Limite d'une somme de termes consécutifs d'une suite

1. Déterminer \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left( \dfrac 13 \right)^n\)
2. Déterminer \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 1+\dfrac13+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^n}\)
3. On considère la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n=1+x+...+x^n\) où \(x\) est un nombre réel.
   Déterminer la limite de \((u_n)\) selon les valeurs de \(x\).

Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout entier \(n\ge 1\) par \(u_n=1+\dfrac 1{\sqrt 2}+\dfrac 1{\sqrt 3}+...+\dfrac 1{\sqrt n}\)

1. Démontrer que pour tout entier \(n\geqslant 1\), \(u_n\geqslant \sqrt n\).
2. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout entier \(n\geqslant 1\) par \(u_n=1+\dfrac 1 {2^2}+\dfrac 1 {3^2}+...+\dfrac 1{n^2}\)

1. Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\), \(u_n\leqslant 2-\dfrac 1n\).
3. Que peut-on en déduire?

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par : \(u_n=\sum\limits_{\substack{k=n}}^{2n}{\dfrac 1k}=\dfrac 1n+\dfrac 1{n+1}+...+\dfrac 1{2n}\)
Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente.

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier \(n\geqslant 1\) par \(u_n=\dfrac 1{1\times 2}+\dfrac 1{2\times 3}+...+\dfrac 1{n(n+1)}\).

1. Vérifier que pour tout entier \(k\geqslant 1\), \(\dfrac 1k-\dfrac{1}{k+1}=\dfrac{1}{k(k+1)}\).
2. En déduire que pour tout entier \(n\geqslant 1\), \(u_n=1-\dfrac 1{n+1}\).
3. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).