Suite convergente Théorème de la limite monotone

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Suite convergente ♦ Théorème de la limite monotone

Cours Suites convergentes (Comprendre le cours en 5 min 😜)

Suite convergente - Définition

Théorème de la limite monotone

Le théorème Si la suite est croissante majorée ou décroissante minorée alors la suite est convergente

Penser à utiliser ce théorème

Ce théorème ne permet pas

Suite Majorée / Minorée

Dire qu'une suite $(u_n)$ est majorée signifie qu'il existe un nombre $\rm M$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant {\rm M}$

Par exemple, si : pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant 6$, cela signifie que $(u_n)$ est majorée par $6$.
Il est important de comprendre

que ce nombre $\rm M$ doit être fixe c'est à dire indépendant de $n$ !
Si on a $u_n \leqslant n^2$

On ne peut pas en conclure que la suite est majorée car $n^2$ n'est pas un nombre fixe, il dépend de $n$.
Dire qu'une suite $(u_n)$ est minorée signifie qu'il existe un nombre $m$ tel que pour tout entier naturel $n$, $m\leqslant u_n$

Par exemple, si : pour tout entier naturel $n$, $6\leqslant u_n$, cela signifie que $(u_n)$ est minorée par $6$.
Il est important de comprendre

que ce nombre $m$ doit être fixe c'est à dire indépendant de $n$ !
Si on a $n^2 \leqslant u_n$

On ne peut pas en conclure que la suite est minorée car $n^2$ n'est pas un nombre fixe, il dépend de $n$.

Suite croissante / décroissante

Pour trouver le sens de variation d'une suite, c'est à dire savoir si elle est croissante / décroissante

Méthode 1 Regarder les questions précédentes, car peut-être vous l'avez déjà fait sans vous en rendre compte

Méthode 2 Si $u_n=f(n)$

Étudier les variations de $f$

Penser à dériver $f$, étudier le signe de la dérivée puis à faire le tableau de variations de $f$
Conclure
- Si $f$ est croissante par exemple pour $x\geqslant 3$, alors $(u_n)$ est aussi croissante à partir du rang $3$
- Si $f$ est décroissante par exemple pour $x\geqslant 3$, alors $(u_n)$ est aussi décroissante à partir du rang $3$

Méthode 3 Si $u_{n+1}=f(u_n)$

Les exercices alors sont très souvent sur le même modèle :

On montre que $f$ est croissante sur un intervalle

Pour cela on utilise en général en la dérivation

On démontre par récurrence $u_n\leqslant u_{n+1}$ ou $u_{n+1}\leqslant u_n$ selon que l'on souhaite montrer que la suite est croissante ou décroissante

Tout repose sur le fait que comme $f$ est croissante, elle conserve l'ordre

On note ${\rm P}_n : u_n\leqslant u_{n+1}$

Puis pour l'hérédité, on écrit:

si	$u_n$	$\leqslant$	$ u_{n+1}$
alors	$f(u_n)$	$\leqslant$	$f(u_{n+1})$ Car $f$ est croissante donc elle conserve l'ordre
c'est à dire	$u_{n+1}$	$\leqslant$	$u_{n+2}$ Ce qui correspond à ${\rm P}_{n+1}$

Méthode 4 Calculer $u_{n+1}-u_n$

Calculer $u_{n+1}-u_n$
Trouver le signe de $u_{n+1}-u_n$
- Penser à factoriser $u_{n+1}-u_n$
- Penser à utiliser les questions précédentes
  
  Vous avez peut-être déjà montré que $u_n\geqslant ....$
  Penser à utiliser ces résultats pour trouver le signe de $u_{n+1}-u_n$
Conclure
Si pour tout entier naturel $n$ :
- $u_{n+1}-u_n\geqslant 0$ alors la suite $(u_n)$ est croissante
- $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$ alors la suite $(u_n)$ est décroissante

Méthode 5 par récurrence

Calculer les premiers termes pour voir si la suite semble croissante ou décroissante
- Si vous penser que $(u_n)$ est croissante
  
  Poser : ${\rm P}_n : u_n\leqslant u_{n+1}$
  Puis démontrer ${\rm P}_n$ par récurrence
- Si vous penser que $(u_n)$ est décroissante
  
  Poser ${\rm P}_n : u_{n+1}\leqslant u_n$
  Puis démontrer ${\rm P}_n$ par récurrence

Erreur classique

En exercice

Avoir conscience que si on vous demande :

Montrer (par récurrence) que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant 7$

En fait on est en train de vous demander de montrer que $(u_n)$ est majorée par $7$. Donc penser à utiliser ce résultat pour montrer que la suite est convergente à l'aide du théorème de la limite monotone
De même si la question est " Montrer que pour tout entier naturel $n$, $7\leqslant u_n$", on est en train de vous demander de montrer que $(u_n)$ est minorée par $7$. Donc penser à utiliser ce résultat pour montrer que la suite est convergente à l'aide du théorème de la limite monotone.
Montrer (par récurrence) que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 7$

En fait on est en train de vous demander de montrer que $(u_n)$ est croissante et majorée par $7$. Et vous pouvez en déduire grâce au théorème de la limite monotone, comme la suite est croissante majorée qu'elle est convergente
De même si la question est "Montrer que pour tout entier naturel $n$, $7\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n}$", on est en train de vous demander de montrer que $(u_n)$ est décroissante minorée par $7$. Et vous pouvez en déduire grâce au théorème de la limite monotone, comme la suite est décroissante minorée qu'elle est convergente.

Ne pas oublier

2 autres théorèmes

Exercice 1: suite convergente - théorème de la limite monotone

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=18$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=0,2~\!u_n+4$.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$: $5\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.
En déduire que $(u_n)$ est convergente.

Exercice 2: suite convergente - théorème de la limite monotone

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\dfrac 12 u_n+3$.

Démontrer par récurrence que $(u_n)$ est majorée par $6$.
Déterminer le sens de variation de $(u_n)$.
En déduire que $(u_n)$ est convergente.

Exercice 3: suite convergente - théorème de la limite monotone

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=0,3~\!u_n+1$.

Conjecturer à l'aide de la calculatrice:
- le sens de variation de $(u_n)$.
- un minorant de $(u_n)$.
Démontrer ces conjectures par récurrence.
En déduire que $(u_n)$ est convergente.

Exercice 4: suite convergente - théorème de la limite monotone

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=u_n\times e^{-u_n}$.

Démontrer par récurrence que tous les termes de la suite sont strictement positifs.
Déterminer le sens de variation de $(u_n)$.
En déduire que $(u_n)$ est convergente.

Exercice 5: suite convergente - théorème de la limite monotone - Un+1=f(Un) monotone

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=0,4$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=u_n-u_n^2$.

Déterminer une fonction $f$ telle que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\left[ 0~\!;\dfrac 12\right ]$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac 12$.
En déduire que $(u_n)$ est convergente.