Limite de suites géométriques $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} q^n$

Déterminer les limites éventuelles suivantes:

Déterminer les limites éventuelles suivantes:

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=10$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,5u_n+3$:

1. Démontrer que $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
2. $(v_n)$ est la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-6$.
   1. Démontrer que $(v_n)$ est géométrique.
   2. En déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.
   3. En déduire la limite de $(u_n)$

Soit $(u_n)$ la suite définie par son premier terme $u_0$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation: $u_{n+1} = a u_n +b$ ($a$ et $b$ réels non nuls tels que $a\ne 1$).
On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n-\dfrac{b}{1- a}$.

1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$.
2. En déduire que si $a$ appartient à l'intervalle ]-1 ; 1[, alors la suite $(u_n)$ a pour limite $\dfrac{b}{1- a}$.
3. Application : on considère la suite $(h_n)$ définie par $h_0=80$ et pour tout entier naturel $n$, $h_{n+1}=0.75h_n+30$.
   La suite $(h_n)$ est-elle convergente? Justifier.

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=8$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=0.5 u_n+4n-3$.
Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-8n+22$.
A l'aide d'un tableur, on obtient:

	A	B	C
1	$n$	$u_n$	$v_n$
2	0	8	30
3	1	1	15
4	2	1.5	7.5
5	3	5.75	3.75
6	4	11,875	1,875

1. Conjecturer une expression explicite de $v_n$, puis démontrer cette conjecture.
2. En déduire une expression explicite de $u_n$, puis indiquer si la suite $(u_n)$ est convergente.

On considère la suite $u$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\dfrac13 u_n+n-2$.
L'objectif de cet exercice est de déterminer la limite de cette suite $(u_n)$. Pour cela, on considère la suite $(v_n)$ définie par tout entier naturel $n$ par $v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}2$.

1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
2. Conclure.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par $ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}$.

1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$.
2. Étudier les variations de la suite $(u_n)$.
3. La suite $(u_n)$ est-elle convergente ? Justifier.
4. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=1+\dfrac 7{u_n}$.
   1. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et préciser la raison et $v_0$.
   2. Exprimer pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
   3. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
   4. Déterminer, après avoir justifié son existence, le plus petit entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_0$ , $u_n \lt 10^{-18}$ .

1. Déterminer \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left( \dfrac 13 \right)^n\)
2. Déterminer \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 1+\dfrac13+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^n}\)
3. On considère la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n=1+x+...+x^n\) où \(x\) est un nombre réel.
   Déterminer la limite de \((u_n)\) selon les valeurs de \(x\).

\(x\) est un réel positif. On rappelle que pour tout entier naturel \(n\), \((1+x)^n\geqslant 1+nx\) (Inégalité de Bernoulli)

1. A l'aide du rappel, démontrer que pour \(q>1\), \( \lim\limits_{\substack{n \rightarrow +\infty}} q^n = +\infty\).
2. On cherche maintenant la limite de \((q^n)\) avec \(0<q<1\). On pose \(p=\dfrac 1q\).
   1. Déterminer \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} p^n\).
   2. En déduire \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} q^n\).
3. En déduire la limite de \((q^n)\) lorsque $-1\lt q\lt 0$.