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Exercices 1: Est-ce une forme indéterminée? Trouver la limite de la suite -
somme
Dans chaque cas, on donne la limite de \(u_n\) et \(v_n\).
Déterminer si possible, \[\lim_{n \to +\infty}(u_n+v_n)\] et \[\lim_{n \to +\infty}(u_n-v_n)\].
a) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=+\infty \\
\end{array}\right.\]
b) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\
\end{array}\right.\]
c) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\
\end{array}\right.\]
d) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-4 \\
\end{array}\right.\]
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Exercices 2: Déterminer la
limite d'un
produit
de 2 suites à l'aide des tableaux - forme indéterminée
Dans chaque cas, on donne la limite de \(u_n\) et \(v_n\).
Déterminer si possible, \[\lim_{n \to +\infty}(u_n\times v_n)\] et \[\lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n}\].
a) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=+\infty \\
\end{array}\right.\]
b)\[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-3 \\
\end{array}\right.\]
c) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=3 \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\
\end{array}\right.\]
d) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=0 \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\
\end{array}\right.\]
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Exercices 3: Déterminer la
limite d'un
quotient lorsque le dénominateur tend vers 0
Dans chaque cas, on donne la limite de \(u_n\) et \(v_n\) et le signe de \(v_n\).
Déterminer si possible, \[\lim_{n \to +\infty}(u_n\times v_n)\] et \[\lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n}\].
a) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=0 \\
v_n>0
\end{array}\right.\]
b) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-4\\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=0 \\
v_n<0
\end{array}\right.\]
c) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=0 \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=0 \\
v_n>0
\end{array}\right.\]
Exercices
4:
suite arithmético-géométrique - exercice type contrôle & type bac -
terminale spé
maths
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=10$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,5u_n+3$.
- Démontrer que $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni
géométrique.
- $(v_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$
par $v_n=u_n-6$.
- Démontrer que $(v_n)$ est géométrique.
- En déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en
fonction de $n$.
- En déduire la limite de $(u_n)$
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Exercices 5: Déterminer la
limite d'une suite - Reconnaitre une
forme indéterminée
A l'aide des tableaux de la somme, du produit et du quotient, déterminer si possible
\[\lim_{n \to +\infty}u_n \].
| a) \(u_n=n^2+n\) |
b) \(u_n=n^2-n\) |
c) \(u_n=\frac 2{n+2}\) |
| d) \(u_n=\frac{3}{2-n^2}\) |
e) \(u_n=\frac{n^2+2}{n+1}\) |
f) \(u_n=\frac{3}{0.5^n}\) |
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Exercices 6:
limite et
suite géométrique -
forme indéterminée
Déterminer les limites éventuelles suivantes: \[\lim_{n \to
+\infty}2^n-3^n\]
\[\lim_{n \to +\infty}\frac {2^n+5^n}{7^n}\]
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Exercices 7:
limite et
forme indéterminée -
factoriser par le terme de plus haut degré
Dans chaque cas, déterminer la limite éventuelle de la suite \((u_n)\):
\[a)~u_n=n^3-3n^2\]
\[b)~u_n=\frac{n^2-2n}{n+1}\]
\[c)~u_n=\frac{n^2+n}{1-n^2}\]
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Exercices 8:
limite et
forme indéterminée -
factoriser par le terme de plus haut degré
Soit la suite $u$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n=n^3-3n^2+5$.
1) Déterminer \[\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n\].
2) Pour un réel A, on souhaite déterminer le plus petit rang $n$ pour lequel $u_n\ge {\rm A}$.
Construire un algorithme permettant de résoudre ce problème.
Exercices 9:
limite et
forme indéterminée -
factoriser par le terme prépondérant
Dans chaque cas, déterminer la limite éventuelle de la suite \(u\):
\[a)~u_n=n-\sqrt{n}\]
\[b)~u_n=3+\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}\]
\[c)~u_n=\frac {4n-3}{n^2+5}\]
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Exercices 10: Déterminer la
limite d'une suite à l'aide d'un
encadrement -
Théorème des gendarmes
Dans chaque cas, déterminer la limite éventuelle de la suite \((u_n)\):
\[a)~u_n=\frac{(-1)^n}{n+2}\]
\[b)~u_n=n-\cos (n)\]
\[c)~u_n=\frac{n^2+\sin (n)}{n+5}\]
Indication:
Encadre (-1)n
Exercices 11: Démontrer qu'une
suite n'a pas de limite
(-1)^n
Démontrer que la suite \(((-1)^n)\) ne converge pas. On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.
Exercices 12:
Limite d'une géométrique -
Limite d'une somme
d'une suite géométrique
- Déterminer \[\lim_{n \to +\infty}\left( \frac 13 \right)^n\]
- Déterminer \[\lim_{n \to +\infty}
1+\frac13+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^n}\]
- On considère la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n=1+x+...+x^n\) où \(x\) est un
nombre réel.
Déterminer la limite de \((u_n)\) selon les valeurs de \(x\).
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Exercices 14:
Limite d'une somme -
1+1/√2+1/√3+...+1/√n
Indication:
Cherche le plus petit terme de cette somme
Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout entier \(n\ge 1\) par \[u_n=1+\frac
1{\sqrt 2}+\frac 1{\sqrt 3}+...+\frac 1{\sqrt n}\].
1) Démontrer que pour tout entier \(n\ge 1\), \(u_n\ge \sqrt n\).
2) En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
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Exercices 15:
Problème ouvert - D'après sujet de Bac
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par: \[u_n=\sum\limits_{\substack{k=n}}^{2n}{\frac 1k}=\frac 1n+\frac 1{n+1}+...+\frac
1{2n}\]
Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
Exercices 16:
Limite d'une somme - suite téléscopique -
1/1*2+1/2*3+.../n(n+1)
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier \(n\ge 1\) par \[u_n=\frac
1{1\times 2}+\frac 1{2\times 3}+...+\frac 1{n(n+1)}\].
1) Vérifier que pour tout entier \(k\ge 1\), \[\frac
1k-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{k(k+1)}\].
2) En déduire que pour tout entier \(n\ge 1\), \[u_n=1-\frac 1{n+1}\].
3) En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
Exercices 17: Suite croissante non
convergente
On considère une suite \((u_n)\) croissante qui n'est pas convergente.
1) Démontrer que la suite \((u_n)\) n'est pas majorée.
2) En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
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Exercices 18:
suite croissante non majorée - u(n+1)=u(n)^2
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par:
\[\left\{ \begin{array}{l}
u_0=2\\
u_{n+1}={u_n}^2
\end{array}\right.\]
1) Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\ge 2\).
2) Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
3) Démontrer que la suite \((u_n)\) n'est pas majorée. On pourra raisonner par l'absurde.
Indication:
Suppose la suite majorée
Puis trouve la limite
4) En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
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Exercices 19:
suite arithmético-géométrique $u_{n+1}=f(u_n)$
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=0$ et pour
tout entier naturel $n$, $\displaystyle u_{n+1}=\frac 12 u_n+1$.
-
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 2$.
-
En déduire que $(u_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
-
Déterminer la valeur de $\ell$.
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Exercices 20:
...≤ un ≤... encadrer
limite d'une suite - encadrement - suite convergente
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par:
\[\left\{ \begin{array}{l}
u_0=0\\
u_{n+1}=\frac 13 u_n+4
\end{array}\right.\]
PARTIE 1: Conjectures
1.a) Sur un même graphique, tracer les droites d'équation \(y=x\) et \(y=\frac 13 x+4\).
1.b) Déterminer graphiquement, \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
1.c) Déterminer par le calcul, \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\). Les résultats sont-ils cohérents?
1.d) Conjecturer le sens de variation de la suite \((u_n)\).
1.e) Conjecturer la limite de la suite \((u_n)\).
PARTIE 2: Démonstration des conjectures
2.a) Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(0\le u_n \le 6\).
2.b) Démontrer la conjecture du 1.d)
Indication: utilise la question précédente
2.c) Démontrer la conjecture du 1.e)
Indication:
• Démontre que (
un) est convergente
• Appelle
ℓ la limite de (
un)
• Trouve la limite de
un+1 et de
1
/
3
un+4 en fonction de
ℓ
PARTIE 3: Démonstration des conjectures par une seconde méthode
On considère la suite \((v_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(v_n=u_n-6\).
3.a) Déterminer \(v_0\), \(v_1\), \(v_2\).
3.b) Conjecturer la nature de la suite \((v_n)\).
3.c) Démontrer cette conjecture.
3.d) Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\). Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
3.e) En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
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Exercices 21:
suite arithmético-géométrique - sujet bac Pondichéry
2015 exercice 2
Soit $(u_n)$ la suite définie par son premier terme $u_0$ et, pour tout entier naturel $n$, par la
relation:
$u_{n+1} = a u_n +b$ ($a$ et $b$ réels non nuls tels que $a\ne 1$).
On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n−\frac{b}{1− a}$.
1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$.
2. En déduire que si $a$ appartient à l’intervalle ]−1 ; 1[, alors la suite $(u_n)$ a pour
limite $\frac{b}{1− a}$.
3. On considère la suite $(h_n)$ définie par $h_0=80$ et pour tout entier naturel $n$,
$h_{n+1}=0.75h_n+30$.
La suite $(h_n)$ est-elle convergente? Justifier.
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Exercices 22:
Suite auxiliaire géométrique -
limite - formule explicite
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=8$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=0.5
u_n+4n-3$.
Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-8n+22$.
A l'aide d'un tableur, on obtient:
| |
A |
B |
C |
| 1 |
$n$ |
$u_n$ |
$v_n$ |
| 2 |
0 |
8 |
30 |
| 3 |
1 |
1 |
15 |
| 4 |
2 |
1.5 |
7.5 |
| 5 |
3 |
5.75 |
3.75 |
1) Conjecturer une expression explicite de $v_n$, puis démontrer cette conjecture.
2) En déduire une expression explicite de $u_n$, puis indiquer si la suite $(u_n)$ est convergente.
Exercices 23:
inégalité de Bernoulli -
limite d'une suite
géométrique selon la valeur de q
\(x\) est un réel positif.
1) Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \((1+x)^n\ge 1+nx\)
2) En déduire la limite de la suite \((q^n)\) où \(q>1\).
3) On cherche maintenant la limite de \((q^n)\) où \(0<q<1\).
a) On pose \(p=\frac 1q\). Déterminer \[\lim_{n \to
+\infty}p^n\].
b) En déduire \[\lim_{n \to +\infty}q^n\].
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Exercices 24:
Limite d'une somme 1+1/2²+1/3²+....+1/n²
Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout entier \(n\ge 1\) par \[u_n=1+\frac 1
{2^2}+\frac 1 {3^2}+...+\frac 1{n^2}\]
1) Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\ge 1\), \[u_n\le
2-\frac 1n\].
3) Que peut-on en déduire?
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Exercices 25:
Limite d'une suite -
$u_{n+1}=f(u_n)$ - graphique variation récurrence limite
$(v_n)$ est la suite définie par $v_0=0$ et pour tout entier naturel $n$,
$v_{n+1}=\sqrt{3v_n+4}$.
- Déterminer une fonction $f$ définie sur $\left[-\frac 43;+\infty\right[$ telle que pour tout
entier naturel $n$, $v_{n+1}=f(v_n)$.
- Voici ci-dessous, dans un repère orthonormé, la courbe de $f$ et de la droite d'équation $y=x$.
Expliquer comment représenter $v_1$, $v_2$ puis $v_3$ sur l'axe des abscisses.
- Conjecturer le sens de variation, un majorant et un minorant de la suite $(v_n)$.
- Démontrer par récurrence les conjectures de la question 3.
-
En déduire que la suite $(v_n)$ est convergente et déterminer algébriquement sa limite $\ell$.
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Exercices 26:
Limite d'une suite -
Bac S 2019 Nouvelle
calédonie - suite géométrique - suite homographique - un+1=2+3/un
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par $\displaystyle
u_{n+1}=\frac{u_n}{u_n+8}$.
- Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$.
- Étudier les variations de la suite $(u_n)$.
- La suite $(u_n)$ est-elle convergente ? Justifier.
- Pour tout entier naturel $n$, on pose $\displaystyle v_n=1+\frac 7{u_n}$.
-
- Montrer que $(v_n)$ est géométrique et préciser la raison et $v_0$.
- Exprimer pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
-
En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
- Déterminer, après avoir justifié son existence, le plus petit entier naturel $n_0$ tel
que, pour tout entier naturel
$n$ supérieur ou égal à $n_0$ , $u_n < 10^{-18}$ .
Exercices 27: limite
u(n+1)=f(un) - suite convergente -
limite solution d'une équation u(n+1)=√(un+12)
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par
\[\left\{ \begin{array}{l}
u_0=24\\
u_{n+1}=\sqrt{u_n+12}
\end{array}\right.\]
PARTIE 1: Étude de la convergence
1.a) Déterminer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) à 0.1 près.
1.b) Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\geqslant 4\).
1.c) Démontrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.
1.d) En déduire que la suite \((u_n)\) converge.
PARTIE 2: Déterminer la limite
Soit \(l\) la limite de la suite \((u_n)\).
2.a) Démontrer que \(l\) est solution de l'équation \(l^2=l+12\).
2.b) En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
PARTIE 3: Déterminer la limite par une deuxième méthode
3.a) Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+1}-4=\frac{u_n-4}{\sqrt{u_n+12}+4}\]
3.b) En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+1}-4
\leqslant \frac 18 (u_n-4)\].
3.c) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \[0 \leqslant u_n-4 \leqslant \frac {20}{8^n}\].
3.d) En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
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Exercices 28: limite
u(n+1)=f(un) - suite convergente -
limite solution d'une équation - un+1=1/10*un(20-un)
Indication:
• Soit
ℓ la limite de (
un)
• Trouve la limite de
un+1 et de
1
/
10
un(20-
un) en fonction de
ℓ
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par
\[\left\{ \begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=\frac {1}{10} u_n(20-u_n)
\end{array}\right.\]
- Soit la fonction \(f\) définie sur [0;20] par \[f(x)=\frac
{1}{10}x(20-x)\].
a) Étudier les variations de \(f\) sur [0;20].
b) En déduire que si \(x\in[0;10]\), alors \(f(x)\in [0;10]\).
- Déterminer \(u_1\), \(u_2\).
- Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(0\le u_n \le u_{n+1} \le 10\).
- En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.
- On note \(l\) la limite de la suite \((u_n)\).
a) Démontrer que \(l\) est solution de l'équation \[l=\frac{1}{10}l(20-l)\].
b) Résoudre cette équation et en déduire la valeur de \(l\).
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Exercices 29: Suites croisées
Soient ($a_n$) et ($b_n$) deux suites telles que $a_0>0$ et $b_0>0$ et pour tout entier naturel
$n$:
\[a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\] et \[b_{n+1}=\frac{a_n\times b_n}{a_n+b_n}\].
1) Démontrer que ($a_n$) et ($b_n$) sont deux suites strictement positives.
2) Démontrer que pour tout entier naturel $n$: \[a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{{a_n}^2+{b_n}^2}{2(a_n+b_n)}\].
3) En déduire le signe de $a_n-b_n$ pour $n\ge 1$.
4) Démontrer que les suites ($a_n$) et ($b_n$) sont décroissantes à partir du rang 1.
5) Démontrer que les suites ($a_n$) et ($b_n$) sont convergentes vers une même limite que l'on précisera.
Exercices 30: limite de la
suite de héron -
un+1=f(un) rapidité de convergence - un+1=1/2(un+2/un)
PARTIE 1: Étude d'une fonction \(f\)
On considère la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \[f(x)=\frac 12(x+\frac 2x)\].
1.a) Justifier que \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\).
1.b) Déterminer les variations de \(f\) sur \(]0;+\infty[\).
1.c) Démontrer que si \(x\ge \sqrt{2}\) alors \(f(x)\ge \sqrt{2}\).
PARTIE 2: Étude de la suite \((u_n)\)
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(\left\{ \begin{array}{l}
u_0=2\\
u_{n+1}=f(u_n)
\end{array}\right.\)
2.a) Déterminer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) à 0.1 près.
2.b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(\sqrt{2}\le u_{n+1}\le u_{n}\).
2.c) En déduire que \((u_n)\) est convergente.
2.d) On note \(l\) la limite de la suite \(u\). Démontrer que \(l\) est solution de l'équation \[l=\frac 12 (l+\frac 2l)\].
2.e) En déduire la valeur de \(l\).
2.f) Que faut-il changer à la définition de la suite \((u_n)\) pour qu'elle converge vers \(\sqrt{3}\).
PARTIE 3: Rapidité de convergence
3.a) Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+1}-\sqrt 2=\frac{1}{2u_n}(u_n-\sqrt 2)^2\].
3.b) En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \[u_{n+1}-\sqrt 2 \le \frac 12 (u_n-\sqrt 2)^2\].
3.c) Démontrer par récurrence que pour tout entier \(n \ge 1\), \[u_n-\sqrt 2 \le \left(\frac 12\right)^{2^n}(u_0-\sqrt 2)\]
4.d) Quelle valeur de \(n\) faut-il choisir pour que \(u_n\) soit une valeur approchée de \(\sqrt 2\) à \(10^{-3}\) près.
Exercices 31: vrai/faux - suite convergente - majorée - croissante - limite
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant:
1. Si deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont strictement positives et convergent alors la suite \[\left(\frac {u_n}{v_n}\right)\] converge.
2. Si pour tout entier naturel $n$, $u_n\le 2$ alors \[\frac 1 {u_n}\ge \frac 12\].
3. Si la suite $(u_n)$ est croissante et strictement négative alors la suite \[\left(\frac 1 {u_n}\right)\] est décroissante.
4. Si pour tout entier $n\ge 1$, $|u_n-5|\le \frac 1n$ alors la suite $(u_n)$ converge vers 5.
5. Si la suite $(u_n)$ n'est pas majorée, alors \[\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty\].
6. Si \[\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty\] alors la suite $(u_n)$ n'est pas majorée.
Exercices 32: vrai/faux - suite convergente - majorée - croissante - limite
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant:
1. Si une suite est décroissante minorée alors elle est convergente.
2. Si une suite est croissante et convergente alors elle est majorée.
3. Si une suite est convergente et majorée alors elle est croissante.
4. Si une suite est croissante alors elle est minorée.
5. Si une suite est croissante alors elle n'est pas majorée.
6. Si une suite est croissante et convergente alors elle est bornée.
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