Il est important de regarder la vidéo de cours avant de faire les exercices
Puis faire les exercices
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Suite convergente ♦ Théorème de la limite monotone
CoursSuites convergentes (Comprendre le cours en 5
min 😜)
Suite convergente - Définition
Une suite convergente est une suite qui a une limite finie
Cela signifie que la limite est un nombre, par
exemple $3,\!1$ ou encore $\sqrt
2$. Si la suite est convergente, la limite
ne peut pas être $+\infty$ ou $-\infty$
$+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des nombres !
Théorème de la limite monotone
Le théorème
Si la suite est croissante
majorée ou décroissante minorée alors la suite
est
convergente
Penser à utiliser ce théorème
surtout s'il y a marqué : " En déduire que la suite
est convergente "
Ce théorème ne permet pas
Ce théorème permet juste de justifier que la suite a une limite finie. Ce
théorème ne permet pas de donner la valeur de
la
limite
Pour trouver la valeur de la limite, ce sera le prochain cours : les suites
du
type $u_{n+1}=f(u_n)$
ici
Suite Majorée / Minorée
Dire qu'une suite $(u_n)$ est majorée
signifie qu'il existe un
nombre $\rm M$
tel que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant {\rm M}$
Par exemple, si : pour tout entier naturel $n$,
$u_n\leqslant 6$, cela signifie que $(u_n)$ est majorée par
$6$.
Il est important
de comprendre
que ce nombre $\rm M$ doit
être fixe c'est à dire
indépendant
de $n$ !
Si on a $u_n
\leqslant n^2$
On ne peut pas en conclure que la suite est majorée
car
$n^2$ n'est pas un nombre fixe, il dépend de $n$.
Dire qu'une suite $(u_n)$ est minorée
signifie qu'il existe un
nombre $m$
tel que pour tout entier naturel $n$, $m\leqslant u_n$
Par exemple, si : pour tout entier naturel $n$,
$6\leqslant u_n$, cela signifie que $(u_n)$ est minorée par
$6$.
Il est important
de comprendre
que ce nombre $m$ doit être
fixe c'est à dire
indépendant
de $n$ !
Si on a $n^2
\leqslant u_n$
On ne peut pas en conclure que la suite est minorée
car
$n^2$ n'est pas un nombre fixe, il dépend de $n$.
Suite croissante / décroissante
Pour trouver le sens de variation d'une suite, c'est à dire
savoir si elle est
croissante / décroissante
Méthode 1 Regarder les
questions
précédentes, car peut-être vous l'avez déjà fait sans vous en
rendre compte
Si la question précédente était:
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}$
Vous pouvez directement conclure que la suite est
croissante
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\leqslant
u_{n}$
Vous pouvez directement conclure que la suite est
décroissante
Méthode 2 Si $u_n=f(n)$
Étudier les variations de
$f$
Penser à dériver
$f$, étudier le signe de la
dérivée puis à faire le
tableau de
variations de $f$
Conclure
Si $f$ est
croissante
par exemple pour $x\geqslant 3$, alors
$(u_n)$ est
aussi
croissante à partir du rang $3$
Si $f$ est
décroissante par exemple pour
$x\geqslant 3$, alors $(u_n)$ est
aussi
décroissante à partir du rang $3$
Méthode 3 Si $u_{n+1}=f(u_n)$
Les exercices alors sont très souvent sur le
même modèle :
On montre que $f$ est croissante sur un intervalle
Pour cela on utilise en général en
la dérivation
On démontre par récurrence$u_n\leqslant u_{n+1}$ ou
$u_{n+1}\leqslant u_n$
selon que l'on souhaite montrer
que
la suite est croissante ou
décroissante
Tout repose sur le fait que comme $f$ est
croissante, elle conserve l'ordre
On note ${\rm P}_n : u_n\leqslant
u_{n+1}$
Si on souhaite montrer que la
suite est
croissante
Si on souhaite montrer
que la
suite est
décroissante,
on écrit :
${\rm P}_n :
u_{n+1}\leqslant u_n
$
Puis pour
l'hérédité, on
écrit:
si
$u_n$
$\leqslant$
$ u_{n+1}$
alors
$f(u_n)$
$\leqslant$
$f(u_{n+1})$
Car $f$ est
croissante donc elle
conserve l'ordre
c'est à dire
$u_{n+1}$
$\leqslant$
$u_{n+2}$
Ce qui correspond à
${\rm
P}_{n+1}$
Méthode 4 Calculer $u_{n+1}-u_n$
Calculer $u_{n+1}-u_n$
Trouver le signe de
$u_{n+1}-u_n$
Penser à factoriser
$u_{n+1}-u_n$
Penser à utiliser les questions
précédentes
Vous avez peut-être déjà montré que
$u_n\geqslant ....$
Penser à utiliser ces résultats
pour
trouver le signe de
$u_{n+1}-u_n$
Conclure
Si pour tout entier naturel $n$ :
$u_{n+1}-u_n\geqslant
0$ alors la suite
$(u_n)$ est croissante
$u_{n+1}-u_n\leqslant
0$ alors la suite
$(u_n)$ est décroissante
Méthode 5 par récurrence
Calculer les premiers termes pour voir
si la suite semble
croissante ou décroissante
Si vous penser que $(u_n)$ est croissante
Poser : ${\rm P}_n : u_n\leqslant
u_{n+1}$
Puis démontrer ${\rm P}_n$ par
récurrence
Si vous penser que $(u_n)$ est décroissante
Poser ${\rm P}_n : u_{n+1}\leqslant
u_n$
Puis démontrer ${\rm P}_n$ par
récurrence
Erreur classique
Penser que si par exemple, la suite est décroissante minorée
par $4$ alors elle
va forcement tendre vers $4$. C'est faux
La suite ne tend pas forcement vers $4$. Elle tend
vers un nombre
supérieur ou égal à $4$. La suite ne va pas forcement "descendre jusqu'à 4"
De même, ne pas penser qu'une suite croissante majorée par $3$, tend
forcement
vers 3.
En exercice
Avoir conscience que si on vous demande :
Montrer (par récurrence) que pour tout entier naturel $n$,
$u_n\leqslant 7$
En fait on est en train de vous demander de montrer que
$(u_n)$ est
majorée par $7$.
Donc penser à utiliser ce résultat
pour montrer que la suite est convergente à
l'aide du théorème de la limite monotone
De même si la question est " Montrer
que pour tout entier naturel $n$, $7\leqslant u_n$", on
est en train de vous demander de montrer que
$(u_n)$ est
minorée par $7$. Donc
penser à utiliser ce résultat
pour montrer que la suite est convergente à
l'aide du théorème de la limite monotone.
Montrer (par récurrence) que pour tout entier naturel $n$,
$u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 7$
En fait on est en train de vous demander de montrer que
$(u_n)$ est croissante et
majorée par $7$.
Et vous pouvez en déduire grâce au théorème de
la limite monotone, comme la suite est croissante
majorée qu'elle est convergente
De même si la question est "Montrer que pour tout entier
naturel $n$,
$7\leqslant u_{n+1}\leqslant
u_{n}$", on est en train
de vous demander de montrer que
$(u_n)$ est décroissante
minorée par $7$.
Et vous pouvez en déduire grâce au théorème de
la limite monotone, comme la suite est décroissante
minorée qu'elle est convergente.
Ne pas oublier
Pour démontrer qu'une suite est convergente, en plus du
théorème de la limite
monotone, on peut aussi chercher la limite par
le calcul et vérifier que cette
limite est finie
On utilise le théorème de la limite monotone quand
justement on n'arrive
pas à trouver la limite par le calcul !
2 autres théorèmes
Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$
Toute suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$
Exercice
1: suite convergente - théorème de la limite
monotone
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=18$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=0,2~\!u_n+4$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$:
$5\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.
En déduire que $(u_n)$ est convergente.
Exercice
2: suite convergente - théorème de la limite
monotone
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\dfrac 12
u_n+3$.
Démontrer par récurrence que $(u_n)$ est majorée par $6$.
Déterminer le sens de variation de $(u_n)$.
En déduire que $(u_n)$ est convergente.
Exercice
3: suite convergente - théorème de la limite
monotone
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=0,3~\!u_n+1$.
Conjecturer à l'aide de la calculatrice:
le sens de variation de $(u_n)$.
un minorant de $(u_n)$.
Démontrer ces conjectures par récurrence.
En déduire que $(u_n)$ est convergente.
Exercice
4: suite convergente - théorème de la limite monotone
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=u_n\times
e^{-u_n}$.
Démontrer par récurrence que tous les termes de la suite sont strictement positifs.
Déterminer le sens de variation de $(u_n)$.
En déduire que $(u_n)$ est convergente.
Exercice
5: suite convergente - théorème de la limite monotone - Un+1=f(Un)
monotone
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=0,4$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=u_n-u_n^2$.
Déterminer une fonction $f$ telle que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\left[ 0~\!;\dfrac 12\right ]$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,
$0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac 12$.
