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Exercices
1: Est-ce une forme indéterminée? Trouver la limite de la suite -
somme
Dans chaque cas, on donne la limite de \(u_n\) et \(v_n\).
Déterminer si possible, \[\lim_{n \to +\infty}(u_n+v_n)\] et \[\lim_{n \to +\infty}(u_n-v_n)\].
a) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=+\infty \\
\end{array}\right.\]
b) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\
\end{array}\right.\]
c) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\
\end{array}\right.\]
d) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-4 \\
\end{array}\right.\]
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Exercices
2: Déterminer la
limite d'un
produit
de 2 suites à l'aide des tableaux - forme indéterminée
Dans chaque cas, on donne la limite de \(u_n\) et \(v_n\).
Déterminer si possible, \[\lim_{n \to +\infty}(u_n\times v_n)\] et \[\lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n}\].
a) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=+\infty \\
\end{array}\right.\]
b)\[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-3 \\
\end{array}\right.\]
c) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=3 \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\
\end{array}\right.\]
d) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=0 \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\
\end{array}\right.\]
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Exercices
3: Déterminer la
limite d'un
quotient lorsque le dénominateur tend vers 0
Dans chaque cas, on donne la limite de \(u_n\) et \(v_n\) et le signe de \(v_n\).
Déterminer si possible, \[\lim_{n \to +\infty}(u_n\times v_n)\] et \[\lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n}\].
a) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=0 \\
v_n>0
\end{array}\right.\]
b) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-4\\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=0 \\
v_n<0
\end{array}\right.\]
c) \[\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=0 \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=0 \\
v_n>0
\end{array}\right.\]
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Exercices
4: Déterminer la
limite d'une suite - Reconnaitre une
forme indéterminée
A l'aide des tableaux de la somme, du produit et du quotient, déterminer si possible
\[\lim_{n \to +\infty}u_n \].
| a) \(u_n=n^2+n\) |
b) \(u_n=n^2-n\) |
c) \(u_n=\frac 2{n+2}\) |
| d) \(u_n=\frac{3}{2-n^2}\) |
e) \(u_n=\frac{n^2+2}{n+1}\) |
f) \(u_n=\frac{3}{0.5^n}\) |
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Exercices
5:
limite et
forme indéterminée -
factoriser par le terme de plus haut degré
Dans chaque cas, déterminer la limite éventuelle de la suite \((u_n)\):
\[a)~u_n=n^3-3n^2\]
\[b)~u_n=\frac{n^2-2n}{n+1}\]
\[c)~u_n=\frac{n^2+n}{1-n^2}\]
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Exercices
6:
limite et
forme indéterminée -
factoriser par le terme de plus haut degré
Soit la suite $u$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n=n^3-3n^2+5$.
1) Déterminer \[\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n\].
2) Pour un réel A, on souhaite déterminer le plus petit rang $n$ pour lequel $u_n\ge {\rm A}$.
Construire un algorithme permettant de résoudre ce problème.
Exercices
7:
limite et
forme indéterminée -
factoriser par le terme prépondérant
Dans chaque cas, déterminer la limite éventuelle de la suite \(u\):
\[a)~u_n=n-\sqrt{n}\]
\[b)~u_n=3+\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}\]
\[c)~u_n=\frac {4n-3}{n^2+5}\]
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Exercices
8: Déterminer la
limite d'une suite à l'aide d'un
encadrement -
Théorème des gendarmes
Dans chaque cas, déterminer la limite éventuelle de la suite \((u_n)\):
\[a)~u_n=\frac{(-1)^n}{n+2}\]
\[b)~u_n=n-\cos (n)\]
\[c)~u_n=\frac{n^2+\sin (n)}{n+5}\]
Indication:
Encadre (-1)n
Exercices
9: Démontrer qu'une
suite n'a pas de limite
(-1)^n
Démontrer que la suite \(((-1)^n)\) ne converge pas. On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.
Exercices
10: vrai/faux - suite convergente - majorée - croissante - limite
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant:
1. Si deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont strictement positives et convergent
alors la suite \[\left(\frac {u_n}{v_n}\right)\] converge.
2. Si pour tout entier naturel $n$, $u_n\le 2$ alors \[\frac 1
{u_n}\ge \frac 12\].
3. Si la suite $(u_n)$ est croissante et strictement négative alors la suite \[\left(\frac 1 {u_n}\right)\] est décroissante.
4. Si pour tout entier $n\ge 1$, $|u_n-5|\le \frac 1n$ alors la suite $(u_n)$ converge
vers 5.
5. Si la suite $(u_n)$ n'est pas majorée, alors \[\lim_{n \to
+\infty} u_n=+\infty\].
6. Si \[\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty\] alors la
suite $(u_n)$ n'est pas majorée.
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