Limite de Suite un+1=f(un) Théorème du point fixe Problème

Conseils

Limite de Suite $u_{n+1}=f(u_n)$ ♦ Problèmes ♦ Théorème du point fixe

Exercice 1: limite d'une suite par 2 méthodes : par récurrence et à l'aide d'une suite géométrique

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: $\left\{ \begin{array}{l} u_0=0\\ u_{n+1}=\dfrac 13 u_n+4 \end{array}\right.$

PARTIE 1: Conjectures
1. Sur un même graphique, tracer les droites d'équation $y=x$ et $y=\dfrac 13 x+4$.
2. Déterminer graphiquement, $u_1$, $u_2$, $u_3$.
3. Déterminer par le calcul, $u_1$, $u_2$, $u_3$. Les résultats sont-ils cohérents?
4. Conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
5. Conjecturer la limite de la suite $(u_n)$.
PARTIE 2: Démonstration des conjectures par une première méthode
1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_n \leqslant 6$.
2. Démontrer la conjecture du 1.d)
3. Démontrer la conjecture du 1.e)
PARTIE 3: Démonstration des conjectures par une seconde méthode
On considère la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n=u_n-6$.
1. Déterminer $v_0$, $v_1$, $v_2$.
2. Conjecturer la nature de la suite $(v_n)$.
3. Démontrer cette conjecture.
4. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
5. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

Exercice 2: limite u(n+1)=f(un) - suite convergente - limite solution d'une équation

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left\{ \begin{array}{l} u_0=24\\ u_{n+1}=\sqrt{u_n+12} \end{array}\right.$

PARTIE 1: Étude de la convergence
1. Déterminer $u_1$, $u_2$, $u_3$ à 0,1 près.
2. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant 4$.
3. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
4. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.
PARTIE 2: Déterminer la limite de la suite
Soit $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$.
1. Démontrer que $\ell$ est solution de l'équation $\ell^2=\ell+12$.
2. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
PARTIE 3: Déterminer la limite par une deuxième méthode
1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-4=\dfrac{u_n-4}{\sqrt{u_n+12}+4}$
2. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-4 \leqslant \dfrac 18 (u_n-4)$
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n-4 \leqslant \dfrac {20}{8^n}$
4. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

Exercice 3: limite de la suite de héron - un+1=f(un) rapidité de convergence - un+1=1/2(un+2/un)

PARTIE 1: Étude d'une fonction $f$
On considère la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac 12(x+\dfrac 2x)$.
1. Justifier que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
2. Déterminer les variations de $f$ sur $]0;+\infty[$.
3. Démontrer que si $x\geqslant \sqrt{2}$ alors $f(x)\geq \sqrt{2}$.
PARTIE 2: Étude de la suite $(u_n)$
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left\{ \begin{array}{l} u_0=2\\ u_{n+1}=f(u_n) \end{array}\right.$
1. Déterminer $u_1$, $u_2$, $u_3$ à 0,1 près.
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n}$.
3. En déduire que $(u_n)$ est convergente.
4. On note $\ell$ la limite de la suite $ (u_n)$. Démontrer que $\ell$ est solution de l'équation $\ell=\dfrac 12 (\ell+\dfrac 2{\ell})$.
5. En déduire la valeur de $\ell$.
6. Que faut-il changer à la définition de la suite $(u_n)$ pour qu'elle converge vers $\sqrt{3}$.
PARTIE 3: Rapidité de convergence
1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-\sqrt 2=\dfrac{1}{2u_n}(u_n-\sqrt 2)^2$.
2. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-\sqrt 2 \leqslant \dfrac 12 (u_n-\sqrt 2)^2$.
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_n-\sqrt 2 \le \left(\dfrac 12\right)^{2^n}(u_0-\sqrt 2)$
4. Quelle valeur de $n$ faut-il choisir pour que $u_n$ soit une valeur approchée de $\sqrt 2$ à $10^{-3}$ près.

Exercice 4: Suites croisées

Soient ($a_n$) et ($b_n$) deux suites telles que $a_0>0$ et $b_0>0$ et pour tout entier naturel $n$: $a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}$ et $b_{n+1}=\dfrac{a_n\times b_n}{a_n+b_n}$

Démontrer que ($a_n$) et ($b_n$) sont deux suites strictement positives.
Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $a_{n+1}-b_{n+1}=\dfrac{{a_n}^2+{b_n}^2}{2(a_n+b_n)}$.
En déduire le signe de $a_n-b_n$ pour $n\geqslant 1$.
Démontrer que les suites ($a_n$) et ($b_n$) sont décroissantes à partir du rang 1.
Démontrer que les suites ($a_n$) et ($b_n$) sont convergentes vers une même limite que l'on précisera.

Limite de Suite ♦ Problèmes

Exercice 1: limite d'une suite par 2 méthodes : par récurrence et à l'aide d'une suite géométrique

Exercice 2: limite u(n+1)=f(un) - suite convergente - limite solution d'une équation

Exercice 3: limite de la suite de héron - un+1=f(un) rapidité de convergence - un+1=1/2(un+2/un)

Exercice 4: Suites croisées