Equation cartésienne de droite

Conseils

Équations cartésiennes de droite

Cours Comprendre la notion d'

équation de courbe

•

Équation de courbe

Définition Une équation de courbe est une condition sur les coordonnées d'un point pour savoir si ce point appartient ou pas à la courbe.

Si les coordonnées du point vérifient l'équation

Si les coordonnées du point ne vérifient pas l'équation

Exemple Le point $\rm A(1,2)$ appartient-il à la courbe $\mathscr{C}$ d'équation $x^2+y^2=5$?

Exemple Le point $\rm B(1,3)$ appartient-il à la courbe $\mathscr{C}$ d'équation $x^2+y^2=5$?

Courbe d'une fonction

Cours Comprendre la

définition d'une droite

• Rappel: Vecteurs colinéaires

Définition Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l'un peut s'exprimer en fonction de l'autre.

Autrement dit, $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires

Le déterminant de $\vec u$ et $\vec v$

Comment savoir si deux vecteurs sont colinéaires

Exemple $\vec u \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\vec v \begin{pmatrix} 7 \\ 17 \end{pmatrix}$ sont-ils colinéaires?

• Définition d'une droite

Définition Une droite est définie par 1 point et un vecteur non nul appelé vecteur directeur de la droite.

Droite passant par deux points

Comment savoir si un point M appartient à une droite

Exemple Le point $\rm M\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ appartient-il à la droite $d$ passant par $\rm A\begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}$ et de vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} -9 \\ 12 \end{pmatrix}$?

Cours Comment trouver une équation cartésienne de droite

• Théorème fondamental

• Deux méthodes pour déterminer une équation cartésienne de droite

Méthode 1 Pour déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $\rm A(1,2)$ et de vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, on écrit

Méthode 2 Pour déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $\rm A(1,2)$ et de vecteur directeur $\vec u \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, on écrit

• Comment trouver un vecteur directeur - Les 4 techniques

Méthode 1 Trouver un vecteur directeur d'une droite connaissant deux points

Méthode 2 Trouver un vecteur directeur d'une droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$

Méthode 3 Trouver un vecteur directeur d'une droite d'équation réduite $y=mx+p$

Méthode 4 Trouver un vecteur directeur d'une droite d'équation $x=k$

•

Droites parallèles

Propriété Deux droites sont parallèles $\Leftrightarrow$ Leurs vecteurs directeurs sont colinéaires

Comment savoir si les droites $d_1$ et $d_2$ de vecteurs directeurs respectifs $\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{u} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont parallèles

Comment savoir si les droites $d_1$ et $d_2$ d'équations respectives $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ sont parallèles

Droites parallèles et droites sécantes

Exemple

Exercice

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1 : Équation cartésienne de droite

Déterminer une équation cartésienne de chacune des trois droites tracées ci-dessous :

Exercice

2 : Équation cartésienne de droite

$\rm A(-4;8)$ et $\rm B(-9;6)$ sont deux points.

Déterminer une équation de la droite $\rm (AB)$.
Justifier que les points $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C(20;3)$ ne sont pas alignés.
Donner l'ordonnée du point $\rm D$ d'abscisse $20$ qui appartient à la droite $\rm (AB)$.

Exercice

3 : Équation cartésienne de droite

On considère la droite $d$ d'équation $2x - 3y + 6 = 0$.

Donner les coordonnées d'un point de la droite $d$.
Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite $d$.
Tracer $d$ dans un repère orthonormé du plan.
Le point $\rm B(-20~;~15)$ appartient-il à la droite $d$ ?

Exercice 4:

: Équation cartésienne de droite

On considère la droite $d$ d'équation $5x - 2y + 3 = 0$.

Parmi les points suivants, lesquels appartiennent à la droite $d$ ? $\rm A(1~;4)$ $\rm B(2~;6,5)$ $\displaystyle\rm C\left(\frac{1}{4}; \frac{13}{6}\right)$
Quel point de la droite $d$ a pour abscisse $7$ ?
Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de $d$ avec l'axe des abscisses ?

Exercice

5 : Équation cartésienne de droite

Dans un repère $({\rm O};\vec i;\vec j)$, on considère les points $\rm A$ et $\rm B$.
Dans chaque cas, déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite $(\rm AB)$ puis une équation cartésienne la droite $(\rm AB)$:
a) $\rm A(1;4)$ et $\rm B(-3;2)$ b) $\rm A(-2;5)$ et $\rm B(-2;-3)$

Exercice 6:

On donne les points $\rm A(-2~;~5)$ et $\rm B(1~;~3)$.

Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite $(\rm AB)$.
En déduire une équation cartésienne de la droite $\rm (AB)$.

Exercice 7: Vecteurs directeurs d'une droite

Dans le repère $(O~;~\vec{i}~,~\vec{j})$, lire pour chaque droite les coordonnées d'un vecteur directeur.

Exercice 8:

Droites parallèles

Les droites $d_1$ et $d_2$, dont on donne des équations cartésiennes ci-dessous, sont-elles parallèles ?
$d_1 : 4x -6y + 7 = 0$ et $ d_2 : -6x + 9y - 1 = 0$

Exercice 9:

Equation cartésienne de droites

On considère les points A, B, C dans le repère (O,I,J).

Déterminer un vecteur directeur de :
a) la droite (AB).
b) la droite (AC).
c) la droite (BC).
d) la droite passant par A et parallèle à (BC).
e) la médiane issue de C dans le triangle ABC.
f) la hauteur issue de B dans le triangle ABC.

Exercice 10:

QCM équation cartésienne de droite

Préciser en justifiant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses?

Toute droite a un vecteur directeur.
Toute droite a un coefficient directeur.
Si une droite a pour coefficient directeur $\dfrac45$ alors elle admet $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -5\\ 4\end{pmatrix}$ comme vecteur directeur.
La droite d'équation $8x-4y+5=0$ admet $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}$ comme vecteur directeur.
Si une droite a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 6\\ -9\end{pmatrix}$ alors elle admet $-\dfrac32$ comme coefficient directeur.

Exercice 11:

équation cartésienne de droite

Déterminer une équation cartésienne de:

la droite passant par A(-1;3) et de coefficient directeur -2.
la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par B(2;-3).
la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par B(-2;1).
la droite passant par C(-2;3) et parallèle à la droite d'équation $-2x+y+4=0$.

Exercice 12:

équation cartésienne de droite

ABC est un triangle. D est le milieu de [AB]. On considère les points E et F tels que: $\overrightarrow{\rm AE}=\dfrac13\overrightarrow{\rm AC}$ et $\overrightarrow{\rm BF}=\dfrac13\overrightarrow{\rm BC}$

On se place dans le repère (A,B,C).

Déterminer les coordonnées des points de la figure.
Déterminer une équation cartésienne des droites (AF), (BE) et (DC).
Déterminer l'intersection des droites (BE) et (AF).
Les droites (AF), (BE) et (DC) sont-elles concourantes? Justifier.

Exercice 13:

vecteur directeur d'une droite et équation cartésienne

Déterminer un vecteur directeur de:

la droite d'équation $-3x+2y-5=0$.
la droite d'équation $y=-2x+3$.
la droite d'équation $x=-4$.
la droite de coefficient directeur $-\dfrac23$.

Exercice 14:

point d'une droite et tracer

Déterminer deux points à coordonnées entières de chacune des droites suivantes puis tracer la droite.

la droite d'équation $-3x+2y-5=0$.
la droite d'équation $y=-2x+3$.
la droite d'équation $x=-4$.
la droite passant par A(-2;1) et de vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 10\\ -2\end{pmatrix}$.
la droite passant par B(2;5) et de coefficient directeur $-\dfrac23$.
la droite de coefficient directeur $-\dfrac45$ et d'ordonnée à l'origine -2.

Exercice 15:

centre de gravité d'un triangle

On considère la figure suivante:

Rappeler la définition du centre de gravité d'un triangle.
Déterminer une équation de la médiane issue de C du triangle ABC.
Déterminer une équation de la médiane issue de B du triangle ABC.
En déduire les coordonnées du centre de gravité du triangle ABC.

Exercice 16:

Droite dépendant d'un paramètre

Soit $m$ un réel quelconque. On appelle $D_m$ l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $(m-1)x-(m-3)y+4=0$.

Construire $D_2$.
Combien de droites $D_m$ passent par l'origine? Et par le point A(3;2)?
Déterminer $m$ pour que la droite $D_m$ soit parallèle à l'axe des ordonnées.
Déterminer $m$ pour que la droite $D_m$ soit parallèle à l'axe des abscisses.
Montrer que toutes les droites $D_m$ passent par un même point I dont on donnera les coordonnées.

Exercice 17: