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Exercices
1: Est-ce une forme indéterminée? Trouver la limite de la suite -
somme
Dans chaque cas, on donne la limite de un et vn.
Déterminer si possible, lim et \lim_{n \to +\infty}(u_n-v_n).
a) \left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=+\infty \\
\end{array}\right.
b) \left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\
\end{array}\right.
c) \left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\
\end{array}\right.
d) \left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-4 \\
\end{array}\right.
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Exercices
2: Déterminer la
limite d'un
produit
de 2 suites à l'aide des tableaux - forme indéterminée
Dans chaque cas, on donne la limite de u_n et v_n.
Déterminer si possible, \lim_{n \to +\infty}(u_n\times v_n) et \lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n}.
a) \left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=+\infty \\
\end{array}\right.
b)\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-3 \\
\end{array}\right.
c) \left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=3 \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\
\end{array}\right.
d) \left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=0 \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=-\infty \\
\end{array}\right.
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Exercices
3: Déterminer la
limite d'un
quotient lorsque le dénominateur tend vers 0
Dans chaque cas, on donne la limite de u_n et v_n et le signe de v_n.
Déterminer si possible, \lim_{n \to +\infty}(u_n\times v_n) et \lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n}.
a) \left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=0 \\
v_n>0
\end{array}\right.
b) \left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=-4\\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=0 \\
v_n<0
\end{array}\right.
c) \left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n=0 \\
\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_n=0 \\
v_n>0
\end{array}\right.
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Exercices
4: Déterminer la
limite d'une suite - Reconnaitre une
forme indéterminée
A l'aide des tableaux de la somme, du produit et du quotient, déterminer si possible
\lim_{n \to +\infty}u_n .
| a) u_n=n^2+n |
b) u_n=n^2-n |
c) u_n=\frac 2{n+2} |
| d) u_n=\frac{3}{2-n^2} |
e) u_n=\frac{n^2+2}{n+1} |
f) u_n=\frac{3}{0.5^n} |
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Exercices
5:
limite et
forme indéterminée -
factoriser par le terme de plus haut degré
Dans chaque cas, déterminer la limite éventuelle de la suite (u_n):
a)~u_n=n^3-3n^2
b)~u_n=\frac{n^2-2n}{n+1}
c)~u_n=\frac{n^2+n}{1-n^2}
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Exercices
6:
limite et
forme indéterminée -
factoriser par le terme de plus haut degré
Soit la suite u définie sur \mathbb{N} par u_n=n^3-3n^2+5.
1) Déterminer \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n.
2) Pour un réel A, on souhaite déterminer le plus petit rang n pour lequel u_n\ge {\rm A}.
Construire un algorithme permettant de résoudre ce problème.
Exercices
7:
limite et
forme indéterminée -
factoriser par le terme prépondérant
Dans chaque cas, déterminer la limite éventuelle de la suite u:
a)~u_n=n-\sqrt{n}
b)~u_n=3+\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}
c)~u_n=\frac {4n-3}{n^2+5}
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Exercices
8: Déterminer la
limite d'une suite à l'aide d'un
encadrement -
Théorème des gendarmes
Dans chaque cas, déterminer la limite éventuelle de la suite (u_n):
a)~u_n=\frac{(-1)^n}{n+2}
b)~u_n=n-\cos (n)
c)~u_n=\frac{n^2+\sin (n)}{n+5}
Indication:
Encadre (-1)n
Exercices
9: Démontrer qu'une
suite n'a pas de limite
(-1)^n
Démontrer que la suite ((-1)^n) ne converge pas. On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.
Exercices
10: vrai/faux - suite convergente - majorée - croissante - limite
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant:
1. Si deux suites (u_n) et (v_n) sont strictement positives et convergent
alors la suite \left(\frac {u_n}{v_n}\right) converge.
2. Si pour tout entier naturel n, u_n\le 2 alors \frac 1
{u_n}\ge \frac 12.
3. Si la suite (u_n) est croissante et strictement négative alors la suite \left(\frac 1 {u_n}\right) est décroissante.
4. Si pour tout entier n\ge 1, |u_n-5|\le \frac 1n alors la suite (u_n) converge
vers 5.
5. Si la suite (u_n) n'est pas majorée, alors \lim_{n \to
+\infty} u_n=+\infty.
6. Si \lim_{n \to +\infty} u_n=+\infty alors la
suite (u_n) n'est pas majorée.
