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Suite convergente ♦ Théorème de la limite monotone

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Suite convergente ♦ Théorème de la limite monotone
Cours Suites convergentes (Comprendre le cours en 5 min 😜)

Suite convergente - Définition

Théorème de la limite monotone

Exercice 1: suite convergente - théorème de la limite monotone

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=18$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=0,2~\!u_n+4$.
  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$: $5\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.
  2. En déduire que $(u_n)$ est convergente.

Exercice 2: suite convergente - théorème de la limite monotone

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\dfrac 12 u_n+3$.
  1. Démontrer par récurrence que $(u_n)$ est majorée par $6$.
  2. Déterminer le sens de variation de $(u_n)$.
  3. En déduire que $(u_n)$ est convergente.

Exercice 3: suite convergente - théorème de la limite monotone

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=0,3~\!u_n+1$.
  1. Conjecturer à l'aide de la calculatrice:
    • le sens de variation de $(u_n)$.
    • un minorant de $(u_n)$.
  2. Démontrer ces conjectures par récurrence.
  3. En déduire que $(u_n)$ est convergente.

Exercice 4: suite convergente - théorème de la limite monotone

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=u_n\times e^{-u_n}$.
  1. Démontrer par récurrence que tous les termes de la suite sont strictement positifs.
  2. Déterminer le sens de variation de $(u_n)$.
  3. En déduire que $(u_n)$ est convergente.

Exercice 5: suite convergente - théorème de la limite monotone - Un+1=f(Un) monotone

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=0,4$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=u_n-u_n^2$.
  1. Déterminer une fonction $f$ telle que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
  2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\left[ 0~\!;\dfrac 12\right ]$.
  3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac 12$.
  4. En déduire que $(u_n)$ est convergente.

Exercice 6: vrai/faux - suite convergente - majorée - croissante - limite

Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant:
  1. Si une suite est décroissante minorée alors elle est convergente.
  2. Si une suite est croissante et convergente alors elle est majorée.
  3. Si une suite est convergente et majorée alors elle est croissante.
  4. Si une suite est croissante alors elle est minorée.
  5. Si une suite est croissante alors elle n'est pas majorée.
  6. Si une suite est croissante et convergente alors elle est bornée.

Exercice 7: Démonstration du cours - Suite croissante non majorée

Démontrer que toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$

Exercice 8: Suite croissante non convergente

On considère une suite \((u_n)\) croissante qui n'est pas convergente.
  1. Démontrer que la suite \((u_n)\) n'est pas majorée.
  2. En déduire la limite de la suite \((u_n)\).


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