
Équation cartésienne de droite
On considère la droite $d$ d'équation $5x - 2y + 3 = 0$.
Parmi les points suivants, lesquels appartiennent à la droite $d$ ?
$\rm A(1~;4)$ $\rm B(2~;6,5)$ $\displaystyle\rm C\left(\frac{1}{4};
\frac{13}{6}\right)$
Quel point de la droite $d$ a pour abscisse $7$ ?
Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de $d$ avec l'axe des abscisses ?
Exercice
3: Équation cartésienne de droite
Dans un repère $({\rm O};\vec i;\vec j)$, on considère les points $\rm A$ et $\rm B$.
Dans chaque cas,
déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite $(\rm AB)$ puis une équation
cartésienne la droite $(\rm AB)$:
a) $\rm A(1;4)$ et $\rm B(-3;2)$ b) $\rm A(-2;5)$ et $\rm B(-2;-3)$
Exercice 4:
On donne les points $\rm A(-2~;~5)$ et $\rm B(1~;~3)$.
Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite $(\rm AB)$.
En déduire une équation cartésienne de la droite $\rm (AB)$.
Exercice 5: Vecteurs directeurs d'une droite
Dans le repère $(O~;~\vec{i}~,~\vec{j})$, lire pour chaque droite les coordonnées d'un vecteur
directeur.
Exercice 6:
Droites parallèles
Les droites $d_1$ et $d_2$, dont on donne des équations cartésiennes ci-dessous, sont-elles
parallèles ?
$d_1 : 4x -6y + 7 = 0$ et $ d_2 : -6x + 9y - 1 = 0$
Exercice 7:
Equation cartésienne de droites
On considère les points A, B, C dans le repère (O,I,J).
Déterminer un vecteur directeur de :
a) la droite (AB).
b) la droite (AC).
c) la droite (BC).
d) la droite passant par A et parallèle à (BC).
e) la médiane issue de C dans le triangle ABC.
f) la hauteur issue de B dans le triangle ABC.
Exercice 8:
QCM équation cartésienne de droite
Préciser en justifiant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses?
Toute droite a un vecteur directeur.
Toute droite a un coefficient directeur.
Si une droite a pour coefficient directeur $\dfrac45$ alors
elle admet $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -5\\ 4\end{pmatrix}$ comme vecteur directeur.
La droite d'équation $8x-4y+5=0$ admet $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1\\
2\end{pmatrix}$ comme vecteur directeur.
Si une droite a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 6\\
-9\end{pmatrix}$ alors elle admet $-\dfrac32$ comme coefficient directeur.
Exercice 9:
équation cartésienne de droite
Déterminer une équation cartésienne de:
la droite passant par A(-1;3) et de coefficient directeur -2.
la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par B(2;-3).
la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par B(-2;1).
la droite passant par C(-2;3) et parallèle à la droite d'équation $-2x+y+4=0$.
Exercice 10:
équation cartésienne de droite
ABC est un triangle. D est le milieu de [AB].
On considère les points E et F tels que:
$\overrightarrow{\rm AE}=\dfrac13\overrightarrow{\rm AC}$ et $\overrightarrow{\rm
BF}=\dfrac13\overrightarrow{\rm BC}$
On se place dans le repère (A,B,C).
Déterminer les coordonnées des points de la figure.
Déterminer une équation cartésienne des droites (AF), (BE) et (DC).
Déterminer l'intersection des droites (BE) et (AF).
Les droites (AF), (BE) et (DC) sont-elles concourantes? Justifier.
Exercice 11:
vecteur directeur d'une droite et équation cartésienne
Déterminer un vecteur directeur de:
la droite d'équation $-3x+2y-5=0$.
la droite d'équation $y=-2x+3$.
la droite d'équation $x=-4$.
la droite de coefficient directeur $-\dfrac23$.
Exercice 12:
point d'une droite et tracer
Déterminer deux points à coordonnées entières de chacune des droites suivantes puis tracer la droite.
la droite d'équation $-3x+2y-5=0$.
la droite d'équation $y=-2x+3$.
la droite d'équation $x=-4$.
la droite passant par A(-2;1) et de vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 10\\ -2\end{pmatrix}$.
la droite passant par B(2;5) et de coefficient directeur $-\dfrac23$.
la droite de coefficient directeur $-\dfrac45$ et d'ordonnée à l'origine -2.
Exercice 13:
centre de gravité d'un triangle
On considère la figure suivante:
Rappeler la définition du centre de gravité d'un triangle.
Déterminer une équation de la médiane issue de C du triangle ABC.
Déterminer une équation de la médiane issue de B du triangle ABC.
En déduire les coordonnées du centre de gravité du triangle ABC.
Exercice 14:
Droite dépendant d'un paramètre
Soit $m$ un réel quelconque. On appelle $D_m$ l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $(m-1)x-(m-3)y+4=0$.
Construire $D_2$.
Combien de droites $D_m$ passent par l'origine? Et par le point A(3;2)?
Déterminer $m$ pour que la droite $D_m$ soit parallèle à l'axe des ordonnées.
Déterminer $m$ pour que la droite $D_m$ soit parallèle à l'axe des abscisses.
Montrer que toutes les droites $D_m$ passent par un même point I dont on donnera les coordonnées.
Exercice 15:
équation de droite et graphique
Déterminer une équation de chacune des droites de la figure en justifiant.
Exercice 16:
équation de droite et graphique
Déterminer une équation de chacune des droites de la figure en justifiant.
Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment.
Ne pas dépasser la dose prescrite.
Posologie: 1 fois/jour la semaine avant le contrôle.
L'efficacité du traitement dépend d'une prise régulière.
Effet secondaire: Peut procurer du plaisir surtout en cas de réussite !
En cas de persistance des difficultés, arrêter le traitement pendant une nuit, puis reprendre le
lendemain.
