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Limite de Suite ♦ Problèmes

Conseils
Limite de Suite $u_{n+1}=f(u_n)$ ♦ Problèmes ♦ Théorème du point fixe

Exercice 1: limite d'une suite par 2 méthodes : par récurrence et à l'aide d'une suite géométrique

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par: \(\left\{ \begin{array}{l} u_0=0\\ u_{n+1}=\dfrac 13 u_n+4 \end{array}\right.\)
  1. PARTIE 1: Conjectures
    1. Sur un même graphique, tracer les droites d'équation \(y=x\) et \(y=\dfrac 13 x+4\).
    2. Déterminer graphiquement, \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
    3. Déterminer par le calcul, \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\). Les résultats sont-ils cohérents?
    4. Conjecturer le sens de variation de la suite \((u_n)\).
    5. Conjecturer la limite de la suite \((u_n)\).
  2. PARTIE 2: Démonstration des conjectures par une première méthode
    1. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(0\leqslant u_n \leqslant 6\).
    2. Démontrer la conjecture du 1.d)
    3. Démontrer la conjecture du 1.e)
  3. PARTIE 3: Démonstration des conjectures par une seconde méthode
    On considère la suite \((v_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(v_n=u_n-6\).
    1. Déterminer \(v_0\), \(v_1\), \(v_2\).
    2. Conjecturer la nature de la suite \((v_n)\).
    3. Démontrer cette conjecture.
    4. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\). Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
    5. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

Exercice 2: limite u(n+1)=f(un) - suite convergente - limite solution d'une équation

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(\left\{ \begin{array}{l} u_0=24\\ u_{n+1}=\sqrt{u_n+12} \end{array}\right.\)
  1. PARTIE 1: Étude de la convergence
    1. Déterminer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) à 0,1 près.
    2. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\geqslant 4\).
    3. Démontrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.
    4. En déduire que la suite \((u_n)\) converge.
  2. PARTIE 2: Déterminer la limite de la suite
    Soit \(\ell\) la limite de la suite \((u_n)\).
    1. Démontrer que \(\ell\) est solution de l'équation \(\ell^2=\ell+12\).
    2. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
  3. PARTIE 3: Déterminer la limite par une deuxième méthode
    1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}-4=\dfrac{u_n-4}{\sqrt{u_n+12}+4}\)
    2. En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}-4 \leqslant \dfrac 18 (u_n-4)\)
    3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(0 \leqslant u_n-4 \leqslant \dfrac {20}{8^n}\)
    4. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

Exercice 3: limite de la suite de héron - un+1=f(un) rapidité de convergence - un+1=1/2(un+2/un)

  1. PARTIE 1: Étude d'une fonction \(f\)
    On considère la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac 12(x+\dfrac 2x)\).
    1. Justifier que \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\).
    2. Déterminer les variations de \(f\) sur \(]0;+\infty[\).
    3. Démontrer que si \(x\geqslant \sqrt{2}\) alors \(f(x)\geq \sqrt{2}\).
  2. PARTIE 2: Étude de la suite \((u_n)\)
    On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(\left\{ \begin{array}{l} u_0=2\\ u_{n+1}=f(u_n) \end{array}\right.\)
    1. Déterminer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) à 0,1 près.
    2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n}\).
    3. En déduire que \((u_n)\) est convergente.
    4. On note \(\ell\) la limite de la suite \( (u_n)\). Démontrer que \(\ell\) est solution de l'équation \(\ell=\dfrac 12 (\ell+\dfrac 2{\ell})\).
    5. En déduire la valeur de \(\ell\).
    6. Que faut-il changer à la définition de la suite \((u_n)\) pour qu'elle converge vers \(\sqrt{3}\).
  3. PARTIE 3: Rapidité de convergence
    1. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}-\sqrt 2=\dfrac{1}{2u_n}(u_n-\sqrt 2)^2\).
    2. En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}-\sqrt 2 \leqslant \dfrac 12 (u_n-\sqrt 2)^2\).
    3. Démontrer par récurrence que pour tout entier \(n \geqslant 1\), \(u_n-\sqrt 2 \le \left(\dfrac 12\right)^{2^n}(u_0-\sqrt 2)\)
    4. Quelle valeur de \(n\) faut-il choisir pour que \(u_n\) soit une valeur approchée de \(\sqrt 2\) à \(10^{-3}\) près.

Exercice 4: Suites croisées

Soient ($a_n$) et ($b_n$) deux suites telles que $a_0>0$ et $b_0>0$ et pour tout entier naturel $n$: \(a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}\)   et   \(b_{n+1}=\dfrac{a_n\times b_n}{a_n+b_n}\)
  1. Démontrer que ($a_n$) et ($b_n$) sont deux suites strictement positives.
  2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : \(a_{n+1}-b_{n+1}=\dfrac{{a_n}^2+{b_n}^2}{2(a_n+b_n)}\).
  3. En déduire le signe de $a_n-b_n$ pour $n\geqslant 1$.
  4. Démontrer que les suites ($a_n$) et ($b_n$) sont décroissantes à partir du rang 1.
  5. Démontrer que les suites ($a_n$) et ($b_n$) sont convergentes vers une même limite que l'on précisera.


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