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Comment déterminer la limite d'une suite

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Techniques pour déterminer la limite d'une suite
Technique 1:

Décomposer la suite

Cours de math en vidéo
Décomposer la suite à l'aide des tableaux suivants:

• Tableau de la somme
• Tableau du produit
• Tableau du quotient
Technique 2: S'il y a une

forme indéterminée

Cours de math en vidéo
On met en facteur le terme prépondérant
1) Mettre en facteur le terme prépondérant.
2) Simplifier.
3) Ensuite chercher la limite.
On dit parfois terme de plus haut degré au lieu de terme prépondérant.
Technique 3: Utiliser une inégalité Cours de math en vidéo
Si à partir d'un certain rang: un ≥ vn et si
lim n → +∞
vn = +∞
alors
lim n → +∞
un = +∞
un ≤ vn et si
lim n → +∞
vn = -∞
alors
lim n → +∞
un = -∞
vn ≤ un ≤ wn et si (vn) et (wn) convergent vers alors
lim n → +∞
un = ℓ
(

Théorème des gendarmes

)
Dans les exercices, penser à utiliser les encadrements suivants:
-1 ≤ (-1)n ≤ 1 -1 ≤ cos(...) ≤ 1 -1 ≤ sin(...) ≤ 1
Démonstration du cours
Théorème de comparaison Cours de math en vidéo



Corrigé en vidéo! Exercices 1: Est-ce une forme indéterminée? Trouver la limite de la suite - somme
Dans chaque cas, on donne la limite de \(u_n\) et \(v_n\).
Déterminer si possible, \[\lim_{n \to +\infty}(u_n+v_n)\] et \[\lim_{n \to +\infty}(u_n-v_n)\].
a) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=+\infty \\ \end{array}\right.\] b) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\ \end{array}\right.\] c) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\ \end{array}\right.\] d) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-4 \\ \end{array}\right.\]
Corrigé en vidéo! Exercices 2: Déterminer la limite d'un produit de 2 suites à l'aide des tableaux - forme indéterminée
Dans chaque cas, on donne la limite de \(u_n\) et \(v_n\).
Déterminer si possible, \[\lim_{n \to +\infty}(u_n\times v_n)\] et \[\lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n}\].
a) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=+\infty \\ \end{array}\right.\] b)\[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-3 \\ \end{array}\right.\] c) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=3 \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\ \end{array}\right.\] d) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=0 \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\ \end{array}\right.\]
Corrigé en vidéo! Exercices 3: Déterminer la limite d'un quotient lorsque le dénominateur tend vers 0
Dans chaque cas, on donne la limite de \(u_n\) et \(v_n\) et le signe de \(v_n\).
Déterminer si possible, \[\lim_{n \to +\infty}(u_n\times v_n)\] et \[\lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n}\].
a) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=0 \\ v_n>0 \end{array}\right.\] b) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-4\\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=0 \\ v_n<0 \end{array}\right.\] c) \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=0 \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=0 \\ v_n>0 \end{array}\right.\]
Corrigé en vidéo! Exercices 4: Déterminer la limite d'une suite - Reconnaitre une forme indéterminée
A l'aide des tableaux de la somme, du produit et du quotient, déterminer si possible \[\lim_{n \to +\infty}u_n \].
a) \(u_n=n^2+n\) b) \(u_n=n^2-n\) c) \(u_n=\frac 2{n+2}\)
d) \(u_n=\frac{3}{2-n^2}\) e) \(u_n=\frac{n^2+2}{n+1}\) f) \(u_n=\frac{3}{0.5^n}\)
Corrigé en vidéo! Exercices 5: limite et forme indéterminée - factoriser par le terme de plus haut degré
Dans chaque cas, déterminer la limite éventuelle de la suite \((u_n)\):
\[a)~u_n=n^3-3n^2\] \[b)~u_n=\frac{n^2-2n}{n+1}\] \[c)~u_n=\frac{n^2+n}{1-n^2}\]
Corrigé en vidéo! Exercices 6: limite et forme indéterminée - factoriser par le terme de plus haut degré
Soit la suite $u$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n=n^3-3n^2+5$.
1) Déterminer \[\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n\].
2) Pour un réel A, on souhaite déterminer le plus petit rang $n$ pour lequel $u_n\ge {\rm A}$.
    Construire un algorithme permettant de résoudre ce problème.
Exercices 7: limite et forme indéterminée - factoriser par le terme prépondérant
Dans chaque cas, déterminer la limite éventuelle de la suite \(u\):
\[a)~u_n=n-\sqrt{n}\] \[b)~u_n=3+\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}\] \[c)~u_n=\frac {4n-3}{n^2+5}\]
Corrigé en vidéo! Exercices 8: Déterminer la limite d'une suite à l'aide d'un encadrement - Théorème des gendarmes
Dans chaque cas, déterminer la limite éventuelle de la suite \((u_n)\):
\[a)~u_n=\frac{(-1)^n}{n+2}\] \[b)~u_n=n-\cos (n)\] \[c)~u_n=\frac{n^2+\sin (n)}{n+5}\]
Indication: Encadre (-1)n
Exercices 9: Démontrer qu'une suite n'a pas de limite (-1)^n
Démontrer que la suite \(((-1)^n)\) ne converge pas. On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.
Exercices 10: vrai/faux - suite convergente - majorée - croissante - limite
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant:
1. Si deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont strictement positives et convergent alors la suite \[\left(\frac {u_n}{v_n}\right)\] converge. 2. Si pour tout entier naturel $n$, $u_n\le 2$ alors \[\frac 1 {u_n}\ge \frac 12\]. 3. Si la suite $(u_n)$ est croissante et strictement négative alors la suite \[\left(\frac 1 {u_n}\right)\] est décroissante. 4. Si pour tout entier $n\ge 1$, $|u_n-5|\le \frac 1n$ alors la suite $(u_n)$ converge vers 5. 5. Si la suite $(u_n)$ n'est pas majorée, alors \[\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty\]. 6. Si \[\lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty\] alors la suite $(u_n)$ n'est pas majorée.


Limite d'une suite : Exercices

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