limite d'une somme

Conseils

Limite d'une somme de termes consécutifs d'une suite

Exercice 1: Limite d'une suite géométrique - Limite d'une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique

Déterminer $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left( \dfrac 13 \right)^n$
Déterminer $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 1+\dfrac13+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^n}$
On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n=1+x+...+x^n$ où $x$ est un nombre réel.
Déterminer la limite de $(u_n)$ selon les valeurs de $x$.

Exercice 2: Limite d'une somme - suite

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\ge 1$ par $u_n=1+\dfrac 1{\sqrt 2}+\dfrac 1{\sqrt 3}+...+\dfrac 1{\sqrt n}$

Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 1$, $u_n\geqslant \sqrt n$.
En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

Exercice 3: Limite d'une somme 1+1/2²+1/3²+....+1/n²

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par $u_n=1+\dfrac 1 {2^2}+\dfrac 1 {3^2}+...+\dfrac 1{n^2}$

Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $u_n\leqslant 2-\dfrac 1n$.
Que peut-on en déduire?

Exercice 4: Problème ouvert - D'après sujet de Bac

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par : $u_n=\sum\limits_{\substack{k=n}}^{2n}{\dfrac 1k}=\dfrac 1n+\dfrac 1{n+1}+...+\dfrac 1{2n}$
Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente.

Exercice 5: Limite d'une somme - Somme télescopique - 1/12+1/23+.../n(n+1)

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par $u_n=\dfrac 1{1\times 2}+\dfrac 1{2\times 3}+...+\dfrac 1{n(n+1)}$.

Vérifier que pour tout entier $k\geqslant 1$, $\dfrac 1k-\dfrac{1}{k+1}=\dfrac{1}{k(k+1)}$.
En déduire que pour tout entier $n\geqslant 1$, $u_n=1-\dfrac 1{n+1}$.
En déduire la limite de la suite $(u_n)$.